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第三章《磁场》章末复习
【课前预习】
1.知识网络
2.知识要点和方法指导
要点一 ：通电导线在磁场中的运动及受力
（1）直线电流元分析法：
把整段电流分成很多小段直线电流，其中每一小段就是一个电流元，先用左手定则判断出每小段电流
元受到的安培力的方向，再判断整段电流所受安培力的方向，从而确定导体的运动方向．
（2）．特殊位置分析法：
根据通电导体在特殊位置所受安培力方向，判断其运动方向，然后推广到一般位置．
（3）等效分析法：
环形电流可等效为小磁针，条形磁铁或小磁针也可等效为环形电流，通电螺线管可等效为多个环形电
流或条形磁铁．
（4）利用结论法：
①两电流相互平行时，无转动趋势；电流同向导线相互吸引，电流反向导线相互排斥；②两电流不平
行时，导线有转动到相互平行且电流同向的趋势．
要点二 带电粒子在有界磁场中的运动
有界匀强磁场指在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场区域，在
磁场区域内经历一段匀速圆周运动，也就是通过一段圆弧后离开磁场区域．由于运动的带电粒子垂直磁场
方向， 从磁场边界进入磁场的方向不同， 或磁场区域边界不同， 成它在磁场中运动的圆弧轨道各不相同．
造 如
下面几种常见情景：
解决这一类问题时，找到粒子在磁场中一 段圆弧运动对 应的圆心位置、半径大小以及与半径相关的几 何关系是解题
的关键。
1．三个(圆心、半径、时间)关键确定
研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动 时，常考虑的
几个问题：
(1)圆心的确定
已知带电粒子在圆周中两点的速度方向 时(一般是射
入点和射出点)，沿洛伦兹力方向画出两条速 度的垂线，这 两条垂线相交于一点，该点即为圆心．(弦的 垂直平分线过
圆心也常用到)
(2)半径的确定
一般应用几何知识来确定．
q f
(3)运动时间：t＝360°T＝2pT(q、f 为圆周运动的圆心角)，另外也可
用弧长 Dl 与速率的比值来表示，即 t＝Dl/v.
(4)粒子在磁场中运动的角度关系：
如图，粒子的速度偏向角(f)等于圆心角(a)，并等于 AB 弦与切线的夹角
(弦切角 q)的 2 倍，即 f＝a＝2q＝wt；相对的弦切角(q)相等，与相邻的
弦切角(q′)互补，即 q′＋q＝180°.如图 所示．
2．两类典型问题
(1)极值问题： 常借助半径 R 和速度 v(或磁场 B)之间的约束关系进行动态运 动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极
值．
注意 ①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
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②当速度 v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
③当速率 v 变化时，圆周角大的，运动时间长．
(2)多解问题：多解形成的原因一般包含以下几个方面：
①粒子电性不确定；②磁场方向不确定；③临界状态不唯一；④粒子运动的往复性等．
关键点：①审题要细心．②重视粒子运动的情景分析．
要点三 带电粒子在复合场中的运动
复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在的某一空间．粒子经过该空
间时可能受到的力有重力、静电力和洛伦兹力．处理带电粒子(带电体)在复合场中运动问题的方法：
1．正确分析带电粒子(带电体)的受力特征．带电粒子(带电体)在复合场中做什么运动，取决于带电粒
子(带电体)所受的合外力及其初始速度．带电粒子(带电体)在磁场中所受的洛伦兹力还会随速度的变化而 变化，而洛伦兹力的变化可能会引起带电粒子(带电体)所受的其他力的变化，因此应把带电粒子(带电体) 的运动情况和受力情况结合起来分析，注意分析带电粒子(带电体)的受力和运动的相互关系，通过正确的
受力分析和运动情况分析，明确带电粒子(带电体)的运动过程和运动性质，选择恰当的运动规律解决问题．
2．灵活选用力学规律
(1)当带电粒子(带电体)在复合场中做匀速运动时，就根据平衡条件列方程求解．
(2)当带电粒子(带电体)在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程
求解．
(3)当带电粒子(带电体)在复合场中做非匀变速曲线运动时，常选用动能定理或能量守恒定律列方程求
解．
(4)由于带电粒子(带电体)在复合场中受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题 目中的"恰好"、"最大"、"最高"、"至少"等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据隐含条件列出辅
助方程，再与其他方程联立求解．
(5)若匀强电场和匀强磁场是分开的独立的区域，则带电粒子在其中运动时，分别遵守在电场和磁场中 运动规律，处理这类问题的时候要注意分阶段求解.
