资源描述
广州市天河外国语学校九年级第一学期期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称，中心对称图形是图形绕某一点旋转180° 后与原来的图形重合，可得选项 A、B、D 不符合题意，选项 C 符合题意．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，本选项不符合题意； 故选：C．
【点睛】此题考查轴对称和中心对称图形的定义和性质，掌握两者的含义是解题的关键．
2. 一元二次方程 x2 = 3x 的解为（ ）
第 1 页/共 19 页
A. x = 0
B. x = 3
C. x = 0 或 x = 3
D. x = 0
且 x = 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： x2 = 3x
移项得： x2 - 3x = 0 ，
分解因式得： x ( x - 3) = 0 ， 解得： x = 0 或 x = 3 ，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
3.
把抛物线 y＝－3x2 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得到的抛物线的解析式为
（
）
A. y＝－3（x－2）2－3
B. y＝－3（x＋2）2－3
C. y＝－3（x－3）2＋2
D. y＝－3（x－3）2－2
【答案】B
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线 y=-3x 2 向左平移 2 个单位所得抛物线解析式为：y=-3（x+2） 2 ； 再向下平移 3 个单位为：y=-3（x+1） 2 -3，即 y=-3（x+2） 2 -3．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4. 平面直角坐标系内与点 P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （3，﹣2） B. （2，3） C. （2，﹣3） D. （﹣3，﹣3）
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数即可．
【详解】解：由题意，得
点 P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3），故选 C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
2
5. 已知⊙O 的半径为 5cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 3 cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
2
【分析】根据圆心到直线的距离为 3 cm 少于圆的半径 5，则直线和圆相交．
2
2
【详解】解：∵圆心到直线的距离为 3 cm，⊙O 的半径为 5cm， 5＞3 ，
∴直线和圆相交．
第 2 页/共 19 页
故选：A．
【点睛】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若 d＜r，则直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 d＞r，则直线与圆相离．
6. 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 3x +1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围为（ ）
第 3 页/共 19 页
9
A. k≥
B. k £ 9 且 k≠0 C. k< 9 且 k≠0 D. k £ 9
4 4 4 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得出 k
的取值范围．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程 kx2 - 3x +1 = 0 有实数根，
ïì k ¹ 0
î
∴ íïΔ = (-3)2 - 4 ´ k ´1 ³ 0 ，
9
解得：k≤
4
故选 B．
且 k≠0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及其根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键．
7. 有两个人患了流感，经过两轮传染后共有 242 个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人， 则 x 满足的方程是（ ）
A. （1＋x）2＝242 B. （2＋x）2＝242 C. 2（1＋x）2＝242 D. （1＋2x）2＝242
【答案】C
【解析】
【分析】根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：2（1+x）2=242． 故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，半径为 3cm，若 BC＝3cm，则∠A 的度数为（ ）
A. 30° B. 25° C. 15° D. 10°
【答案】A
【解析】
【分析】连接 OB，OC，可得△OBC 是等边三角形，根据圆周角定理即可得结论．
【详解】解：如图，连接 OB，OC，
∵BC＝3cm，半径为 3cm，
∴OB＝OC＝BC＝3，
∴△OBC 是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
第 6 页/共 19 页
1
∴∠A＝
2
∠BOC＝30°．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理并能证得△OBC 是等边三角形是解题的关键．
9. 如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是 E，若线段 AE＝4，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】延长 CD，作 AF ^ CD 的延长线于点 F，构造出全等三角形， V ABE @V ADF ( AAS ) ，即可得到四边形 ABCD 的面积就等于正方形 AECF 的面积．
【详解】解：如图，延长 CD，作 AF ^ CD 的延长线于点 F，
∵ AE ^ BC ，
∴ ÐAEC = ÐAEB = 90° ，
∵ AF ^ CD ，
