广东省广州市增城区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题（答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
个选项符合题目要求．）

1. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念判断．

【详解】解： A 、是中心对称图形，不合题意；

B 、是中心对称图形，不合题意； C 、不是中心对称图形，符合题意； D 、是中心对称图形，不合题意． 故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图的概念，解题的关键是中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．
2. 下列事件属于必然事件的是（ ）

A. 足球比赛中梅西罚进点球
B. 小强在校运会上100 米比赛的成绩为5 秒
C. 今年成都12 月份下雪
D. 我校初一年级有7 个班， 8 个我校初一年级同学中至少有两个同学同班
【答案】D

【解析】

【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键；必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下， 一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

【详解】解：A、足球比赛中梅西罚进点球，是随机事件，选项不合题意；
B、小强在校运会上100 米比赛的成绩为5 秒属于不可能事件，选项不合题意；
C、今年成都12 月份下雪是随机事件，选项不合题意；

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D、我校初一年级有7 个班， 8 个我校初一年级同学中至少有两个同学同班是必然事件，符合题意．
故选：D．
3. 在反比例函数 y = 1- k 图像的每一个象限内，y 都随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是（
）．

A. k > 0
x
B. k > 1

C. k ³ 0

D. -1 £ k < 1

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【答案】B

【解析】

【分析】利用反比例函数的性质判断即可．
【详解】解：Q在反比例函数 y = 1- k 的图象的每一个象限内， y 都随 x 的增大而增大，
x
\1- k < 0 ，即 k > 1 ． 故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
4. 如图，在V ABC 中， ÐA＝30° ，将V ABC 绕着 B 点逆时针旋转40°，到VBDE 的位置，则Ða 的度数是( )
A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°
【答案】A

【解析】

【分析】根据旋转的性质得到∠DBA=40°，∠D=∠A=30°，利用三角形内角和定理得到

∠1+∠A+∠ABD=∠2+∠D+∠α=180°，而∠1=∠2，即可确定∠α=∠ABD．

【详解】解：如图，∵将△ABC 绕着点 B 逆时针旋转 40°，到△BDE 的位置，

∴∠DBA=40°，∠D=∠A=30°，

∵∠1+∠A+∠ABD=∠2+∠D+∠α=180°，

而∠1=∠2，

∴∠α=∠ABD=40°．

故选：A．

【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．

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3
5. 分式方程 =
x +1
2

x -1

的解是（ ）

A. x＝5 B. x＝﹣1 C. x＝1 D. x＝﹣5

【答案】A

【解析】
【分析】观察可得最简公分母是( x +1)( x -1) ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程，然后进行求解检验即可．
【详解】解：去分母，方程两边同时乘以( x +1)( x -1) ， 得： 3( x -1) = 2 ( x +1) ，
解得： x = 5 ，
检验： x = 5 时， ( x +1)( x -1) ¹ 0 ，
∴原方程的解是 x = 5 ， 故选：A．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
6. 两个相邻奇数的积为 195，若设较大的奇数为 x，则可列方程为( )

A. x(x + 2) = 195 B. (2x +1)(2x -1) = 195

C. x(x +1) = 195 D. x(x - 2) = 195

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设较大的奇数为 x，那么较小的奇数为 x - 2 ， 则这两个数的积是 x ( x - 2) 即可列出方程．
【详解】解：设较大的奇数为 x，根据题意得 x ( x - 2) = 195 ， 故选：D．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知 B (2, 0) ，四边形 ABCD 和 AEFG 都是正方形，点 A、D、E 共线， 点 G、A、B 在 x 轴上，点 C，E，F 在以 O 为圆心 OC 为半径的圆上，则 F»C 的长为（ ）．

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A. 5p 2
5p
C. D. 5p
2

B. 5p
【答案】A

【解析】
【分析】设正方形 AEFG 的边长为 a，用 a 表示出 BC 和 OC，在 RtVOBC 中，根据勾股定理建立方程求出a，可得正方形 AEFG 的边长为 2，正方形 ABCD 的边长为 1，和圆的半径 r，再证出
VFGO @VOBC(SAS ) 得出ÐFOC = 90o ，进而求出弧长．
【详解】解：设正方形 AEFG 的边长为 a，
QOE = OF ， EF ^ x 轴，
\ AO = 1 AG = a ，
2 2

