高等数学第三章微分中值定理及导数的应用题库(附带答案).doc

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第三章 微分中值定理与导数的应用

一、选择题

1、 设 f (x 0 ) > 0，f ¢(x 0 ) = 0，f ¢¢(x 0 ) 存在 ，且 f ¢¢(x 0 ) + f (x 0 ) = -1, 则（ ）

2、函数 y = f (x) 在点 x = x 0 处连续且取得极大值， 则 f (x) 在 x 0 处必有 （ ）

3、 y = xe -x 的凸区间是 （ ）

4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）

(A) f (x) = sin x
x


(B) f (x) = (x + 1)2


(C) f (x) = x


23


(D) f (x) = x 2 + 1

5、设 f (x) 和 g (x) 都在 x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则 F(x)在 x=a 处（ ）

(A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值

6、 使函数 y = 3 x 2 (1 - x 2 ) 满足罗尔定理的区间是 （ ）

(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) [- 3 , 4 ]
55

7、 y = x e- 2 x 的凹区间是（ ）

(A) (-¥,2) (B) (-¥,-2) (C) (1， ¥) + (D) (-1， ¥) +

8、函数 f (x) 在 x = x 0 处连续，若 x 0 为 f (x) 的极值点，则必有（ ）．

(A) f ¢(x0 ) = 0 (B) f ¢(x0 ) ¹ 0 (C) f ¢(x0 ) = 0 或 f ¢(x0 ) 不存在 (D) f ¢(x0 ) 不存在

9、当 a= ( ) 时， f(x) = asinx + sin3x 在 x = p 处取到极值 （ ）
3 3
(A) 1 (B) 2 (C) p (D) 0
3

10、 使函数 f (x) = 3 x 2 (1 - x 2 ) 适合罗尔定理条件的区 间是 （ ）

11、 若 (x 0，f (x 0 ))为连续曲线 y = f (x) 上的凹弧与凸弧分界点 ，则 （ ）
二、填空题

x2
1、曲线y = e- 8 的凸区间是 __________________ ．

2、函数 y = x 2x 的极小值点是 ______________ ．

3、曲线 y =


e x 的凸区间为 _____________________
3+ x


．

4、 函数 （x） x 3 - x 在[0,3]上满足罗尔定理的条件，
f ＝ 由罗尔定理确定的罗尔中值点 x ＝ ．

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5、设曲线 y＝a x 3 + bx 2 以点（1，3）为拐点，则数组（a，b）＝ ．

6、函数 y = x3 - 3x + 1在区间 [ - 2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ．

7、函数 y = ln sin x 在 [ p , 5p ] 上的罗尔中值点x = ．
6 6

8、 y = x + 1 在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点x = _______________．

9、函数 y = x 2 x 的极小值点是 ______________ ．

10、函数 y = x × 2x 的极小值点是 ______________ 。

11、y＝x＋ 1 - x ，－5 £ x £ 1 的最小值为 ．

12、 y = x - x 的单调减区间是 ．

13、 y = x - arctan x 在且仅在区间______________上单调増．

14、函数 f(x)＝x＋2cosx 在区间 [ 0 , p ] 上的最大值为 ．
2

15、函数 y＝ 2x 3 + x 2 - 4x + 3 的单调减少区间是 ．

16、已知点（1，3）是曲线 y = ax3 + bx 2 的拐点，则 a= ，b= ．

17、 f (x) = 2 e x + e-x 的单调递减区间为 .
三、计算题

1、 求函数 y = x 3 - 6x 2 + 9x - 4的极值和单调区间 。

2、求极限 lim ( 1 - x ) ．

x®1 ln x
x -1

3、求函数 y＝2 x3 + x 2 - 4x + 3 的单调区间、凹凸区间、拐点．

4、设常数 k > 0 ，试判别函数 f ( x) = ln x - x + k 在 (0, +¥)内零点的个数．
e
5、求函数 y = x3 - 3 x2 - 6x + 10 的单调区间和极值． 。
2

6． lim ( 1 -
xx ®0
7． 求函数 y =
1 )．
e x -1
5 - 4x 在 [- 1,1]上的最大值与最小值 ．

8．求曲线 y = ln x 的单调区间和凹凸区间 .．
x
9. 求曲线 y = 2x3 + x2 - 4x + 3 的单调区间和凹凸区间 .

10．求函数 y = xe -x 图形的凹凸区间及拐点．

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11、 求曲线 { x = t


2


的拐点 .
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y = 3t + t 3

12、求函数 y = x 3 - 6x 2 + 9x - 4 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．

13、 求函数 y = 2x 3 - 6x 2 - 18x + 27 在 [1，]上的最大值、最小值 ． 4

14、 讨论函数 f(x) = ln (1 + x 2 ) 的单调性和凹凸性

15、讨论函数 f (x) = ln x 的单调性和凹凸性．
x
16、 求曲线 y = ln(1 + x2 ) 的凹凸区间和拐点．

17. 求函数 y = x4 - 8x2 + 2 在区间 [-1,3] 上的最大值与最小值．

18. 求函数


y = x3 - 3x +1 在区间 [-2，0]上的最大值和最小值．

19. 试确定常数 a、b 、c 的值，使曲线 y = x 3 + ax 2 + bx + c 在 x= 2 处取到极值，且与直线 y = -3x + 3
相切于点（1 ，0） ．
四. 综合题(第 1-2 题每题 6 分，第 3 题 8 分，总计 20 分)
1．证明：当 xÎ (0, p) 时， x > (sin x)(cos x) ．
2
2、当 x > 0 时， + x ln (x + 1 1+ x2 ) > 1+ x2 ．

3、证明： arctan x + arc cot x = p．
2

4、设 j (x) 在 [0,1] 上可导，f(x)＝(x－1) j (x) ，求证：存在 x 0 Î(0，1)，使 f 'x 0 ) = j (0) ． (

5、 试用拉格朗日中值定理证明：当


a > b > 0 时， a - b < ln a < a - b ．

6 、 证明：当


x > 0 时， ln(1+ x) > arctan x ．
1+ x
a
b
b

7、 证明：当 x > 0时, x < ln(1 + x) < x ．
1+ x

8、证明：当 x>0 时，有 1+ 1 x > 1+ x ．
2

9、证明当 x ³ 0时，x -


x 3 £ sin x ．
6


x

10、 证明：若 x > 0 ，则 l n (1 + x ) > ．
1+ x
x2 < ln(1+ x)
11、 证明：当 x > 1时，x - 2

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