∴ ÐAFC = 90°，
∵ ÐC = 90° ，
∴四边形 AECF 是矩形，
∴ ÐEAF = 90° ，
∵ ÐBAD = ÐEAF ，
∴ ÐBAD - ÐEAD = ÐEAF - ÐEAD ，即ÐBAE = ÐDAF ， 在V ABE 和△ADF 中，
ìÐBAE = ÐDAF
í
ïÐAEB = ÐAFD ，
î
ï AB = AD
∴V ABE @V ADF ( AAS ) ，
∴ AE = AF ，
∴四边形 AECF 是正方形，
∵ SV ABE = SV ADF ，
ABCD AECF
∴ S = S = AE2 = 16 ． 故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角
形．
10. 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 对称轴为 x＝1，与 x 轴的负半轴的交点坐标是（x1，0），且－1＜x1＜0，它的部分图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③9a＋3b＋c＜0；④3a＋c＜0，其中正确的结论有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象的对称轴和与 y 轴的交点位置判断出①正确，根据函数图象与 x 轴有两个交点坐标判断出②正确，根据当 x = 3 时，函数值小于 0，判断出③正确，由对称轴得b = -2a ，再根据当 x = -1 时，函数值小于 0，判断出④正确．
【详解】解：∵函数图象对称轴在 y 轴右边，
∴ ab < 0 ，
∵函数图象与 y 轴交于正半轴，
∴ c > 0 ，
∴ abc < 0 ，故①正确；
∵函数图象与 x 轴有两个交点坐标，
∴ b2 - 4ac > 0 ，故②正确；
根据二次函数图象的对称性，它与 x 轴的另一个交点坐标在 2 和 3 之间，
∴当 x = 3 时， y = 9a + 3b + c < 0 ，故③正确；
b
∵抛物线的对称轴是直线 x = - = 1，
2a
∴ b = -2a ，
当 x = -1 时， y = a - b + c = a + 2a + c = 3a + c < 0 ，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是能够通过函数图象判断出各项系数之间的关系．
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
11. 袋中装有除颜色外其余均相同的 5 个红球和 3 个白球.从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概
率为 .
5
【答案】
8
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解．
5
【详解】从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率= ．
8
5
故答案为 ．
8
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
12. 一个扇形的圆心角为60° ，它所对的弧长为2pcm ，则这个扇形的半径为 ．
【答案】6cm ##6 厘米
【解析】
【分析】根据已知的扇形的圆心角为60° ，它所对的弧长为2pcm ，代入弧长公式即可求出半径 r ．
【详解】解：由扇形的圆心角为60° ，它所对的弧长为2pcm ， 即 n = 60°， l = 2p，
根据弧长公式l = npr ，
180
得2p= 60pr ，
180
即 r = 6cm ．
故答案为： 6cm ．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式，理解弧长公式中各个量所代表的意义．
13. 若关于 x 的方程 x2＋2mx＋n＝0 的一个根为 2，则代数式 4m＋n 的值为 ．
【答案】-4
第 7 页/共 19 页
【解析】
【分析】先把 x=2 代入方程，从而得到代数式 4m+n 的值．
【详解】解：把 x=2 代入方程 x 2 +2mx+n=0 得 4+4m+n=0， 所以 4m+n=-4． 故答案为-4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14. 二次函数 y = x2 - 2x + 3 ，当-1 £ x £ 2 时，函数的最大值为 ．
【答案】6
【解析】
【分析】配方二次函数解析式可得抛物线的开口向上、对称轴为直线 x=1，根据开口向上时，横坐标离对称轴越近，函数值越小即可得答案．
【详解】∵ y = x2 - 2x + 3 = ( x -1)2 + 2 ， a = 1 > 0 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 x = 1 ，
∴抛物线在-1≤x≤1 上，y 随 x 的增大而减小，在 1＜x≤2 上，y 随 x 的增大而增大．
∵ -1 £ x £ 2 ，1- (-1) > 2 -1，
∴当 x = -1 时， ymax = 6 ． 故答案为：6
【点睛】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得
出，第二种是配方法，第三种是公式法．熟练掌握二次函数的增减性是解题关键
15. 如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于点 A，B，直线 EF 与⊙O 相切于点 C，分别交 PA，PB 于 E，F，且
3
PA＝4 cm，则△PEF 的周长为 cm．
3
【答案】8
【解析】
第 8 页/共 19 页
【分析】根据切线长定义得 AP = BP = 4 3cm ， AE = CE ， BF = CF ，从而得到△PEF 的周长是
PA + PB ，即可求出结果．
【详解】解：∵AP、BP 是⊙O 的切线，
∴ AP = BP = 4 3cm ，
同理 AE = CE 、 BF = CF ，
∴ CVPEF = PE + EC + PF + FC
= PE + EA + PF + FB
= PA + PB
= 8 3cm ．
3
故答案是： 8 ．
【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是熟练运用切线长定理．
16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1, 0), B (3, 0) ， C 为平面内的动点，且满足
ÐACB = 90° ， D 为直线 y = x 上的动点，则线段CD 长的最小值为 .