\ AB = OB - OA = 2 - a ，
2

在 Rt△OAE 中，

AE = a ， AO = a ，
2

EO =
= 5 a ，
AE2 + OA2
2

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\OC =
5 a ，
2

在 RtVOBC 中，
OB2 + BC 2 = OC 2

Q BC = AB = 2 - a ，
2

\ 22 + (2 - a )2 = ( 5 a)2 ，
2 2
解得 a = 2或- 4 （舍去），
\正方形 AEFG 的边长为 2， 正方形 ABCD 的边长为 1，
\OG = BC = 1， FG = OB = 2
又QÐFGO = ÐCBO = 90o
\VFGO @VOBC(SAS )
\ÐGFO = ÐBOC
QÐGFO + ÐFOG = 90o

\ÐBOC + ÐFOG = 90o ，

\ÐFOC = 90o ，

Q r = OC =
5 a =
5
2

5
\ F»C = 1 ´ 2pr = 1 ´ 2p´ = 5 p．
4 4 2

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定和弧长的求法，牢固掌握以上知识点并灵活应用是做出本题的关键．
8. 如图，直线 AB 与eO 相切于点A ， CD 是eO 的一条弦，且CD ∥ AB ，连接 AC ．若eO 的半径为

3
2 ， CD = 2

，则阴影部分的面积为（ ）

3
3
A. 4π - B. 4π C. 4 2π - D. 2 π - 3

3 3 3

【答案】A

【解析】
【分析】如图所示，过点O 作 EF ∥ AB ，作OH ^ CD 于 H ，可得ÐOCH = 30° ， ÐAOC = 120° ，结合图形可求出扇形OAC 的面积， VOAC 的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点O 作 EF ∥ AB ，作OH ^ CD 于 H ，则点 H 是CD 的中点，

∵直线 AB 与eO 相切于点A ， CD ∥ AB ，
∴ A, O, H 在同一条直线上，且 AB∥EF∥CD ，
3
3
∴ CH = DH = 1 CD = 1 ´ 2 = ，
2 2
在Rt△ COH 中， CO = 2 ，

CO2 - CH 2
22 - ( 3)2
∴ OH = =
∴ ÐOCH = 30° ，
∵ AB∥EF∥CD ，
= 1 ，

∴ ÐHCO = ÐCOF = 30°, ÐFOA = ÐOAB = 90°，
3
∴ ÐAOC = 120° ，

∴ S = 120 ´p´ 22 = 4p， S

= 1 OH gCH = 1 ´1´ = 3 ，

扇形OAC
360 3
△COH
2 2 2

S = 1 CH g AH = 1 ´ 3 ´(1+ 2) = 3 3 ，

△ACH
2 2 2

∴ S = S - S
= 3 3 - 3 =

3
，

△OAC
△ACH
△OCH 2 2

∴阴影部分的面积为 S 故选： A ．


扇形OAC
- S△OAC
= 4p- ，
3
3

【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂进定理，平行线的性质，特殊角的直角三角形，扇形面

积的计算方法是解题的关键．

9. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 与△OCD 位似，点 O 是它们的位似中心，已知 A（﹣6，4），C

（3，﹣2），则△OAB 与△OCD 的面积之比为（ ）

A. 1：1 B. 2：1 C. 3：1 D. 4：1

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用位似图形的性质结合对应点坐标得出位似比，进而得出面积比．

【详解】解：∵△OAB 与△OCD 位似，点 O 是它们的位似中心，A（﹣6，4），C（3，﹣2），

∴△OAB 与△OCD 的位似比为：6：3＝2：1， 则△OAB 与△OCD 的面积之比为：22：1＝4：1． 故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = x2 - 2x + m (m < 0) 交 y 轴于点C ，过点C 作线段CB ∥ x 轴交于点 B ，过点 B 作线段 BA ^ x 轴于点A ，当V ABC 为等腰直角三角形时， m 的值是（ ）

