广东省广州市荔湾区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题（答案）.docx

广东省广州市荔湾区 2023-2024 学年第一学期九年级期末数学模拟试
题
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. 下列图形中，为中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键．

【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：B．
2. 抛物线 y=5( x - 4)2 + 2 的顶点坐标是（ ）

第 1 页/共 23 页

A. (2, 4)
B. (4, 2)
C. (2, -4)
D. (-4, 2)

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的顶点式，直接写出顶点坐标即可．
【详解】抛物线 y=5( x - 4)2 + 2 的顶点坐标是： (4, 2) ．故选 B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数 y=a ( x - h)2 + k 的顶点坐标为（h，
k）是解题的关键．
3. 如图，点 A，B，C 在eO 上，若ÐAOB = 140° ，则ÐACB 的度数为（ ）

A. 40° B. 50° C. 70° D. 140°
【答案】C

【解析】

【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：Q ÐAOB= 140° ，
\ÐACB = 70° ， 故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4. 反比例函数 y = k (k ¹ 0) 的图象在直角坐标系中的位置如图，若点 A（- 1，y ）， B（2，y ），

x 1 2
C（3，y ）的在函数 y = k (k ¹ 0) 的图象上，则 y ， y ， y 的大小关系为（ ）

3 x 1 2 3

第 3 页/共 23 页

A. y1＜y2＜y3


B. y2＜y1＜y3


C. y3＜y2＜y1


D. y2＜y3＜y1

【答案】D

【解析】

【分析】先根据函数解析式中的比例系数 k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：∵反比例函数 y = k (k ¹ 0) 的图象在二、四象限，
x
∴ k＜0 ，
∴点 A（- 1，y1）在第二象限，

∴ y1＞0 ，

∵ 3＞2＞0 ，
∴ B（2，y2）， C（3，y3）两点在第四象限，

∴ y2＜0，y3＜0 ，

∵函数图象在第四象限内为增函数，

∴ y2＜y3＜0 ．

∴ y1 ， y2 ， y3 的大小关系为 y2＜y3＜y1 ． 故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握反比例函数图象增减性，当 k＜0 时，该
反比例函数的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大．

5. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）

1 1
A. B.
2 3
1 1
C. D.
6 9

【答案】B

【解析】

【详解】解：画树状图得：

∵共有 9 种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有 3 种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为： 3 = 1
9 3
故选 B
6. 抛物线 y = ( x - 2)2 + 2 与 y 轴的交点坐标是（ ）

第 4 页/共 23 页

A. (2，2)
B. (0，6)
C. (0，2)
D. (0，4)

【答案】B

【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识．根据题意得出 x = 0 ，然后求出 y 的值，即可以得到与 y 轴的交点坐标．
【详解】解：令 x = 0 ，得 y = ( x - 2)2 + 2 = (0 - 2)2 + 2 = 6 ，故与 y 轴的交点坐标是： (0，6) ．
故选：B．
7. 如图，四边形 ABCD 是eO 的内接四边形，点 E 是 BC 延长线上一点，若ÐBAD = 114° ，则ÐDCE
的度数是（ ）

A. 94° B. 124° C. 104° D. 114°
【答案】D

【解析】

【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：QÐBAD = 114° ，
\ÐBCD = 180° - ÐBAD = 180° -114° = 66° ，
\ÐDCE = 180° - ÐBCD = 180° - 66° = 114°
故选：D．

【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质的应用，解决此题的关键是圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对角．
8. 如图，在 RtV ABC 中， ÐC = 90°, ÐABC = 30°, AC = 1cm, 将 RtV ABC 绕点A 逆时针旋转得到
Rt△AB¢C¢ ，使点C¢ 落在 AB 边上，连接 BB¢，则 BB¢的长度是（ ）

C. 3cm
A. 1cm B. 2cm D. 2 3cm

【答案】B

【解析】

【分析】由旋转的性质可知， ÐCAB=∠BAB' = 60o ，进而得出DBAB' 为等边三角形，进而求出

第 5 页/共 23 页

BB' =AB=2 ．

【详解】解：∵ ÐC =


90°, ÐABC = 30°, AC = 1cm,

由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴ AB=2 AC=2 cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，

