随机过程习题答案A.doc

随机过程习题解答（一）

第一讲作业：

1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量 和 的分布密度
（b）试问： 与 是否独立？说明理由。
解：（a）
（b）由于：

因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：

因此 与 独立。

2、设 和 为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求 和 的相关系数；
（b） 与 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：

（b）当 的时候， 和 线性相关，即

3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即 ， 试求方差函数。
解：由定义，有：

4、考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和 为正的常数； 是 内均匀分布的随机变量， 是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；
（b）若 与 独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）

（b）

第二讲作业：

P33/2．解：
其中为整数， 为脉宽

从而有一维分布密度：

P33/3．解：由周期性及三角关系，有：

反函数 ，因此有一维分布：

P35/4. 解：(1) 其中
由题意可知，的联合概率密度为：

利用变换： ，及雅克比行列式：

我们有 的联合分布密度为：

因此有：

且V和 相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于 独立、服从正态分布，因此 也服从正态分布，且

所以 。

（4） 由于：
所以 因此
当时，

当时，

由（1）中的结论，有：

P36/7．证明：
(1)
(2) 由协方差函数的定义，有：

（2）
P37/10. 解：（1）

当i=j 时；否则
令 ，则有

第三讲作业：

P111/7．解：
（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：

P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：

（2）由齐次马氏链的性质，有：
，
因此：

P112/9．解：
（1）

（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得： ；
计算有： ，递推得到，因此有：

P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：

由此可得特征值为： ，及特征向量：
令矩阵
，

则有：

因此有：

P112/12．解：
设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：

第四讲作业：

P113/13．解：画出状态转移图，有：

P113/14. 解：画出状态转移图，有：

P113/16．解：画出状态转移图，有：
（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。
（3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且 ，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态1为非常返态。
（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，故2为常返态； ，故3、4为非常返态。

第六讲作业：

P115/17．解：（1）一步转移矩阵为：

（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：

解得极限分布即可。

P115/18．解：由第七题的结果，计算可得：，
因此可计算极限分布如下：

解以上方程，得极限分布：

P115/19．解：见课上讲稿。

P116/21．解：记 ，则有：
（1）因为：
(A)
当时，有：

由（A）可得：

当且时，有：

由（A）可得：

当且时，有：

由（A）可得：

另外：下列等式是明显的

因此我们有：

即{是一齐次马氏链。一步转移矩阵为：

（2）画出转移矩阵图，可得：

由：及，并且取，由递归可得：

（3）由于：

因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。
（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有：