A. ― 2 3

【答案】C
B. - 4 3
C. ―2 D. -4

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，先求出C 的坐标，然后根据题意求得 B 的坐标，代入解析式得到关于 m 的方程，解方程即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线 y = x2 - 2x + m (m < 0) 交 y 轴于点C ，
∴ C (0, m) ，
∴ OC = -m ，
∵ CB ∥ x 轴， BA ^ x 轴，
∴ AB = OC = -m ，
∵V ABC 为等腰直角三角形，
∴ BC = AB ，
∴ B (-m, m) ，
∵ B 在抛物线 y = x2 - 2x + m (m < 0) 上，
∴ m = (-m)2 + 2m + m ，
解得m1 = -2 ， m2 = 0 （舍去），故选： C ．
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
11. 如果e A 的直径为6cm ，且点 B 在e A 上，则 AB = cm ．
【答案】3
【解析】

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点和圆的位置关系即可求解，解题的关键是正确理解：点和圆心的距离为 d 半径为 r ，点 P 在eO 外，则d > r ，点 P 在eO 上，则 d = r ，点 P 在eO 内，则
d < r ．
【详解】解：如图：

∵点 B 在e A 上，
∴𝐴𝐵 为半径，
∴ AB = 1 ´ 6cm = 3cm ，
2
故答案为： 3 ．
12. 已知△ABC ∽△DEF ， AB : DE = 1: 2 ，则V ABC 与 VDEF 的相似比是 ； VDEF 与
V ABC 的相似比是 ．
【答案】 ①. 1: 2 ②. 2 :1
【解析】

【分析】本题考查求相似比，掌握相似三角形对应边的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形对应边的比等于相似比解答即可．
【详解】解：Q△ABC∽△DEF ， AB : DE = 1: 2 ，
\V ABC 与 VDEF 的相似比= AB : DE = 1: 2 ， VDEF 与V ABC 的相似比= DE : AB = 2 :1，故答案为：1: 2 ； 2 :1．
13. 一个袋子里有 n 个除颜色外完全相同的小球，其中有 8 个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4 附近，那么 n 大约是 ．
【答案】20

【解析】

【分析】根据频率估计概率，计算即可，本题考查了频率估计概率，熟练掌握估算方法是解题的关键．
【详解】根据题意，得 8 = 0.4 ，
n
解得 n = 20 ， 故答案为：20．
14. 若关于 x 的一元二次方程 x2 - 2kx +1 = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为 .

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【答案】 ±1

【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程.熟练掌握当“ D = 0 时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键.
【详解】解：由题意得， D = (-2k )2 - 4 ´1´1 = 4k 2 - 4 = 0 ，解得： k = ±1
故答案为： ±1
15. 如图，点 A 在反比例函数 y = k (x < 0) 的图象上，过点 A 作 x 轴，y 轴的垂足分别为点 B，C，若
x
AB = 1.5 ， AC = 4 ，则 k 的值为 ．

【答案】 -6

【解析】

【分析】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于| k | ．
根据反比例函数 k 的几何意义可得| k |= AB ´ AC ，再根据图象在第二象限可确定 k < 0 ，进而得到解析式．
【详解】解：Q S矩形ABOC = AB ´ AC = 1.5 ´ 4 = 6 ，

\ | k |= 6 ，
Q图象在第二象限，
\ k < 0 ，
\ k = -6 ，
故答案为∶ -6 ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是 A(3，0)，B(0，4)，把线段 AB 绕点 A 旋转后得到线段 AB′，使点 B 的对应点 B′落在 x 轴的正半轴上，则点 B′的坐标是 ．

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【答案】(8，0)

