中国地质大学(北京)高数课后练习题.docx

地大（北京）本科高数课后练习题
第一章 极限
习题1.1
1. 设xn=n1+1n(n=1,2,……)，证明limn→∞xn=1，并填下表
ε
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
……
N

2. 用“ε-N”方法证明下列各题
（1） limn→∞1n2=0
（2） limn→∞3n+12n+1=32
（3） limn→∞-1nsinnn=0
（4） limn→∞0.999…9（有n个9）=0
3. 若limn→∞xn=a，证明limn→∞│xn│=│a│；反之是否成立？
4. 若数列{xn}有界，且limn→∞yn=0，证明limn→∞xnyn=0
5. 对于数列{xn}，若limn→∞x2n=a且limn→∞x2n+1=a，证明limn→∞xn=a

9设limx→x0f(x)=A,limx→x0g(x)=B
(1)若A>B，证明存在点x0的某个去心邻域，使得在此邻域内f(x)>g(x);
(2)若在点x0的某个去心邻域内有f(x) ≧g(x)，证明A≧B

习题1.2
1. 根据函数极限的定义证明
（1） limx→3(3x-1)=8
（2） limx→2(5x+2)=12
（3） limx→-2x2-4x+2=-4
（4） limx→-121-4x22x+1=2
2. 当x→2时，y=x2→4，问δ等于多少，使得当│x-2│<δ时，恒有│y-4│<0.001
3. 设f(x)=fx=x2, &x<1x+1, &x≥1
(1) 作f(x)的图形
(2) 根据图形写出极限limx→1-f(x)与limx→1+f(x)
(3) 当x→1时，f(x)有极限吗？
4. 求下列函数的极限：
（1）limx→1+x│x│
(2) limx→0+xx2+│x│
(3) limx→0-xx2+│x│
5. 根据函数极限的定义证明
（1）limx→∞x2x+1=12
（2）limx→∞sinxx=0
6. 下列极限是否存在？为什么？
（1）limx→1x-1│x-1│
（2）limx→∞arctanx
(3) limx→∞e-x
(4) limx→∞(1+e-x)
7. 如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，证明f(x)在点x0的某个去心邻域内有界。
8. 证明limx→∞f(x)=A的充要条件是limx→+∞f(x)=limx→-∞f(x)=A

习题1.3 无穷小与无穷大

1. 根据无穷小与无穷大的定义证明：
（1） limn→∞1x=0
（2） limn→3x2-9x+3=0
（3） limn→0xsin1x=0
（4） limn→02x+1x=∞
（5） limn→∞x2=∞
2. 下列各题中，指出哪些是无穷小，哪些是无穷大？
（1）1+2xx2 当 x→0时
（2）x+1X2-9 当 x→3时
（3）2-x-1 当 x→0时
（4）lgx 当 x→0+时
（5）sinx1+secx 当 x→0时
3. 求下列极限并说明理由
（1） limn→∞2x+1x
（2） limn→01-x21-x
4. 根据函数极限或无穷大的定义，填写下表

5. 函数y=xcosx 在（-∞，∞﹚上是否有界？当x→+∞时，这个函数是否为无穷大？为什么？

习题1.4
1. 求下列极限

（1） limx→2x2+5x-3
（2） limx→-1x+1x3
（3） limx→3x2-3x2+1
（4） limx→1x2-2x+1x2-1
（5） limx→0(x+h)2-x2h
（6） limx→∞x2+12x2-x-1

（7） limx→∞x2+xx3-3x+1
（8） 因为limx→126x2-5x+18x2-1=0，所以limx→128x2-16x2-5x+1=∞
（9） limx→1(11-x-11-x^3)
（10） limx→13x-12x-1
（11） limx→∞qx=0 （│q│<1)1 (q=1)不存在 (q=-1)∞ (│q│>1)
（12） limx→-∞qx=∞ （│q│<1)1 (q=1)不存在 (q=-1)0 (│q│>1)
（13） limn→∞(1n2+2n2+…+nn2)
（14） limn→∞(11·2+12·3+…+1n·(n+1))
（15） limx→∞-2x+3x-2x+1+3x+1
(16) limn→∞n+1n+2(n+3)5n2
2.求下列极限