随机过程习题解答（二）

P228/1。证明：由于，有

其中

所以

证毕。

P229/3. 解：（1）因为是一Poission过程，由母函数的定义，有：

（2）有上面（1）的结果，可得：

（3）当充分小时，由于：

因此，当时，有：

由（2）的结果，我们有：

P229/4. 解：（1）由上面3题的结果（3），我们有：

（2）由于是随机过程的母函数，且，将函数关于展开成级数形式，我们可得：

由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：

P230/8. 解：由特征函数的定义，我们有：

令，则有：
（*）
若的概率分布为：

则
（**）
将（**）代入（*），我们有：

P230/7. 解：先求的特征函数：

由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知是复合Poission过程。

P231/10. 解：由于

因为的母函数为：
，
由独立性，可知的母函数为：
，
所以是参数为的泊松过程，即

因此我们有：

P231/12. 解：（1）由

令，有

解得

（2）由（1）知，服从参数为的泊松分布。

P232/15. 解：（1）以表示时刻系统中不正常工作的信道数，则是一马氏过程，其状态空间为：，矩阵为：

（2）令：

则前进方程为：

（3）令：

写出福克－普朗克方程：

即有：

做Laplace变换，令：

则有：

由上解得：

其中：

因此求

即可。
（4）

P233/16. 解：（1）令表示时刻系统中正在用电的焊工数，则是一马氏过程，其状态空间为：。
（2）矩阵为：

（3）令：

写出福克－普朗克方程：

（4）画出状态转移率图，可得时的平衡方程：

由此可得：

即有：

由此可以求得：

由 ，即可确定，最终得到所要的结果。

P233/17. 解：（1）由于：
可以得到此过程的矩阵：

令：

写出福克－普朗克方程：

初始条件：。
（2）由数学期望的定义：

由此，我们有：

即可得到描写的微分方程：

（3）解上面的微分方程，我们有：

P233/19. 解（1）根据题意得到矩阵为

由福克－普朗克方程得：

（2）

而

因此
左边=
右边=
左边=右边，证毕。
（3）将代入左边。

（4）由，有

即

进而有

所以

（5）令，由(4)的结论

其中对应的系数为

所以

（6）

（7）由(5)的结论，知

P236/24解：
(1) 根据题意得矩阵

由平衡方程，有

因此有 ，进而
因为

所以，当 时系统平稳。

(2)
(3) 前次以概率重新排队，第次以概率离开，所以即为所求。
(4)

26．解
(1) 设系统状态为不工作机器的数量，则，得矩阵

列出平衡方程

其中：
解得

所以

(2)

P237/28. 解：（1）设泊松分布第个事件发生与第个事件发生的时间间隔的特征函数为：，则有：

由于是独立同分布的，根据 以及特征函数的性质可知：

因此可知是服从参数为的泊松分布，即：

（2）由：可知：

附：一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法：
一阶拟线性方程的一般形式：

一阶线性方程的一般形式：

称：

或：

为一阶拟线性方程的特征方程。由此方程确定的曲线为特征曲线。一阶拟线性方程的特征方程的解为积分曲面。
有以下定理：
定理：若特征曲线上一点位于积分曲面上，则整个位于上。
初值问题：
给定初始曲线：，为参数。则一阶拟线性方程的初值问题的提法是：求方程的解，使满足。我们有以下定理。
定理：设曲线光滑，且，在点处行列式