【解析】

【分析】利用勾股定理求出 AB 即可解决问题．
【详解】∵ A(3，0)，B (0，4) ，
∴ OA = 3，OB = 4 ，
∵∠AOB=90°，

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OA2 + OB2
∴AB=

∵ AB = AB ' = 5 ，
∴ OB ' = 8 ，
∴ B '(8，0) ，
故答案为： (8，0) ．
=5，

【点睛】本题主要考查了勾股定理以及坐标与图形的性质，正确得出 AB′的长是解题关键．
三．解答题（共 9 小题，满分 72 分）
17. 运用平方差，完全平方公式解方程：

（1）16(x - 1)2 = 225

（2） 4x2 - 4x + 1 = x2 - 6x + 9

（3） 9(x + 1)2 = 4(x - 1)2

（4） x2 - 4x + 4 = (3 - 2x)2

【答案】（1） x = -
11 ， x = 19

1 4 2 4
（2） x = 4 ， x = -2

1 3 2

（3）x
= - 1 ，x ＝﹣5

1 5 2

（4） x = 1 ， x = 5
1 2 3
【解析】

【分析】运用因式分解法解一元二次方程，能提公因式动用提公因式法，能运用完全平方式或平方差就用其公式来降次求解．
（1） 根据平方差公式分解因式求解即可；

（2） 先根据完全平方公式变形(2x -1)2 - (x - 3)2 = 0 ，再根据平方差公式分解因式求解即可；

（3） 根据平方差公式分解因式求解即可；

（4） 先根据完全平方公式变形(x - 2)2 - (3 - 2x)2 = 0 ，再根据平方差公式分解因式求解即可．

【小问 1 详解】

解： 16(x - 1)2 - 152 = 0 ，
所以[4(x - 1) + 15][4(x - 1) - 15] = 0 ， 即4x +11 = 0 ， 4x - 19 = 0 ，

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得 x = -
11 ， x = 19 ．

1 4 2 4

【小问 2 详解】

解：方程变为(2x -1)2 - (x - 3)2 = 0 ，
所以[(2x - 1) + (x - 3)][(2x - 1) - (x - 3)] = 0 ， 即3x - 4 = 0 ， x + 2 = 0 ，
得 x = 4 ， x = -2 ．

1 3 2

【小问 3 详解】

解：原方程变为[3(x + 1)]2 -[2(x - 1)]2 = 0 ，

所以[3(x + 1) + 2(x - 1)][3(x + 1) - 2(x - 1)] = 0 ， 即(5x + 1)(x + 5) = 0 ，
得 x = - 1 ， x = -5 ．

1 5 2

【小问 4 详解】

解： (x - 2)2 = (3 - 2x)2 ．

(x - 2)2 - (3 - 2x)2 = 0 ，
(x - 2 + 3 - 2x)(x - 2 - 3 + 2x) = 0 ，

(1- x)(3x - 5) = 0 ，
所以 x = 1 ， x = 5 ．
1 2 3

18. 已知：如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点O ， S△ AOD = S△BOC .

（1） 求证： DO = CO ；
2
OB OA

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（2） 设△OAB 的面积为S ， CD
AB
= k ，求证：S 四边形 ABCD = (k +1) S .

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由 S△AOD=S△BOC 易得 S△ADB=S△ACB，根据三角形面积公式得到点 D 和点 C 到 AB 的距离相等， 则 CD∥AB，于是可判断△DOC∽△BOA，然后利用相似比即可得到结论；
（2）利用相似三角形的性质可得结论．

【详解】（1）∵S△AOD=S△BOC，
∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB，即 S△ADB=S△ACB，
∴CD∥AB，

∴△DOC∽△BOA，
∴ DO ＝CO ；
OB OA
（2）∵△DOC∽△BOA

∴ CD ＝ DO ＝ CO

＝k， SVCOD ＝æ CD ö 2=k2，

AB BO AO
ç ¸
AB
SV AOB è ø

∴DO=kOB，CO=kAO，S△COD=k2S，
∴S△AOD=kS△OAB=kS，S△COB=kS△OAB=kS，
∴S 四边形 ABCD=S+kS+kS+k2S=（k+1）2S．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，证明△DOC∽△BOA 是解题的关键．
19. 如图，是由两个半圆组成的图形，点 O 是大半圆的圆心， AB 是大半圆的直径， OA 是小半圆的直径，点 C 是OB 的中点．画出这个图形关于点 C 成中心对称的图形．