（1） limx→∞（e-x+sinxx)
(2) limx→0xcos1x
(3) limn→0πnsinnπ
(4) limx→∞arctanxπx
(5) limx→∞e-xarctanx
(6) limx→∞e-xarctanx

3. 下列各题的做法是否正确？为什么？
（1）limx→9x2-9x-9=limx→9(x2-9)limx→9(x-9)=∞
(2) limx→1(1x-1-1x2-1)=limx→1(1x-1)-limx→1(1x2-1)=∞－∞=0
(3) limx→∞cosxx=limx→∞cosxlimx→∞1x=0
(4) 因为limx→∞e-x不存在，所以limx→∞e-xarctanx不存在

习题1.5
1. 求下列极限

（1） limx→0sinaxsinbx
（2） limx→01-cosxx sinx
（3） limx→0tanx-sinxx3
（4） limx→02x-tanxsinx
（5） limx→0sin⁡(sinx)x
（6） limx→∞(1+2x)x
（7） limx→0(1+tanx)cosx
（8） limx→∞（x+ax-a）x
（9） limx→-1(2+x)2x+1
（10） limx→0ln⁡(1+x)x

（11） limx→0sinnxsin⁡(xn)
（12） limx→πsinxx-π
（13） limx→0arcsinxx
（14） limx→0arctanxsinx
（15） limn→∞2nsin32n
（16） limx→∞(x+1x)x+3
（17） limx→0(1-2x)1sinx
（18） limx→π2(1+cosx)3secx
（19） limx→∞(x+2x2+1)x2+1
（20） limx→∞(1+1x+1x2)x

2. 利用极限存在的准则证明：
（1） limn→∞n·(1n2+π+1n2+2π+…+1n2+nπ)
（2） 数列2、2+2、2+2+2、……的极限存在，并求出该极限。
（3） limn→+∞x2+1x+1=1

习题1.6无穷小的比较
1. 证明：当x→0时，arcsinx~x，arctanx~x
2. 利用等价无穷小的性质，求下列极限

（1） limx→0tan3xsin2x
（2） limx→0sin2xarctanx
（3） limx→0arcsinxn(sinx)m
（4） limx→0tanx-sinxsin3x
（5） limx→0x+1sinxarcsinx
（6） limx→0sinxx3+3x

3. 当x→0时的极，试确定下列各阶无穷小对于x的阶数

（1） x3+100x2
（2） x+sinx
（3） 3tanx
（4） 1-cos2x
（5） a+x2-a (a>0)
（6） 3x2-x

习题1.7 函数的连续性与间断点
1. 研究下列函数的连续性，并画出函数图形
（1） f(x)=xx
（2） f(x)=
（3） f(x)=x2 (│x│≤1)x (│x│>1)
2. 指出下列函数的间断点，并说明这些间断点的类型。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使之连续。
（1） f(x)=x-2x2-5x+6
（2） f(x)=xtanx
（3） f(x)=cos21x
（4） f(x)=x+1 (0≤x<1)1 (x=1)-x+3 (1<x≤2)
3. 讨论函数f(x)=limn→∞1-x2n1+x2nx的连续性，若有间断点，判别其类型。
4. 确定a,b值，使得f(x)=x-bx-a(x-1)有无穷间断点x=0，有可去间断点x=1
习题1.8
1. 设f(x)是连续函数，证明│f(x) │也是连续的。
2. 设f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]上f(x)恒为正，证明1f(x)在[a,b]上亦连续。
3. 求下列极限：