又设在附近光滑，则初始问题：

在参数的一邻域内存在唯一解。
例：已知初始曲线，求初值问题：

解：由于：

解常微分方程的初值问题：

得：

由后两式解出，并代入第一式，解得：

P233/9. 解初值问题：

由于：

解常微分方程的初值问题：

解得：

在上面式子中消去参数，得初值问题的解：

P311/1. 解：（1）给定 时，有

（2）任取我们有：

所以Poission过程不是平稳过程。

P311/2. 解：（1）由Poission过程的性质，任取假定事件：

则有：
，
因此有：

（2）由 ，且仅与有关，可知 是平稳过程。

P312/3. 解：（1）由均值的定义，我们有：

（2）由相关函数的定义，任取，我们可得：

P312/4. 解：为了解此题，先看下面的引理：
引理：设是服从正态分布的二维随机变量，其概率密度为：

则 和Y取不同符号的概率为：

引理的证明：

令：

则有：

以上式子用了变换：

由：

因此只要求：

因此有：

由于此时：

我们即可得到结论。

P313/5. 证明：由于：

故 是宽平稳过程。
分别取，则 ，，因为 具有不同分布，所以不满足一级严平稳条件。

P314/10. 解：样本函数不连续。令：，下面求相关函数：

因为：

因此该过程是均方连续的随机过程。

P314/11. 证明：令： ，则有

由车比雪夫不等式：

P315/13. 证明：（1）令： ，由上题的结果可知：

因此有

（2）由相关函数的定义及（1）的结果，有

P316/17. 解：（1）由均值函数和相关函数的定义，我们有：

由 ，可得

（2）有上面的结果知 是一宽平稳过程。令： ， ， ， ， 不具有相同的分布，所以 不是一级严平稳过程。

P318/22. 解：根据题目给定的条件，有：
，

因为：，因此有：

P318/23. 解：根据 为一平稳过程，则有：
，
因此有：

P318/25. 解：由平稳过程相关函数的定义，有：

P319/28. 解：由题意，我们有：

设，则有：

令： ，则有： ，因此有：

P319/30. 解：（1）由于：

因此输入不是平稳的。
（2）由计算可得：

（3）计算均值函数和相关函数为：

因此输出不是平稳的过程。

P445/1．解题中给出的是一确定性周期信号，令：，因此它们的时间相关函数和功率谱密度分别为：

当时，
因此有：

P445/2. 解：（3）

（4）

P445/3. 解：由功率谱密度和相关函数的关系，有：

P446/4. 解：（1）由于：

因此，由功率谱密度和相关函数的关系，有：

（2）由功率谱密度和相关函数的关系，有：

P446/5. 解：由功率谱密度和相关函数的关系及是偶函数，我们有：

其均方值为：

P447/7. 解：（1）冲激响应为：

（2）由6题的结果，我们有：

注意到的定义，当 或 时， ，
当 时，

当 时，

因此有：

（3）由6题的结果，令：，有：

P447/8. 解：由Fourier变换，有：

因为：

则有：

因此有：

当 时，有

由于： ，，显然 ，所以 不关于对称。

P448/11. 证明I ：当时，利用实平稳过程相关函数的非负定性以及 ，
取：，，；以及 ，
我们有：

由此可得：

即有：

因此有：

证明II ：设此随机过程的功率谱密度函数为 ，由题意可知，下面用归纳法证明结论：
当时，有

假设当n=k时，结论成立，即

则有：

即当n=k+1时，结论成立，由归纳法可知有结论成立。

P450/14. 解：由样本函数可知，假设为第i个脉冲到达时刻，则有：

根据： ，由

我们有：

由于

因此，当时， 是平稳过程，且

由Fourier变换，可得：

P452/16. 解：由 ，且 与 的独立性及它们的平稳性，有：

P452/17. 证明：（1）由：

由于：

因此：

由于： ，因此输出过程是平稳过程。
（2）由（1）的结果，有：

P454/19. 解：令 ，我们有：

P454/21. 解：（1）取： ，则有：
，
因此有：

（2）由（1）的结果，有：

由于：

因此有：

P561/1. 解：只要求矩阵B的逆矩阵即可。我们有：

P562/4. 解：由求特征函数的公式：

我们有：

P563/7. 解：由 的密度函数，我们有： 因此有：

计算，得：

因此 是独立的随机变量。由于变换的雅克比行列式为 ，因此变换后的分布密度为：

由归一化条件可以确定
。

P562/6. 解：由特征函数的定义，可知三维正态随机向量的特征函数为：

令：

则有：（1）

计算得：

因此有：

（2）

计算得：

对于次数大于1的那些项，当时，都会变成0，统一记作，有：

对于含有的那些项，当时，都会变成0，统一记作 ，则有：

利用Φ(0,0,0)=1，可得：

（3）先求得：

则有：

P563/8. 解：求边缘分布密度，由于：

即 服从正态分布，同理 也服从正态分布。注意到：我们可以求得随机变量 的分布密度为：

由全概率公式，我们有：

因此，当时，我们有：

即：

显然，上式第一项表示的是正态分布的项，而第二项是非零的，因此 和 的线性组合 不是一维正态分布，由书中P472的定理一，我们可知 不是二维正态分布。

P564/11. 解：（1）根据维纳－辛钦定理，我们有：

则有

故 两两不相关，由于 是高斯过程，因此它们是独立的。

令：

则有：

因此有：(的联合概率密度为：

（2）由于

故有：

P568/18. 解：我们知道，平稳奥斯坦－乌伦贝克过程 是正态过程，且有：

由公式（见P466例）：

我们有：

即有：

下面计算：

当 时，有：

由于此时当时，有，因此：

当 时，我们有：

因此有：

同理可以讨论当 和 的情形，同样有 。由相关函数各态历经性定理可知，平稳奥斯坦－乌伦贝克过程具有相关函数各态历经性。

P569/23. 解：随机微分方程的解为：

P569/24. 解：将微分方程化成标准形式，有：

利用上题的结果，有：

由于为常数，因此我们有：

由于X(t)是正态分布，因此可以写出其一维分布密度为：