由旋转的性质可知： ÐCAB=∠BAB' = 60o ，且 AB=AB' ，
∴ DBAB' 为等边三角形，

∴ BB' =AB=2 ．
故选：B．

【点睛】本题考查了直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
9. 某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长） 24m ，拱高（弧的中点到弦的距离） 4m ，则求拱桥的半径为（ ）

A. 16m B. 20m C. 24m D. 28m
【答案】B

【解析】

【分析】如图所示（见详解），设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为O ，可得半径OA = OC = OB ，根据垂径定理，可知RtV AOD ，设OA = OC = OB = r ，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为O ，

∵圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦的长） 24m ，拱高（弧的中点到弦的距离） 4 米，
∴ AB = 24m ， CD = 4m ，且半径OA = OC = OB ，
设OA = OC = OB = r ，在RtV AOD 中， AD = BD = 1 AB = 1 ´ 24 = 12 ， OD = r - 4 ，
2 2

∴ r 2 = 122 + (r - 4)2 ，解方程得， r = 20 ，
∴拱桥的半径为20m ， 故选： B ．
【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆的垂径定理，直角三角形的勾股定理是解题的关键．
10. 如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在反比例函数 y = 4 ( x > 0) 与 y = - 2 ( x < 0) 的图像上，点 C、
x x

D 在 x 轴上， AB、BD 分别交 y 轴于点 E、F，则阴影部分的面积等于（ ）

10 11 5
A. B. 2 C. D.
3 6 3
【答案】D

【解析】
【分析】设 A（a 4 、 a＞0 ，根据题意：利用函数关系式表示出线段OD、OE、OC、OF、EF ，然后

， ）
a
利用三角形的面积公式计算即可．

第 6 页/共 23 页

【详解】解：设点 A 的坐标为 A（a ， a＞0 ．则OD = a，OE = 4 ．
4

， ）
a a
∴点 B 的纵坐标为 4 ．
a
∴点 B 的横坐标为- a ．
2
∴ OC = a ．
2
∴ BE = a ．
2
∵ AB ∥CD ，
∴VBEF :VDOF ，

第 7 页/共 23 页

∴ EF = BE
= 1 ．

OF OD 2
∴ EF = 1 OE = 4 , OF = 2 OE = 8 ．
3 3a 3 3a

∴ S = 1 EF ´ BE = 1 ´

4 ´ a = 1 ．

DBEF
2 2 3a 2 3

S = 1 ´ OD ´ OF = 1 ´ a ´ 8 = 4 ．

DODF
2 2 3a 3

∴ S = S + S
= 1 + 4 = 5 ．

阴影 V BEF

故选：D．
VODF
3 3 3

【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图像上点的坐标的特征、矩形的性质等知识点，灵活利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．）
11. 若 2 是关于 x 的方程 x2 - c = 0 的一个根，则c = ．
【答案】4

【解析】
【分析】将 x = 2 代入方程可得一个关于c 的一元一次方程，解方程即可得． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解的意义是解题的关键．
【详解】解：由题意，将 x = 2 代入方程 x2 - c = 0 得： 22 - c = 0 ， 解得c = 4 ，
故答案为：4．

12. 点（2，3）绕原点逆时针旋转 90°对应点的坐标是 ．

【答案】(-3, 2)

【解析】
【分析】先画出平面直角坐标系，再根据旋转的性质即可得出答案．
【详解】解：由题意，画出图形如下，其中点A 的坐标为(2, 3) ：

过点A 作 AB ^x 轴于点 B ，则OB = 2, AB = 3 ，

因为点 A¢, B¢分别是点 A, B 绕原点逆时针旋转90° 的对应点， 所以OB¢ = OB = 2, A¢B¢ = AB = 3, A¢B¢ ^ y 轴，
又因为点 A¢ 位于第二象限， 所以点 A¢ 的坐标为(-3, 2) ， 故答案为： (-3, 2) ．
【点睛】本题考查了求绕原点逆时针旋转90° 的点坐标，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
13. 一口袋中装有 10 个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为 0.4．据此估计：口袋中约有 个黄球．
【答案】15

【解析】

【分析】通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为 0.4，即红球占总数的 0.4，列方程求解即可．