（1） limx→0x2-2x+9
（2） limx→π2(cos2x)3
（3） limx→0cos(π1-2x4+3x)
（4） limx→π2ln(2cos2x)
（5） limx→π42-2cosxtan2x
（6） limx→asinx-sinax-a
（7） limx→bax-abx-b (a>0)
（8） limx→0ln⁡(1+3x)x
（9） limx→0sinxx2+x
（10） limx→-∞(x3+2x-1)
（11） limx→0lna+x-lnax
（12） limx→2+x-2+x-2x2-4
（13） limx→+∞x+x+xx+1
（14） limx→0(ax+bx+cx3)1x

4. 设f(x)=sinaxx ,x<0e , x=0(1-bx)1x ,x>0，试确定a,b的值，使f(x)在(-∞,+ ∞)内连续。
5. 设A=max{a1,a2,am},ak>0(k=1,2,L,m)，证明limx→∞na1n+a2n+L+amn=A

习题1.9
1. 证明方程sin x=x-1在区间[0, π]内至少有一个根。

2. 若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)<a,f(b)>b，则在(a,b)至少有一点C，使得f(c)=c

3. 若f(x)在[a,b]上连续，x1,x2,L,xn是[a,b]中的几个点，又t1>0,t2>0,L,tn>0，且t1+t2+L+tn=1,证明在[a,b]至少有一点ξ，使得
f(ξ)=t1f(x1)+t2f(x2)+L+tnf(xn)

4. 若函数f(x)在（-∞，+∞）上连续，且limx→+∞f(x)存在，证明f(x)在（-∞，+∞）上有界。
习题2.2【导数与微分】

1. 求下列函数的导数

（1） y=ax2+bx+c
（2） y=lnx-2logx+3log2x
（3） y=x2(2+x)
（4） f(u)=(u+1)2(u-1)
（5） y=x2cosx
（6） p(x)=x sinx
（7） y=3ax- 2x
（8） y=(x-a)( x-b) ( x-c)
（9） y=11+x+x2
（10） y=1-sint1+sint
（11） y=ax+bcx+a (ad-bc≠0)

（12） y=secx tanx+3 3x arctanx
2 求下列函数的导数

（1） y=1a2-x2
（2） y=1a2+x2
（3） y=31-x1+x
（4） y=1+ln2x
（5） y=tanx2
（6） y=sin2x3cotx2
（7） y=sin2(2x-1)
（8） y=cos2(cos2x)
（9） y=x2sin1x
（10） y=1+tan⁡(x+1x)
（11） y=x+x+x+x
（12） y=2xlnx
（13） y=esin3x
（14） y=ln3(x2)
（15） y=ln[ln(lnx)]
（16） y=arc cos 1x
（17） y=arc cos1-3x
（18） y=arcsinx1-x2
（19） y=[arc cos⁡(1x)]2e-x
（20） y=arc sin1-x1+x
（21） y=cos[arc cos1x ]
（22） y=arcsinxarccosx
（23） y=earcsinx+arctan ex
（24） y=（ab）x（bx）a（xa）b
（25） y=e-sin21x
（26） y=ln(arc cos2x)
（27） y=ch(sh x)
（28） y=th(lnx)
（29） y=shx echx
（30） y=ln(chx)+12ch2x

3 求曲线方程y=x2+5相切且通过点(1,2)的直线方程。
4 抛物线y=x2上哪一点的切线与直线3x-y+1=0交成450角。
5 求曲线y=e2x+x2上横坐标x=0处法线方程，并求从原点到该法线的距离。
6 设f(x)对x可导，求dydx

(1) y=f(x2)
(2) y=f(ex)ef(x)
(3) y=f[f(f(x))]
(4) y=f(sin 2 x)+f(cos 2 x)

习题2.3
1. 求下列函数的二阶导数

（1） y=x cosx
（2） y=a2-x2
（3） y=2x3+x+4x
（4） y=tan x
（5） y=(1+x2)arctanx
（6） y=ex
（7） y=ln sin x
（8） y=sin x sin 2x sin 3x