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转的性质即可画出这个图形关于点 C 成中心对称的图形．
【详解】解：如图，两个虚线的半圆即为这个图形关于点 C 成中心对称的图形．

20. 某公司在六一儿童节来临之际，为员工子女准备了价格不同的三种礼物，员工通过抽签的方式随机选择礼物类型：将 A（书包）、B（滑板鞋）、C（儿童手表）分别写在无差别的三个乒乓球上，将其放在不透明的盒子中摇匀，员工老李先从中随机摸出一个球，记下结果后放回摇匀，再由老张从中随机摸出一个， 记下结果后放回．
（1） 老李没有抽中“书包”是 事件，老张抽中“笔记本电脑”是 事件（填“不可能”或

“必然”或“随机”）；老李抽中“滑板鞋”的概率为 ；

（2） 试用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出老李和老张抽中相同礼物的概率．
1
【答案】（1）随机，不可能，
3
1
（2）老李和老张抽中相同礼物的概率为 ．
3
【解析】

【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；

（2）画树状图得出所有等可能的结果，再从中找到符合条件的结果数，然后利用概率公式计算可得．

【小问 1 详解】
解：老李没有抽中“书包”是随机事件； 老张抽中“笔记本电脑”是不可能事件；
1
老李抽中“滑板鞋”的概率为 ；
3
1
故答案为：随机，不可能， ；
3

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第一次第二次

A

B

C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）

【小问 2 详解】解：列表如下：

可能出现的结果共有 9 种，并且它们出现的可能性相同，其中老李和老张抽中相同礼物的结果有 3 种， 则老李和老张抽中相同礼物的概率为 3 = 1 ．
9 3
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，已知矩形 ABCD ．根据以下作图过程，解答下列问题：

①连接 BD ；

1
②分别以点 B ， D 为圆心，大于 2 BD的长为半径作弧，两弧相交 E ， F 两点；
③作直线 EF ，分别交 AD ， BD ， BC 于点G ， O ， H ；
④连接 BG ， HD ；
③以O 为圆心， AB 为直径作eO ．
（1） 求证：四边形 BHDG 是菱形；
（2） 求证： DH 为eO 的切线．
【答案】（1）详见解析

（2）详见解析

【解析】

【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质，得出ÐADB = ÐDBC ， OD = OB ，再根据题意，得出 EF
是 BD 的垂直平分线， 再根据“ 角边角”， 得出VGDO≌VHBO ， 再根据全等三角形的性质， 得出
DG = BH ，再根据平行四边形的判定，得出四边形 BHDG 是平行四边形，再根据菱形的判定定理，即可得出结论；
（2）过点O 作OM ^ AD ， ON ^ DH 于点 M 、 N ，根据菱形的性质，得出ÐMDO = ÐNDO ，再根据角平分线的性质，得出OM = ON ，再根据切线的判定定理，即可得出结论．
【小问 1 详解】
证明：∵在矩形 ABCD 中， AD ∥ BC ，
∴ ÐADB = ÐDBC ， ÐDGO = ÐBHO ， 由作图过程可知： EF 是 BD 的垂直平分线，
∴ OD = OB ，
∴VGDO≌VHBO (AAS) ，
∴ DG = BH ，
∵ DG ∥ BH ，
∴四边形 BHDG 是平行四边形，
∵ EF 是 BD 的垂直平分线，
∵ GB = GD ，
∴四边形 BHDG 是菱形；
【小问 2 详解】
证明：如图，过点O 作OM ^ AD ， ON ^ DH 于点 M 、 N ，

∵四边形 BHDG 是菱形，
∴ ÐMDO = ÐNDO ，
∵ OM ^ AD ， ON ^ DH ，
∴ OM = ON ，
∵以O 为圆心， AB 为直径作eO ， 又∵ OM ^ AD ，