第 8 页/共 23 页

10
【详解】解：设有黄球 x 个，由题意得，
10 + x
= 0.4 ，

解得， x = 15 ，
经检验， x = 15 是原方程的解， 故答案为：15
【点睛】本题考查频率估计概率，理解频率和概率之间的关系是正确解答的关键．

1 2 3
14. 已知 A(-1, y ), B (1, y
), C (4, y
) 三点都在二次函数 y = -( x - 3)2 + k 的图象上，则 y , y , y 的大小

1 2 3
关系为

【答案】 y1 < y2 < y3 ## y3 > y2 > y1

【解析】
【分析】本题考查了根据二次函数的图象和性质，根据解析式可得二次函数的对称轴为直线 x = 3 ，二次函数图象开口向下，进而根据点距离对称轴越远，函数值越小，即可求解．
【详解】解：∵ -1 < 0 ，

第 9 页/共 23 页

∴二次函数图象开口向下，

∵ y = -( x - 3)2 + k ，
∴二次函数的对称轴为直线 x = 3 ，
∵抛物线 y = -( x - 3)2 + k 的图象上有三个点 A(-1, y ), B (1, y


), C (4, y ) ，

-1- 3 = 4, 1- 3 = 2, 4 - 3 = 1，

∴ y1 < y2 < y3 ，

故答案为： y1 < y2 < y3
1 2 3

15. 如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数 y = 4 上，第二象限的点 B 在反比例函数 y = k 上，且
x x
OA ^ OB ， OB = 3 ，则 k 的值为 ．
OA 4

【答案】 - 9
4
【解析】
【分析】作 AC⊥x 轴于点 C，作 BD⊥x 轴于点 D，易证VOBD ∽△AOC ，则面积的比等于相似比的平方，然后根据反比例函数中比例系数 k 的几何意义即可求解．
【详解】解：作 AC⊥x 轴于点 C，作 BD⊥x 轴于点 D．

则∠BDO＝∠ACO＝90°， 则∠BOD＋∠OBD＝90°，
∵OA⊥OB，

∴∠BOD＋∠AOC＝90°，

∴∠OBD＝∠AOC，
∴VOBD ∽△AOC ，

第 19 页/共 23 页

∴ SVOBD
æ OB ö2
= ç ¸
æ 3 ö2 9
= ç ¸ = ，

SV AOC
è OA ø è 4 ø 16

1
又∵S△AOC＝ 2 ×4＝2，
9
∴S△OBD＝ 8 ，
∵第二象限的点 B 在反比例函数 y = k 上
x
∴k＝ - 9 ．
4
故答案为- 9 ．
4
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数 k 的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键．
16. 已知二次函数的 y＝ax2+bx+c （a≠0）图象如图所示，有下列 4 个结论：①abc＜0；②b＜a+c；
③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1 的实数），其中正确的结论有 ．

【答案】①③

【解析】
【分析】①由抛物线开口向下 a＜0，抛物线和 y 轴的正半轴相交，c＞0， - b
2a


＝1＞0，b＞0，②令 x＝

﹣1，时 y＜0，即 a﹣b+c＜0，③ - b
2a
＝1，即 2a+b＝0，④把 x＝m 代入函数解析式中表示出对应的函数

值，把 x＝1 代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知 x＝1 时函数值最大，所以 x＝1 对应的函数值大于 x＝m 对应的函数值，化简得到不等式．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，抛物线和 y 轴的正半轴相交，

∴a＜0，c＞0，

b
∵ - ＝1＞0，
2a
∴b＞0，

∴abc＜0，故①正确；

②令 x＝﹣1，时 y＜0，即 a﹣b+c＜0，故②错误；

③∵ - b
2a

＝1，

∴2a+b＝0， 故③正确；
④x＝m 对应的函数值为 y＝am2+bm+c，
x＝1 对应的函数值为 y＝a+b+c，又 x＝1 时函数取得最大值，

∴a+b+c＞am2+bm+c，即 a+b＞am2+bm＝m（am+b），故④错误；
故答案为①③．

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数、性质，熟练掌握二次函数的图象与系数、性质的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 解下列方程：