2. 若f ’(x)存在，求下列函数的二阶导数d2ydx2
(1) y=f(x2)
(2) y=f(sin2x)
(3) y=ln[f(x)]
3. 已知y=1- x2-x4 ，求y’，y’’
4. 已知 y=x3lnx，求 y(4)
5. 已知f(x)=(x+10)6，求f’’’(2)
6. 设x=ψ(y)为y=f(x)的反函数，设y=f(x)三阶可导且y’≠0，试从dxdy=1y'导出：
（1） d2xdy2=-y'''(y')3
（2） d3xdy3=-3(y''')2-y'y'''(y')3
7. 验证函数y=c1ea1x+c2ea2x (c1 c2 a1 a2是常数)，满足关系式：
y''-(a1+a2)y'+a1a2y=0
8. 求下列函数的高阶导数：
（1） y=x2e2x，求y20
（2） y=x2sin2x，求y50
（3） y=excosx，求y10
9. 求下列函数n阶导数的一般表达式

（1） y=1-x1+x
（2） y=x ln x
（3） y=sin2x
（4） y=xex
（5） y=1x(1-x)
（6） y=1x2-3x+2
（7） y=exsinx
（8） y=sin x sin 2x sin 3x

习题2.4 【由隐函数及参数方程所确定的函数的导数】
1. 求下列方程所确定的隐函数y的导数
（1） x2+x y+y2=a2
（2） x y=ex+y
（3） xy=yx
（4） lnx2+y2=arctanyx
（5） x cos y=sin(x+y)
2. 求下列隐函数的二阶导数d2ydx2
(1) x+arc tany=y
(2) Y=sin(x+y)
3. 利用对数求导法求下列函数的导数：
（1） y=(lnx)x
（2） y=(sinx)cosx
（3） y=3x-25-2x(x-1)
（4） y=3x(x2+1)(x2-1)2
（5） y=e1xxsinx
4. 求圆(x-1)2+(y+3)2=a2，（将a2改为17）过点（2,1）的切线方程。
5. 求下列参数方程所确定的函数的导数dydx，d2ydx2
(1) x=t2y=4 t
(2) x=a cos3θy=a sin3θ
(3) x=f'(t)y=t f't-f(t)
6. 求下列曲线在给定点的切线和法线方程
（1） x=2costy=3sint 在t=π3处。
（2） x=3at1+t3y=3at21+t3 在t=1处。
7. 验证参数方程x=etsinty=etcost 所确定的函数y满足关系式(x+y)2d2ydx2=2(xdydx-y)
8. 一架直升机离开地面时，距离一观察者120米，它以40米/秒的速率垂直上飞，求起飞15秒后，飞机离开观察者的速度是多少？
9. 在一长为5米的梯子，靠在墙上，若它的下端沿地板以3米/秒的速率离开墙角滑动，问：（1）当其下端离开墙角多少米，梯子上下端滑动速率相同？
（2）他的下端离开墙角1.4米时，梯子上、下端的滑动速率？
（3）何时他的上端下滑速率是4米/秒？
10. 设一个等边三角形的边长为a米，若当边长以10米/秒速率增长时，其面积以10米2/秒的速率增加，求a值。