2
【答案】 -1
【解析】
【分析】由直径所对的圆周角为直角可知，动点C 轨迹为以 AB 中点 M 为圆心， AB 长为直径的圆，求得圆心 M 到直线的距离，即可求得答案．
【详解】∵ ÐACB = 90° ，
∴动点C 轨迹为：以 AB 中点 M 为圆心， AB 长为直径的圆，
∵ A(1，0) ， B (3，0) ，
∴点 M 的坐标为： (2，0) ，半径为 1，
第 9 页/共 19 页
过点 M 作直线 y = x 垂线，垂足为 D，交⊙D 于 C 点，如图：
此时CD 取得最小值，
∵直线的解析式为： y = x ，
∴ tan ÐMOD = 1，
∴ ÐMOD = 45° ，
∵ OM = 2 ，
2
∴ d = MD = ，
2
∴ CD 最小值为 d - r = -1，
第 10 页/共 19 页
2
故答案为：
-1．
【点睛】本题考查了点的轨迹，圆周角定理，圆心到直线的距离，正确理解点到直线的距离垂线段最短是正确解答本题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：x2－2x－3＝0
【答案】 x1 = -1, x2 = 3
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解： x2 - 2x - 3 = 0 ，
( x + 1)( x - 3) = 0 ，
x +1 = 0 或 x - 3 = 0 ，
x = -1 或 x = 3 ，
故方程的解为 x1 = -1, x2 = 3 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
如图，在V ABC 中， ÐC = 90°，CB = 6，CA = 8 ，将V ABC 绕点 B 顺时针旋转得到VDBE ，使点
18.
C 的对应点 E 恰好落在 AB 上，求线段 AE 的长．
【答案】 AE = 4 ．
【解析】
【分析】由勾股定理求出 AB = 10 ，由旋转的性质得出 BE = BC = 6 ，即可得出答案．
【详解】解：∵在V ABC 中， ÐC = 90°，CB = 6，CA = 8 ，
62 + 82
∴ AB = = 10 ，
由旋转的性质得： BE = BC = 6 ，
∴ AE = AB - BE = 10 - 6 = 4 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及勾股定理；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
19. 一个不透明的口袋中装有 4 张卡片，卡片上分别标有数字 1、﹣2、3、﹣4，这些卡片除数字外都相同．王兴从口袋中随机抽取一张卡片，钟华从剩余的三张卡片中随机抽取一张，求两张卡片上数字之积．
（1） 请你用画树状图或列表的方法，列出两人抽到的数字之积所有可能的结果．
（2） 求两人抽到的数字之积为正数的概率．
1
【答案】（1）详见解析；（2） ．
3
【解析】
【分析】（1）根据题意可以画出树状图，即可列出两人抽到的数字之积所有可能的结果；（2）根据概率公式，结合（1）中的结果即可求得两人抽到的数字之积为正数的概率．
【详解】解：（1）如下图所示，
；
第 11 页/共 19 页
（2）由（1）可知，一共有 12 种可能性，两人抽到的数字之积为正数的可能性有 4 种，
∴两人抽到的数字之积为正数的概率是：
= ，
即两人抽到的数字之积为正数的概率是 ．
【点睛】本题考查了用列表法（或树状图法）求概率：当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.