（1） x2 - 4x - 5 = 0 ；

（2） ( x + 3)2 = 2 ( x + 3) ．
【答案】（1） x1 = 5, x2 = -1

（2） x1 = -3, x2 = -1

【解析】

【分析】本题主要考查利用因式分解法解一元二次方程，

（1） 选择因式分解法求解即可．

（2） 选择因式分解法先移项，再提取公因式求解即可．

【小问 1 详解】

解：∵ x2 - 4x - 5 = 0 ，
∴ ( x - 5)( x +1) = 0 ，
∴ x - 5 = 0, x + 1 = 0 ， 解得 x1 = 5, x2 = -1．
【小问 2 详解】
∵ ( x + 3)2 = 2 ( x + 3) ，
∴ éë( x + 3) - 2ùû ( x + 3) = 0 ，
∴ x + 3 = 0, x +1 = 0 ， 解得 x1 = -3, x2 = -1 ．
18. 在平面直角坐标系中， V ABC 的顶点坐标是 A(2, 4) ， B (1,0) ， C (3,1) ．试画出V ABC 绕点O 逆时
针旋转 90°的△A1B1C1 ，并写出 A1 、C1 坐标．

【答案】图见解析， A1 (-4, 2) 、C1 (-1, 3)

【解析】

【分析】先画出点 A、B、C 绕点O 逆时针旋转 90°的对应点，再一次连接即可，最后根据图形写出 A1 、C1

坐标即可．

【详解】解：如图：

由图可知： A1 (-4, 2) 、C1 (-1, 3)．
【点睛】本题主要考查了旋转的作图，解题的关键是熟练掌握旋转的作图方法和步骤．
19. 如图，在V ABC 中，已知 AB = AC ，ÐC = 50° ，将V ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转一定的角度后得到VDBE ，若 DE 恰好经过点 A，设 BE 与 AC 相交于点 F，求ÐAFB 的大小．

【答案】70°
【解析】

【分析】根据“等边对等角”与“三角形内角和定理”求得ÐABC, ÐBAC 大小，然后根据旋转的性质得

BA = BD, ÐD = ÐBAC ， ÐCBE = ÐABD ，再求出ÐABD ，然后根据三角形的外角性质即可得解．
【详解】解：Q AB = AC ， ÐC = 50° ，
\ÐABC = ÐC = 50° ，
\ÐBAC = 180° - 50°´ 2 = 80°，
Q将V ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转一定的角度后得到VDBE ，若 DE 恰好经过点 A，
\ BA = BD, ÐD = ÐBAC = 80° ， ÐCBE = ÐABD ，
在△ABD 中， BA = BD ，
\ÐD = ÐBAD = 80° ，
\ ÐABD = 180° - 80°´ 2 = 20°，
\ÐCBE = ÐABD = 20° ，
\ÐAFB = ÐC + ÐCBE = 50° + 20° = 70° ；
\ÐAFB 的大小为70° ．
【点睛】此题考查了图形旋转的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握并运用相关性质与定理进行逻辑推理是解答此题的关键．
20. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了 5 个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）： A ．音乐； B ．体育； C ．美术； D ．阅读； E ．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1） ①此次调查一共随机抽取了 名学生；

②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角a = 度；
（2） 若该校有 2800 名学生，估计该校参加 D 组（阅读）的学生人数；
（3） 学校计划从 E 组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】（1）①400；②图见解析③54
（2） 参加 D 组（阅读）的学生人数为 980 人
1
（3） 恰好抽中甲、乙两人的概率为
6
【解析】

【分析】（1）①利用参加体育活动小组的人数除以所占的百分比求出总人数；②先求出参加 A, C 小组的人数，再补全条形图即可；③用360°´ C 小组人数所占的百分比求出圆心角度数即可；
（2） 用总人数乘以参加 D 组在样本中所占的百分比，进行求解即可；
（3） 利用列表法求出概率即可．

【小问 1 详解】
解：①100 ¸ 25% = 400 （人）；故答案为： 400 ；
②参加A 组的学生人数为： 400 ´15% = 60 （人）；
参加C 组的学生人数为： 400 - 60 -100 -140 - 40 = 60 （人）；补全条形图如下：

③ a = 360°´
60

400
= 54° ；

故答案为：54；

【小问 2 详解】
解： 2800 ´ 140 = 980 （人）；
400
答：参加 D 组（阅读）的学生人数为 980 人．

甲
乙
丙
丁
甲

甲，乙
甲，丙
甲，丁
乙
乙，甲

乙，丙
乙，丁
丙
丙，甲
丙，乙

丙，丁
丁
丁，甲
丁，乙
丁，丙

【小问 3 详解】解：列表如下：

共有 12 种等可能的结果，其中抽到甲、乙两人的情况有 2 种，

∴ P =
2 = 1 ；

12 6
1
答：恰好抽中甲、乙两人的概率为 ．
6
【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从条形图和扇形图中有效的获取有效信息，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
21. 某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 25 元时，每天可卖出 250 件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价 1 元，每天要少卖出 10 件．
（1） 求出每天所得的销售利润 w（元）与每件涨价 x（元）之间的函数关系式；

（2） 销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？

【答案】（1）w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）销售单价为 35 元时，该商品每天的销售利润最大

【解析】

【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；

（2）利用二次函数的性质得出销售单价.