习题2.5 【微分及其应用的解答】
1. 当自变量x由x=1变到x=1.02时，函数y=x2的增量△y等于多少？△y的线性主部dy等于多少？
2. 设y=x2+x，计算在x=1处，当x=10,1,0.1,0.01时，相应函数的增量△y和微分dy，并观察两者之差△y-dy随△x减小的变化情况。
3. 求下列函数的微分：
（1） Y=5x2+3x+1
（2） Y=(x2+2x)(x-4)
（3） S=arc sin(2x2-1)
（4） S=ln(sect+tant)
（5） Y=cos2x1+sinx
（6） Y=arc tan1-x21+x2
4. 求下列函数的微分：
（1） Y=1(tanx+1)2，当 x 从π6变到61π360时
（2） Y=ex，当x从9变到8.99时
5. 求由方程cos(xy)=x2y2所确定的y微分。
6. 填空：
（1） d＿＿=2xdx ; ＿＿=x2+C
(2) d＿＿=1xdx ; ＿＿=ln︳x︳+C
(3) d＿＿=‐1x2dx ; ＿＿=1x+C
(4) d＿＿=e-xdx ; ＿＿=-e-x+C
(5) d＿＿=sin2x dx; ＿＿=-cos2x2+C
(6) d＿＿=dx2x ; ＿＿=x+C
(7) d＿＿=ex2dx2 ; ＿＿=ex2+C
(8) d(sin x+cos x)=d＿＿+d(cos x)= ＿＿dx;
＿＿=sinx, ＿＿=cosx-sinx
（9） d（sin2x)=＿＿dsinx=＿＿dx; ＿＿=2sinx, ＿＿= sin2x
7. 利用微分近似计算：
（1） sin 290
(2) 51.01
(3) ln1.03
(4) e1.01
8. 已知ln781≈6.66057，求ln782的近似值。
9. 有一个直径为15厘米的空心薄壁铜球，壁厚0.2毫米，试求该空心球的质量近似值。（铜的密度为8.9克/厘米3）
10. 用卡尺测量得一根电阻丝的直径D为2.02毫米，测量D的绝对误差δD=0.05毫米，即│△D│＜0.05毫米，试计算电阻丝的截面积S，并估算他的绝对误差与相对误差。

总练习二 【函数的微分及其应用】

1. 求下列函数的导数
（1） Y=(x-1)33x+12(2-x)，求y’
（2） Y=xax+axx+aax，(a>0)，求y’
（3） Y=1+x-1-x1+x+1-x，求y’
（4） Y=x1x+arctan1+2x，求y'
（5） Y=f[ln(1+x)]，求y’’
（6） x=ln⁡(1+t2)y=t-arctant，求d3ydx3
（7） Sin(xy)-lnx+1y=1，求dydx│x=0
（8） Y=sin4x-cos4x，求y(n)
2. 设f(x)=(x2007-1)g(x)，其中g(x)在x=1处连续且g(1)=1，求f’(1)
3. 设f(x)=gxcos1x,(x≠0)0,(x=0)，且g(0)=g’(0)=0,试求f’(0)
4. 设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0,求limx→∞[f(a+1x)f(a)]x
5. 设函数f(x)=xksin1x ,x≠00 ,x=0 ，问k满足什么条件，f(x)在x=0处：
（1） 连续但不可导
（2） 可导但导数不连续
（3） 一阶导函数连续
6. 设f(x)是奇函数，且f’（0）存在，问F(x)=f(x)x在x=0处是何种间断点？
7. 设f(x)在内(-∞,+∞)可导，证明：
(1) 若f(x)为奇函数，则为f’(x)偶函数
(2) 若f(x)为偶函数，则为f’(x)奇函数
(3) 若f(x)为周期函数，则为f’(x)周期函数

8. 设已知二阶可导函数f(x)，如何选择系数a,b,c,使得函数
F(x)=fx (x≦x0)a(x-x0)2+bx-x0+c (x>x0) 二阶可导。

9. 证明函数y=arc tan x满足
(1+x2)y(n)+2n-1xy(n-1)+n-1n-2y(n-2)=0 (n>1)

10. 证明函数f(x)=x1+x2 ，fn(x)=f(f(f(…f(x))))，试求dfn(x)dx
└──n个──┘

11. 设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)=0,f(b)=0,f+'(a)·f-'(b)>0，证明在开区间(a,b)内至少处在一点ξ，使得f(ξ)=0