【典型例题】
例 1：条形磁铁放在粗糙水平面上，正中的正上方有一导线，通有图示方向的电流后，磁铁对水平面的压力
将会＿＿(增大、减小还是不变？)。水平面对磁铁的摩擦力大小为＿＿。
【解析】本题有多种分析方法。
⑴画出通电导线中电流的磁场中通过两极的那条磁感线（如图中粗虚线
F
F/
F
所示） ，可看出两极受的磁场力的合力竖直向上。磁铁对水平面的压力
减小，但不受摩擦力。
⑵画出条形磁铁的磁感线中通过通电导线的那一条（如图中细虚线所
F
S
示） 看出导线受到的安培力竖直向下，因此条形磁铁受的反作用力竖直向上。 ，可
⑶把条形磁铁等效为通电螺线管，上方的电流是向里的，与通电导线中的电流是同向电流，所以互相吸引。
例 2： 如图所示，光滑导轨与水平面成 a 角，导轨宽 L。匀强磁场磁感应强度为 B。金属杆长也为 L ，质
量为 m，水平放在导轨上。当回路总电流为 I1 时，金属杆正好能静止。
求：⑴B 至少多大？这时 B 的方向如何？⑵若保持 B 的大小不变而将 B
的方向改为竖直向上，应把回路总电流 I2 调到多大才能使金属杆保持
静止？
【解析】画出金属杆的截面图。由三角形定则可知，只有当安培力 方向沿导轨平面向上时安培力才最小，B 也最小。根据左手定则，这时
B 应垂直于导轨平面向上，大小满足：BI1L=mgsina， B=mgsina/I1L。
当 B 的方向改为竖直向上时，这时安培力的方向变为水平向右，
沿导轨方向合力为零，得 BI2Lcosa=mgsina，I2=I1/cosa。
总结：在解这类题时必须画出截面图，只有在截面图上才能正确
表示各力的准确方向，从而弄清各矢量方向间的关系。
y
P
B
B
B
a
a
2B
I
例 3： 2011 年江西高考理综卷 25 题）如图，在区域 I（0£x£d） （
2页
0
Ⅰ
d
Ⅱ
2d
x
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和区域 II（d£x£2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为 B 和 2B，方向相反，且都垂直于 Oxy 平面。一质量为 m、带电荷量 q（q＞0）的粒子 a 于某时刻从 y 轴上的 P 点射入区域 I，其速度方向沿 x 轴 正向。已知 a 在离开区域 I 时，速度方向与 x 轴正方向的夹角为 30°；因此，另一质量和电荷量均与 a 相
同的粒子 b 也从 p 点沿 x 轴正向射入区域 I，其速度大小是 a 的 1/3。不计重力和两粒子之间的相互作用力。
求
（1）粒子 a 射入区域 I 时速度的大小；
（2）当 a 离开区域 II 时，a、b 两粒子的 y 坐标之差。
【解析】(1)设粒子 a 在 I 内做匀速圆周运动的圆心在 C（在 y 轴上） ，半径为 Ra1,粒子速率为 va，运动轨迹
与两磁场区域边界的交点为 P′,如图。由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得 qvB = m va 2
R a1
①
由几何关系得 Ð PC P¢ = q ②
d
R a1 =
sin q
③
式中q = 30 0 由①②③式得 vm = 2 dqB ④
m
（ 2） 设粒子在 a 在 II 内做圆周运动的圆心为 Oa， 半径为 Ra2， 出点为 P（图中未画出轨迹） Ð P ¢C a Pa = q ¢
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得 qv a (2 B ) = m va 2
Ra 2
射
⑤
a
，
由①⑤式得 Ra 2 = Ra1
2
⑥
C、P′和 Oa 三点共线，且由⑥式知 Oa 必位于 x = 3 d
2
的平面上。由对称性知 Pa 点与 P′点纵坐标相同，即
⑦
y
B
2B
y P = Ra1 cos q + h
a
⑧ 式中，h 是 C 点的 y 坐标。
P
Oa
得
设 b 在 I 中运动的轨道半径为 R b1，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律
ob a
C
Pb
Ⅰ
q¢
P qⅡ
Pa
x
q ( va ) B = m ( va ) 2 ⑨
3
R b1 3
0
d
2d
设 a 到达 Pa 点时，b 点位于 Pa 点，转过的角度为a 。如果 b 没有飞出 I，
则
t = q¢
⑩
Ta 2 2p
式中，t 是 a 在区域Ⅱ中运动的时间，而
由以上式解得a = 30 0
且 b 没有飞出Ⅰ。Pb 点的 y 坐标为
则 a、b 两粒子的坐标差为
总结：带电粒子在有界磁场中的运动问题是近几年高考常考的压轴题，解决这类问题的基本思路是：依据
带电粒子在场中的运动准确画出运动轨迹图，再由牛顿运动规律结合几何知识，根据每一个运动过程列式，
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