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∵ OM 是eO 的半径，

∴ ON 是eO 的半径，
∴ DH 是eO 的切线．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、角平分线的性质、切线的判定定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
22. 如图 1 是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽 AB 与桥长 CD 均为 24m，在距离 D 点 6m 的点 E 处， 测得桥面到桥拱的距离 EF 为 1.5m，以桥拱顶点 O 为原点，桥面为 x 轴建立平面直角坐标系．

（1） 求桥拱顶部点 O 离水面的距离；

（2） 如图 2，桥面上方有 3 根高度均为 4m 的支柱 CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为 1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，设其中一条彩带与支柱 OH 的水平距离为 dm，当
20

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这条彩带的长度小于
9
m 时，求 d 的取值范围．

【答案】（1）6m （2）① y
= 1 (x + 6)2 +1；② 8 < d < 16

【解析】
3 12 3 3

【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；

（2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），然后利用待定系数法求函数解析式；

②根据题意，列式 y

【小问 1 详解】
2 - y1

= 1 ( x - 4)2 + 2 ，然后解不等式即可． 8

根据题意可知点 F 的坐标为（6， -1.5 ），

可设拱桥侧面所在二次函数表达式为： y = a x2 ，
1 1

将 F （6， -1.5 ）代入 y = a x2 有： -1.5 = 36a ，
1 1 1

1
解得 a = - ，

1

∴ y = -

24
1 x2 ，

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1 24

当 x = 12 时， y1 = -
1 ´122 = -6 ，
24

∴桥拱顶部离水面高度为 6m；

【小问 2 详解】
2 2
①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为 y = a ( x - 6)2 +1 ，

将 H （0，4）代入其表达式有： 4 = a2
(0 - 6)2 +1 ，求得 a = 1 ，
2
12

∴右边钢缆所在抛物线表达式为： y2
= 1 ( x - 6)2 +1， 12

同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为： y3
= 1 ( x + 6)2 +1， 12

②设彩带的长度为 L m，

则 L = y
- y = 1 ( x - 6)2 +1- æ - 1

x2 ö = 1 x2 - x + 4 = 1 ( x - 4)2 + 2 ，

2 1 12
ç 24
¸ 8 8

è ø
20
∵这条彩带的长度小于 m，
9
∴ 1 ( x - 4)2 + 2 < 20 ，
8 9
解得 8 < x < 16 ． 3 3
∴ d 的取值范围 8 < d < 16 ．
3 3
【点睛】本题考查了利用二次函数解决实际问题，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解．
23. 如图，在平面直角坐标系中， V ABC 的边 AB 在 y 轴上， AC ∥ x 轴，点C 的坐标为(4, 6), AB = 3 ，
将V ABC 向下方平移，得到 VDEF ，且点A 的对应点 D 落在反比例函数 y = k ( x > 0) 的图象上，点 B 的对
x
应点 E 落在 x 轴上，连接OD, OD ∥ BC ．

（1） 求证：四边形ODFE 为平行四边形；
（2） 求反比例函数 y = k (x > 0) 的表达式；
x
（3） 求V ABC 平移的距离及线段 BC 扫过的面积．
【答案】（1）见解析 （2） y = 12 ( x > 0)
x
（3）5，24

【解析】

【分析】（1）利用平移的性质，可得出 BC ∥ EF , AC ∥ DF , AB ∥ DE ，由 AC ∥ x 轴且OE 在 x 轴上，

可得出 AC P OE ，结合 AC ∥ DF ，可得出 DF∥OE ，由OD ∥ BC, BC ∥ EF ，可得出OD ∥ EF ，再利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可证出四边形ODFE 为平行四边形；
（2） 连接 CD ，易证四边形 BCDO 是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出 CD ∥ AB ，结合DE∥AB ，可得出C，D，E 三点共线，易证四边形 ACEO 是平行四边形，利用平行四边形的性质，可得出OE 的长，结合 DE = AB = 3 ，可得出点 D 的坐标，再利用反比例函数系数 k 的几何意义，可求出 k 的值，进而可得出反比例函数的表达式；
（3） 连接 BE，CF ，在RtVBOE 中，利用勾股定理，可求出 BE 的长，由此可得出V ABC 平移的距离为
5 ，由 BC ∥ EF , BC = EF ，可得出四边形 BCFE 是平行四边形，再利用平行四边形的性质及三角形的面积公式，即可求出线段 BC 扫过的面积．
【小问 1 详解】

