广东省惠州市2015高三4月模拟试卷 数学理.doc

惠州市2015届高三模拟考试
数 学 试 题 （理科） 2015.04
本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．
参考公式：锥柱体的体积公式：，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．若集合，，则 ( )
A． B． C． D．
2．已知为实数，为虚数单位，若为实数，则 ( )
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( )
A． B． C． D．
4．若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值等于 ( )
A．7 B．8 C．10 D．11
5．在中，，，，则 ( )
A． B． C． D．
6．下列命题的说法 错误 的是 ( )
A．若复合命题为假命题，则都是假命题．
B．“”是“”的充分不必要条件．
C．对于命题 则．
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”．
7．多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( )
A． B．
C． D．
8．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数，则 ( )
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分，其中13题第一问2分，第二问3分。）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．设，若，则的最小值为__________．
10．计算积分 __________．
平均气温（°C）
18
13
10
－1
用电量（度）
25
35
37
63
11．某单位为了了解用电量（度）与当天平均气温（°C）之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量（如右表）。由数据运用最小二乘法得线性回归方程，则__________．
12．如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为__________．
是
否
开始

结束

输出
输入

13．将自然数按如图排列，其中处于从左到右第列从下到上第行的数记为，
如，，则__________；__________．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题．

A
B
P
C

第15题图
14．（极坐标与参数方程选做题）若点在以点为焦点的抛物线（为参数）上，则等于______．
15．（几何证明选讲选做题）如图，与圆相切于，为圆的割线，并且不过圆心，已知，，，则圆的半径等于__________．
三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期为，且．
（1）求的表达式；
（2）设，，，求的值．
17．（本小题满分12分）
一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．
（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；
（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）若二面角为，设，
试确定的值．

19．（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，=+++……+．
试比较与的大小．

20．（本小题满分14分）
在直角坐标系中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．
（1）求曲线的方程；
（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值．

21．（本小题满分14分）
已知，函数＝．
（1）记在区间上的最大值为，求的表达式；
（2）是否存在，使函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

惠州市2015届高三模拟考试
数学（理科）参考答案与评分标准
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
C
B
A
C
D
1．【解析】由集合的包含关系可知，故选A．
2．【解析】，所以，故选B．
3．【解析】由选项可知，A选项单调递增（无极值），C、D选项不是奇函数，只有B选项既为奇函数又存在极值．故选B．
4．【解析】平面区域如图所示，所以，故选C．
5．【解析】，又由余弦定理知．
6．【解析】若为假命题，则至少有一个为假命题．故选A．
7．【解析】用割补法可把几何体分割成三部分,可得，故选C．
8．【解析】依题意得：，由，可得，而，即函数的拐点为，即，
所以
所以所求为，故选D．
二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中13题第一问2分第二问3分．
9．4 10．1 11．60 12． 13． 14． 15．
9．【解析】，当且仅当时取等号，所以的最小值为．
10．【解析】．
11．【解析】，，样本中心为，
回归直线经过样本中心，所以．
12．【解析】由程序框图知，
又以及周期的性质，化简后得
．
13．【解析】由题意，，
∴，∴．
A
E

B
P
C
D

14．【解析】抛物线为，为到准线的距离，即距离为．
15．【解析】由圆的性质PA=PC·PB，得PB=12，连接OA并反向延长
交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4，DA=2，故CD=3，
DB=8，记圆的半径为R，由于ED·DA=CD·DB
因此，解得R=7．
三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
解：(1)依题意得，∴， ……2分
由f(2π)=2，得，即，∴A=4， ……4分
∴. ……5分
(2)由，得，
即，∴， ……6分
又∵，∴， ……7分
由，得，
即，∴， ……9分
又∵，∴， ……10分
cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ. ……12分
17．（本小题满分12分）
(本题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)
解: (1)记事件为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, ……1分
因为奇数加偶数可得奇数，所以
所以所得新数是奇数的概率等于． ……………4分
(2)所有可能的取值为1,2,3,4, ……………5分
根据题意得
…………………9分
故的分布列为

1
2
3
4

……………10分
． ………………………12分
18．（本小题满分14分）
（本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．）
解答：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． …………………1分
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，…………………4分
∴BQ⊥平面PAD． …………………5分
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分
证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD∥BQ． …………………1分
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分
∵PA=PD，∴PQ⊥AD． …………………3分
∵PQ∩BQ=Q ， …………………4分
∴AD⊥平面PBQ． …………………5分
∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分
（Ⅱ）法一：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．……………7分
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；……8分
，，，．
设，则
，……9分
,∴，………10分
在平面MBQ中，，，
∴平面MBQ法向量为．……12分
∵二面角为30°，∴，得……14分
法二：过点作//交于点，过作⊥交于点，连接，
因为面,所以⊥面，由三垂线定理知⊥，
则为二面角的平面角。…………9分（没有证明扣2分）
设，则，，
E

E

，……………10分
⊥，⊥，且三线都共面，所以//
， …………11分
在中，………13分
解得 ……………14分
19．（本小题满分14分）
解析：（1）由， …………………1分
由，其中
于是 …………………3分
整理得， …………………4分
所以数列是首项及公比均为的等比数列. …………………5分
…………………6分
（2）由（1）得
于是 ………8分
…………………9分
又，问题转化为比较与的大小，即与的大小
设 …………………10分
当时，，∴当时单调递增，
∴当时，，而，
∴当时， …………………12分
经检验=1，2，3时，仍有 …………………13分
因此，对任意正整数，都有即 …………………14分
20．（本小题满分14分）
（本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.）
（Ⅰ）解法1 ：设的坐标为，由已知得，……1分
易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.
化简得曲线的方程为. …………………4分
解法2 ：曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，…………… 2分
故其方程为. …………………4分
（Ⅱ）当点在直线上运动时，P的坐标为，又，则过且与圆
相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，
切线方程为，即于是
整理得 ① …………………6分
设过所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，
故 ② …………………7分
由得 ③…………………8分
设四点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，
所以 ④…………………9分
同理可得 ⑤…………………10分
于是由②，④，⑤三式得

.…………………13分
所以，当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400. …14分
21．（本小题满分14分）
解：(1)当时，＝；
当时，＝. …………………2分
因此，当时，＝＜0，在上单调递减； ……3分
当时，＝＞0，在上单调递增．………4分
①若，则在上单调递减，＝＝. …………………5分
②若，则在上单调递减，在上单调递增．
所以＝，．
而－＝， …………………6分
故当时，＝＝；
当时，＝＝. …………………8分
综上所述，＝ …………………9分
(2)由(1)知，当时，在上单调递减，故不满足要求．…………10分
当时，在上单调递减，在上单调递增．
若存在，∈ (＜)，使曲线y＝在，两点处的切线互相垂直，则∈，∈，且＝－1，
即，亦即＝.(*) …………………11分
由∈，∈得∈，∈.
故(*)成立等价于集合A＝与集合B＝的交集非空．
因为＜，所以当且仅当，即时，A∩B≠.……13分
综上所述，存在使函数在区间(0,4)内的图象上存在两点，
在该两点处的切线互相垂直，且的取值范围是. …………………14分

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