【详解】（1）根据题意得：w =（25+x-20)(250-10x）

即：w =-10x2+200x+1250 或 w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）

（2）∵-10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，

当x = - b = - 200

= 10 时，销售利润最大

2a 2 ´(-10)

此时销售单价为：10+25=35（元）

答：销售单价为 35 元时，该商品每天的销售利润最大．

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．

22. 如图，AB＝BC，以 BC 为直径作⊙O，AC 交⊙O 于点 E，过点 E 作 EG⊥AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G．
（1） 求证：EG 是⊙O 的切线；

3
（2） 若 GF＝2 ，GB＝4，求⊙O 的半径．

【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径为 4

【解析】

【分析】（1）连接 OE，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；

（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．

【详解】解：（1）连接 OE．

∵AB＝BC，

∴∠A＝∠C；

∵OE＝OC，

∴∠OEC＝∠C，

∴∠A＝∠OEC，

∴OE∥AB，

∵BA⊥GE，

∴OE⊥EG，且 OE 为半径；

∴EG 是⊙O 的切线；

（2）∵BF⊥GE，

∴∠BFG＝90°，

3
∵ GF = 2
，GB＝4，

BG2 - GF2
∴ BF = = 2 ，

∵BF∥OE，

∴△BGF∽△OGE，
∴ BF = BG ，
OE OG
∴ 2 = 4 ，

OE 4 + OE
∴OE＝4，

即⊙O 的半径为 4．

【点睛】

本题考查了圆和三角形的综合问题，掌握等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23. 如图，一次函数 y = x + 4 的图象与 y 轴交于点 C，与反比例函数 y = k 的图象交于 B (-1, m) ，
x
A(n,1) 两点．

（1） 求 A、B 两点的坐标和反比例函数的表达式；
（2） 连接OA 、OB ，求△OAB 的面积；
（3） 在 x 轴上找一点 P，使 PA + PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标．
【答案】（1） B (-1，3) 、 A(-3，1) ； y = - 3
x
（2）4 （3） æ - 5 ,0 ö
ç 2 ¸
è ø
【解析】
【分析】（1）把 B (-1, m) ， A(n,1) 两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出 m、n 的值，再把 B 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出 k 的值；
（2） 求得 C 的坐标，然后根据 S△ AOB = S△ AOC - S△ BOC 求得即可；
（3） 作 B 点关于 x 轴的对称点 B¢，连接 AB¢ 交 x 轴于 P 点，则 B¢(-1，- 3) ，利用两点之间线段最短可判断此时 PA + PB 的值最小，再利用待定系数法求出直线 AB¢ 的解析式，然后求出直线与 x 轴的交点坐标即可得到 P 点坐标．
【小问 1 详解】
解：把 B (-1, m) ， A(n,1) 两点的坐标代入 y = x + 4 ， 得 m = -1+ 4 = 3 ，
n + 4 = 1，解得 n = -3 ， 则 B (-1，3) 、 A(-3，1) ，
把 B (-1，3) 代入 y = k ，得k = -3 ´1 = -3 ，
x
∴反比例函数的表达式为 y = - 3 ；
x
【小问 2 详解】

解：∵一次函数 y = x + 4 的图象与 y 轴交于点 C，

∴ C (0，4) ，
∴ OC = 4 ，
∵ B (-1，3) 、 A(-3，1) ，

第 20 页/共 23 页

∴ SV AOB

= SV AOC

- SV BOC

= 1 ´ 4 ´ 3 - 1 ´ 4 ´1 = 4 ； 2 2

【小问 3 详解】

解：作 B 点关于 x 轴的对称点 B¢ ，连接 AB¢ 交 x 轴于 P 点，则 B¢(-1，- 3) ，

∵ PA + PB = PB¢ + PA = AB¢ ，
∴此时 PA + PB 的值最小，
设直线 AB¢的解析式为 y = mx + n(m ¹ 0) ，
í-3m + n = 1
把点 B¢(-1，- 3) ， A(-3，1) 的坐标代入 y = mx + n ，得ì-m + n = -3 ，
î