（以上电子文件：601高数*全解1、2、3.pdf）
习题3.1【中值定理】（电子文件:601高数*全解4.pdf，P1-2）

1. 验证拉格朗日中值定理对于函数y=x3+3x2+5x+7在区间[-1,1]上的正确性。
2. 证明对∀x∈[-1,1]，恒有arc sin x+qrc cos x=π2
3. 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)=0，证明至少存在一点ξ∈(0,1)，使得f’(ξ)=-f(ξ)ξ
4. 设f(x)在(a,b)内具有连续二阶导数，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，其中a<x1<x2<x3<b，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f’(ξ)=0
5. 设f(x)与g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(a)f'()g(a)g'()=1b-af(a)f(b)g(a)g(b)
6. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有连续二阶导数，且f(a)=f(b)=0，f(c)<0,(a<c<b)，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f’’(ξ)>0
7. 设f(x)在[a,b]内可导(a>0)，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得2ξ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f'(ξ)
8. 设f(x)在[a,b]上可导，且ab>0，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得1a-babf(a)f(b)=f(ξ)- ξf’(ξ)
9. 设a>b>0，证明a-ba<lnab<a-bb
10. 设a>b>0,n>1，证明 n∙bn-1(a-b)<an-bn<n∙an-1(a-b)

习题3.2（电子文件:601高数*全解4.pdf，P4-）

1. 求下列各式的极限

（1） limx→0sinx-sinax-a
（2） limx→0xm-amxn-an (a≠0)
（3） limx→0sin3xtan5x
（4） limx→0x2e1x2
（5） limx→0+lnx·ln(x-1)
（6） limx→1（xx-1-1lnx）
（7） limx→+∞ln⁡(1+1x)arccotx
（8） limx→1(2x2-1-1x-1)
（9） limx→0+xsinx
（10） limx→0(sinxx)11-cosx

（11） limx→0(a1x+a2x+…+anxn)1x (a1,a2,…,an>0)
2. 讨论函数f(x)=(1+x1xe)1x (x>0)e-1x (x≤0) 在x=0点的连续性。
3. 设函数f(x)在[a-π,a+π]内可导且有二阶导数，且=0f(a)，证明函数g(x)=f(x)sin⁡(x-a) x∈(a-π,a)∪(a,a+π)f'a x=a在(a-π,a+π)内具有一阶连续导数。

习题3.3（电子文件:601高数*全解4.pdf，P5-）【泰勒公式】

1. 将f(x)=x4-3x3+x2-3x+4展开成(x-4)的多项式
2. 将f(x)=（x2-3x+1)3展开成麦克劳林公式
3. 将f(x)=1x展开成(x+1)的泰勒公式，并写出其拉格朗日型余项。
4. 验证当0<x≤12时，按公式ex≈1+x+x22+x36计算ex的近似值时，所产生的误差小于0.01
5. 不用洛必达法则求下列各式极限：
（1） limx→0exsinx-x(1+x)x3
（2） limx→0[x-x2ln(1+1x)]
（3） limx→0earctanx-11-x+x22ln1+x1-x-2x
（4） limx→0(2tanxx+sinx)11-cosx
6. 设f(x)在[a,b]上二次可微，且对∀x∈(a,b)有│f’’(x)│≤M,f(a)=f(b).证明：│f’(x) │≦M2(b-a) x∈(a,b) (b>a)
(注：本题在 601高数*全解5.pdf，P2右)

习题3.4（电子文件:601高数*全解4.pdf，P6-）
1. 证明函数y=x3，x单调增加。
2. 证明
3. 求下列函数的单调区间：

（1） y=x3-3x2-9x-17
（2） y=(x-2)5(2x+1)4
（3） y=(2x-1)4(x-2)3
（4） y=3(2x-a)(a-x)2 (a>0)
（5） y=2x2-ln x
（6） y=axx2+a2
（7） y=x+cos x
（8） y=x+│sin x│

4. 证明下列不等式：
（1） 1+x ln(x+21+x2) > 1+x2 (x>0)
（2） Sin x > 2πx (0<x<π2)
（3） 2x > x2 (x>4)
（4） x2cosx< sin2x (0<x<π2）
5. 讨论方程lnx=ax (a>0)有几个实根？
6. 求下列函数的极限：
（1） y=12x5+15x4-40x3
（2） y=(x-2)3（x+1)2
（3） y=excosx
（4） y=x1x
（5） y=3-2(x+1)13
（6） y=(x+1+2N)3(x+1+1N)2
7. 问a为何值时，函数f(x)=a sin x+13sin3x在x=π3处取得极限值？是极大值还是极小值？
8. 设函数f(x)在(-,+)内满足xf’’(x)+3x[f'x]2=1-e-x，又f(x)在x0处(x0≠0)可导和取得极限值。证明:f(x0)为f(x)的极小值。