证明：由平移的性质，得： BC ∥ EF , AC ∥ DF , AB ∥ DE ，
Q AC∥x 轴，且OE 在 x 轴上，
\ AC∥OE ，
\ DF ∥OE ．
QOD ∥ BC, BC ∥ EF ，
\OD ∥ EF ，
\四边形ODFE 为平行四边形；
【小问 2 详解】
解：连接CD ，如图1所示．

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Q四边形ODFE 为平行四边形，
\OD = EF = BC ，
又QOD∥BC ，
\四边形 BCDO 是平行四边形，
\CD = OB, CD ∥ AB ，

Q DE ∥ AB ，
\C，D，E 三点共线．
Q AC∥x 轴， OE 在 x 轴上， CE P AO ，
\四边形 ACEO 是平行四边形，
\OE = AC ．
Q点C 的坐标为(4, 6), AB = 3 ，
\OE = AC = 4，DE = AB = 3 ，
\点 D 的坐标为(4, 3) ．
Q点 D 在反比例函数 y = k ( x > 0) 的图象上，
x
\ k = 4 ´ 3 = 12 ，
\反比例函数的表达式为 y = 12 ( x > 0) ；
x
【小问 3 详解】
解：连接 BE，CF ，如图2 所示．

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在 Rt△ BOE 中， OB = OA - AB = 6 - 3 = 3，OE = 4 ，

OB2 + OE2
32 + 42
\ BE = = = 5 ，

\V ABC 平移的距离为5．
Q BC ∥ EF , BC = EF ，
\四边形 BCFE 是平行四边形，

\ SY BCFE
= 2S


V BCE
= 2 ´ 1 CE ´ OE = 2 ´ 1 ´ 6 ´ 4 = 24 ， 2 2

\线段 BC 扫过的面积为24 ．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、反比例函数系数 k 的几何意义、勾股定理以及三角形的面积，解题的关键是：（1）由平移的性质及平行线的性质，找出 DF∥OE 及OD ∥ EF ；（2）利用平移的性质及平行四边形的性质，找出点 D 的坐标；（3）利用勾股定理及平行四边形的性质，求出 BE 的长及平行四边形 BCFE 的面积．
24. 综合与探究

如图，抛物线 y = ax2 + bx 经过点 A(8, 0) 与点 B(10, -5) ，点 F 是 x 轴上方抛物线上的一个动点，过点 F
分别作 x 轴，y 轴的平行线，与抛物线交于另一点 E，与直线OB 交于点 C．再过点 C 作 x 轴的平行线， 过点 E 作 y 轴的平行线，两条平行线交于点 D．点 F 的横坐标为 m，且0 < m < 4 ．

（1） 求出抛物线与直线OB 的函数关系表达式；
（2） 当四边形 FCDE 是正方形时，求出点 F 的坐标；
（3） 在满足（2）的条件下，在直线OB 上取一点 P ，连接 PF ．将线段 PF 以点 P 为中心，顺时针方向旋转90° ，点 F 的对应点为 Q．当点 Q 正好落在抛物线上时，直接写出这时点 P 的坐标．
【答案】（1） y = - 1 x2 + 2x ， y = - 1 x
4 2
（2） F (2, 3)

13
13
（3） æ 2 + 8 13 , -1- 4 ö 或æ 2 - 8 13 , -1+ 4 ö

ç 9 9
¸ ç 9 9 ¸

è ø è ø

【解析】
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为 y = - 1 x2 + 2x ，直线OB 的解析式为 y = - 1 x ；

4 2

（2）由 y = - 1 x2 + 2x = - 1 (x - 4)2 + 4 ，得抛物线的对称轴为直线 x = 4 ，设点 F æ m, - 1 m2 + 2m ö ，则点C
4 4 ç 4 ¸