ìm = -2
î
解得ín = -5 ，
∴直线 AB¢的解析式为y = -2x - 5，
当 y = 0 时， 0 = -2x - 5 ，解得： x = - 5 ，
2
∴点 P 的坐标为æ - 5 ,0 ö ．
ç 2 ¸
è ø

【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，（1）是熟练掌握

待定系数法，（2）利用割补法，（3）是作出点 B 关于 x 轴的对称点 B¢ ，求得对称点的坐标．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx - 4 与 x 轴交于点 A(-2, 0)，B (4, 0) ，与 y 轴交于点C，点 D 为 BC 的中点．

（1） 求该抛物线的函数表达式；
（2） 点 G 是该抛物线对称轴上的动点，若GA + GC 有最小值，求此时点 G 的坐标；
（3） 若点 P 是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP 面积的最大值；
【答案】（1） y = 1 x2 - x - 4
2
（2） (1, -3)

（3） △BDP 面积的最大值为 2
【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2） 根据对称轴得出当点 G 正好在直线 BC 与抛物线对称轴的交点上时GA + GC 最小，求出直线 BC 的解析式 y = x - 4 ，求出抛物线的对称轴为直线 x = 1 ，把 x = 1 代入 y = x - 4 求出点 G 的坐标即可；

第 21 页/共 23 页

（3） 连接 PC ，过点 P 作 PQ ∥ y 轴，交 BC 于点 Q，根据点 D 是 BC 的中点，得出 S

V BDP
= 1 S 2
V PBC ，

æ 1 2 ö

当△PBC 面积最大时， △BDP 面积最大，设 P ç m, 2 m - m - 4 ¸ ，则Q (m, m - 4) ，用 m 表示出
è ø

SVPBC ，求出其最大值，即可得出答案．

【小问 1 详解】

解：把 A(-2, 0)，B (4, 0) 代入抛物线 y = ax2 + bx - 4 得：
í
ì4a - 2b - 4 = 0
，
î16a + 4b - 4 = 0

ï
ìa = 1
解得： í 2 ，
ïîb = -1
∴抛物线的函数表达式为 y = 1 x2 - x - 4 ；
2
【小问 2 详解】

解：∵点 G 是该抛物线对称轴上的动点，
∴ GA = GB ，
∴ GA + GC = GB + GC ，
∴当点 G 正好在直线 BC 与抛物线对称轴的交点上时GA + GC 最小，
把 x = 0 代入 y = 1 x2 - x - 4 得： y = -4 ，
2
∴点 C 的坐标为： (0, -4) ，
设直线 BC 的解析式为： y = kx - 4(k ¹ 0) ， 把 B (4, 0) 代入得： 0 = 4k - 4 ，
解得： k = 1 ，
∴ 直线 BC 的解析式为： y = x - 4 ，

第 23 页/共 23 页

抛物线的对称轴为直线

x = -
-1 = 1 2 ´ 1 ，
2

把 x = 1 代入 y = x - 4 得： y = 1- 4 = -3 ，
∴点 G 的坐标为： (1, -3) ；
【小问 3 详解】

解：连接 PC ，过点 P 作 PQ ∥ y 轴，交 BC 于点 Q，如图所示：

∵点 D 是 BC 的中点，

∴ SV BDP
= 1 S 2

V PBC ，

∴当△PBC 面积最大时， △BDP 面积最大，
设 P æ m, 1 m2 - m - 4 ö(0 < m < 4) ，则Q (m, m - 4) ，
ç 2 ¸
è ø
PQ = m - 4 - 1 m2 + m + 4 = - 1 m2 + 2m ，
2 2

SV PBC
= 1 PQ ´ 4 2

= 2 ´æ - 1 m2 + 2m ö
ç 2 ¸
è ø
= -m 2 + 4m
= -(m - 2)2 + 4 ，
∴当 m = 2 时，△PBC 面积取最大值 4，
∴△BDP 面积的最大值为 1 ´ 4 = 2 ．
2
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质， 解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合．