习题3.5（电子文件:601高数*全解4.pdf，P9-）
1. 问函数y=x2-54x (x<0)在何处取得最小值？
2. 问函数y=xx2+1 (x≥0)在何处取得最大值？
3. 将8分为两部分，使他们的立方之和为最小。
4. 设球的半径为R，内接此球的圆柱体的高为h，问h为多大时，圆柱的体积最大？
5. 过平面上的已知点P(1,4)引一条直线，要使它在？坐标轴上的截距都为？且它们之和最小，求此直线方程。【？看不清是什么】
6. 对某个量x进行n次测量，得到n个测量值：x1,x2,x3,…,xn，试证：当x取这n个数的平均值x1+x2+…+xnn时，所产生的误差的平方和（x-x1）2+（x-x2)2+…+(x-xn)2最小。
7. 某隧道的截面拟建成矩形上加半圆，截面面积为5平方米。问底宽x为多少时，才能使截面的周长最小？
8. 宽为1米的走廊以另一走廊垂直相连，如果长为8米的细杆能水平地通过拐角，问另一走廊的宽度至少多少米？

习题3.6（电子文件:601高数*全解4.pdf，P10-）
1. 求下列函数的凹凸区间与拐点

（1） y=x3-5x2+3x+5
（2） y=x arc tan x
（3） y=x+lnxx (x>0)
（4） y=x e-x
（5） x=1+cotty=cos2tsint (0<t<π)
（6） y=ln(x2+1)
（7） y=a-3x-b
（8） y=│x-1│xx

2. 证明下列不等式：
（1） 12(sin x+sin y) <sinx+y2 (0<x<y<π2)
（2） 12(ex+ey)≥ex+y2
（3） xp+(1-x)p≥21-p (p>1,0<x<1)
3. 证明曲线y=x-1x2+1有三个拐点在一条直线上。
4. 问k为何值时，使得曲线y=k(x2-3)2在拐点处的法线通过原点？
5. 问a,b为何值时，在(1,3)为曲线y=ax3+bx2+cx+d的拐点？
6. 设函数f(x)满足f’’(x)+(f'x)2=x且f’(0)=0，求f(x)的拐点。
7. 设连续函数f(x)在(a,b)内是大于0的凸函数，试证明1f(x)在(a,b)内为凹函数。

习题3.7（电子文件:601高数*全解5.pdf，P1-）
1. 绘出函数y=ln(1+x2)的图形。
2. 绘出函数y=e-(x-1)2的图形。
3. 绘出函数y=x3(1+x)2的图形。
4. 绘出函数y=x3-2x2x-3的图形。

