高二数学直线与圆锥曲线的位置关系知识精讲一人教版.doc

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高二数学直线与圆锥曲线的位置关系知识精讲（一）人教版
一. 教学内容：
直线与圆锥曲线的位置关系（一）
二. 基本知识与方法：
1. 方程根的个数与相应函数图象交点个数相等。
2. 会用方程解的个数或判别式判断直线与曲线交点的个数。 ［当一元二次方程的二次项系
数（形式上的）含有字母时，要分等于零和不等于零两种情形讨论方程根的个数。 ］
3. 会用数形结合的方法，确定直线与曲线的位置关系。
【典型例题】

例 1. 已知抛物线 y = - x 2 + ax +
1 与直线y = 2x.
2

（1）求证抛物线与直线恒有公共点。
（2）当抛物线顶点在直线下方时，求 a 的取值范围。

ìy = -x2 + ax + 1 ï
解： （1）由í 2

îïy = 2x
∴直线与抛物线恒有公共点。

例 2. 直线y = kx + 1(k Î R)与椭圆


x 2 + y 2 = 1恒有公共点，求实数 m的范围.

ìy = kx + 1
5
m

解法一： 由í 2
îmx + 5y2 = 5m
解法二：∵直线 y=kx+1 恒过点（0，1）
例 3. 讨论直线 l：y=kx+1 与双曲线 C：x2-y2=1 的公共点的个数。
ìy = kx + 1

解： 由í 2
，得：(1 - k 2 )x2 - 2kx - 2 = 0

îx - y 2 = 1
1. 若 1-k2=0，即 k=±1 时，方程 kx+1=0 有唯一解
∴当 k=±1 时，l 与 C 有 1 个交点。 （即直线 y=x+1 与 y=-x+1 分别与 C 有一个公共点） 。

例 4. 当0 < k <
1 时，关于 x的方程 |2 - x| = kx有几个实根？
3

解：

原方程化为： í| x - 2|= k x

ì
îx ³ 0
22

由图象交点个数可知原方程有 3 个实根。
例 5. 已知抛物线 x=ay2-1 上恒有关于直线 l：y=-x 对称的两点，求 a 的取值范围。

解：

设P(x1，y1 )，Q(x2 ，y2 )为直线l与抛物线 y 2 = 1 (x + 1)的两交点
a

P、Q 的中点为 M（x'，y'）
且 PQ 中点 M 在 l 上
【模拟试题】
1. 设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直

线 l 的斜率的取值范围是（
é- 1 ， 1 ù
）
B. -2，2

A. ê
ë2
2ú û
[
]

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C. -1，1

[
]
D. -4，4

[
]

2. 与直线 2x - y + 4 = 0 平行的抛物线 y = x 2 的切线方程是（ ）
A. 2x - y + 3 = 0
B. 2x - y - 3 = 0 C. 2x - y + 1 = 0 D. 2x - y - 1 = 0
3. 曲线 y 2 = 4x 关于直线 x = 2 对称的曲线方程是（ ）
A. y 2 = 8 - 4 x
B. y 2 = 4 x - 8 C. y 2 = 16 - 4x D. y 2 = 4x - 16
4. 如果过两点 A（a，0）和 B（0，a）的直线与抛物线 y = x 2 - 2 x - 3 没有交点，那么
实数 a 的取值范围是___________。
5. 直线 y = x - 1 被抛物线 y 2 = 4x 截得线段的中点坐标是____________。

6. 在椭圆

x2 + y2 = 1 中，求以 M (-2，1) 为中点的弦所在直线 l 的方程。
16 4

7. 给定双曲线

x 2 - y = 1，过点 B（1，1）能否作直线 m，使 m 与所给双曲线交于 Q1、 2
2

Q2 两点，且点 B 是线段 Q1Q2 的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，
说明理由。

8. 已知椭圆 C 的方程为

x2 + y2 = 1


，试确定 m 的取值范围， 使得对于直线 y = 4x + m ，

4
3

椭圆 C 上有不同的两点关于该直线对称。

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参考答案
1. C 2. D 3. C

4. ç

æ -¥， - 13ö

è
5. （3，2）
4÷ ø

6. x - 2 y + 4 = 0
7. 不存在，用反证法证明。

æ 2 13
8. ç -


，
2 13 ö
÷

è 13 13 ø

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