总习题三（电子文件:601高数*全解5.pdf，P3-）
1. 设f（x）=3-x22 0≤x≤11x 1<x≤2，研究函数f(x)在[0,2]上能用中值定理的可能性，若能求中值ξ。
2. 设f(x)与g(x)在[a,b]上存在二阶导数，且g’’(x) ≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0
证明：（1）在开区间(a,b)内g(x) ≠0
(2)在开区间（a,b）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)g(ξ)=f''(ξ)g''(ξ)
3. 若f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1，试证对任意给定的正数a,b，在(0,1)中必存在不同的两数c,d，使得af'(c)+bf'(d)=a+b
4. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且ab>0。证明在内至少存在ξ, η，使得abf’(ξ)=η2f’(η)
5. 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内存在二阶导数，且f’’(x)<0,f(0)=0，证明：对于内任何一点a，都有f(a) ≤2f(a2)
6. 试求一个二次三项式P(x)，使2x=P(x)+O(x2) (x→0)
7. 设f(x)在[0,+ ∞)上二次可微，且f(0)=-1,f’(0)>0,又x>0时，f’’(x) ≥0。证明：方程f(x)=0在(0,+ ∞)内只有一个根。
8. 设f(x)有n阶导数，且a<b,f(a)= f(b)= f’(b)=f’’(b)=…=f(n-1)(b)=0，则在(a,b)内至少存在ξ，使得f(n)ξ=0
9. 设f(x)在[-1,1]具有三阶连续导数，且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0，证明在(0,1)内至少存在一点ξ，使得f‘’ξ=3
10. 设f(x)在上具有任意阶导数，且满足（1）存在常数L>0，使一切x∈(-∞,+ ∞)，n∈N，有│fn(x)│≤L；（2）f(1n)=0,（n=1,2,……）
证明：f(x)=0 , x∈(-∞,+ ∞)
11 利用求limn→∞n32(n+1+-1-2n)。
12 证明方程xn+xn-1+…+x2+x=1在(0,1)内只有一个实根，并求limn→∞xn (n=2,3,4……)
13 证明方程2x-x2=1只有三个实根。
14 证明：│a+b│1+│a+b│≤│a│1+│a│+│b│1+│b│

习题5.1[定积分及其应用]（电子文件:601高数*全解5.pdf，P6-8）
1. 利用定积分定义计算下列积分：

（1） 01xdx
（2） 01exdx

2. 利用定积分的几何意义求下列定积分的值：

（1） 012xdx
（2） 01a2-x2dx
（3） -ππsinx dx
（4） 012x-x2dx

3. 估计下列定积分的值：

（1） 14(1+x2)dx
（2） 333x arctanx dx
（3） π43π41+sin2xdx
（4） 20ex2-xdx

4. 比较下列各组定积分的大小关系：

（1） 12x2dx与12x3dx
（2） 01xdx与01lnx+1dx
（3） 0π2sinx dx与0π2x dx
（4） 1elnxdx与1e(lnx)2dx

5. 证明下列不等式：

（1） 12x+1dx≥2
（2） 25<12x1+x2dx<12
（3） π2<0π21+sinxdx<π
（4） 3e-4<-12e-x2dx<3

6. 设及在上连续，证明：
（1） 若在[a,b]上f(x) ≥0且abfxdx=0，则在[a,b]上f(x)=0
（2） 若在[a,b]上f(x) ≥0且f(x)不恒为零，则abfxdx>0
（3） 若在[a,b]上f(x) ≤g(x)且abf(x）dx=abgxdx，则在[a,b]上f(x) ≡g(x)

习题5.2（电子文件:601高数*全解5.pdf，P8-10）
1. 求下列函数的一阶导数：

（1） y=0πsint2dt
（2） y=x2x311+t4dt
（3） y=cosxsinxet2dt
（4） y=0x2sint21+etdt
（5） 0yetdt+0ycost dt=0
（6） y=axfxdt
（7） y=0x2t2∙e-tdt
（8） y=x23tln1+t2dt

2. 求下列极限：

（1） limx→00xln1+tdtx2
（2） limx→0(0xet2dt)20xt∙e2t2dt

（3） limx→00xcos2tdtx
（4） limx→00x2sintdtx4sin2x

3. 设f(x)连续，且0xftdt=x2(1+x)，求f(2)
4. 设f(x)=0xte-t2dt，不求积分，讨论当x为何值时，f(x)有极限？
5. 计算下列定积分：

（1） 12(x+1x)2dx
（2） 131+2x2x2(1+x2)dx
（3） 19x 1+xdx
（4） 1ee│lnx│xdx
（5） 01x dx1+x2
（6） 0π4tan3θdθ
（7） -1212dx1-x2
（8） -e-2dx1+x
（9） 0π1-cos2x dx
（10） 02│1-x│dx
（11） 0π2│sinx-cosx│dx
（12） 01dxx2-x+1
（13）
6. 已知f