20. 如图，⊙O 为锐角△ABC 的外接圆，半径为 5．
（1） 用尺规作图作出∠BAC 的平分线，并标出它与劣弧 BC 的交点 E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2） 若（1）中的点 E 到弦 BC 的距离为 3，求弦 CE 的长．
30
【答案】（1）画图见解析；（2）CE=
【解析】
【分析】（1）以点 A 为圆心，以任意长为半径画弧，分别与 AB、AC 有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点 A 与这点作射线，与圆交于点 E ，据此作图即可；
（2）连接 OE 交 BC 于点 F，连接 OC、CE，由 AE 平分∠BAC，可推导得出 OE⊥BC，然后在 Rt△OFC
中，由勾股定理可求得 FC 的长，在 Rt△EFC 中，由勾股定理即可求得 CE 的长．
【详解】解：（1）如图所示，射线 AE 就是所求作的角平分线；
（2）连接 OE 交 BC 于点 F，连接 OC、CE，
∵AE 平分∠BAC，
第 12 页/共 19 页
∴ B»E = C»E ，
∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2，
OC 2 - OF 2
21
在 Rt△OFC 中，由勾股定理可得 FC= = ，
EF 2 + FC 2
30
在 Rt△EFC 中，由勾股定理可得 CE= = ．
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，垂径定理等，熟练掌握角平分线的作图方法、推导得出
OE⊥BC 是解题的关键．
21. 如图，四边形的对角线 AC，BD 互相垂直，AC+BD＝10．当 AC，BD 的长是多少时，四边形 ABCD 面积最大？
25
【答案】
2
【解析】
【分析】根据已知设四边形 ABCD 面积为 S，AC 为 x,则 BD=10-x,进而求出 S = - 1 x2 + 5x ，再求出最值
2
即可．
【详解】解：设 AC=x,四边形 ABCD 面积为 S，则 BD=10-x,
S = 1 x(10 - x) = - 1 x2 + 5x 2 2
Q- 1 < 0 ，
2
∴抛物线开口向下，
第 15 页/共 19 页
x = -
当
5 = 5
2 ´æ - 1 ö
时， S最大
= - 1 ´ 52 + 5´ 5 = 25 ，
ç 2 ¸ 2 2
è ø
25
即当 AC=5，BD=5 时，四边形 ABCD 面积最大，最大值为 ．
2
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键．
22. 如图，A 是eO 上一点， BC 是直径，点 D 在eO 上且平分 B»C ．
（1） 连接 AD ，求证： AD 平分ÐBAC ；
（2） 若CD = 5 2, AB = 8 ，求 AC 的长．
【答案】（1）详见解析；
（2）6
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键．
（1） 利用圆周角定理即可证明结论；
（2） 利用圆周角定理得到ÐBAC = ÐBDC = 90° ，再利用勾股定理即可求解．
【小问 1 详解】
证明：∵点 D 在eO 上且平分 B»C ，
\ B»D = D»C,
\ÐBAD = ÐCAD,
\ AD 平分ÐBAC;
【小问 2 详解】
解：∵ BC 是直径，
\ÐBAC = ÐBDC = 90°,
Q点 D 在eO 上且平分 B»C ，
\ B»D = D»C,
\ BD = CD = 5 2,
BD2 + CD2
\ BC =
Q AB = 8,
= 10,
BC 2 - AB2
\ AC = = 6.
23. 某公司为配合国家垃圾分类入户的议，设计了一款成本为 10 元/件的多用途垃圾桶投放市场，经试销
发现．销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 y = -2x +120 ．
（1） 若该公司获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式：当销售单价定位多少时，该多用途垃圾桶获得的利润最大？最大利润是多少元？
（2） 若物价部门限定该产品的销售单价不得超过 30 元/件，那么定价为多少时才可获得最大利润？
【答案】（1）当销售单价定为 35 元时，商场可获最大利润，最大利润是 1250 元；
（2）当销售单价定为 30 元时，商场可获最大利润，最大利润是 1200 元．
【解析】
【分析】（1）根据利润=销售量×（销售单价-成本）得到 W 与 x 之间的函数关系式；
（2）利用二次函数的性质，求出商场获得的最大利润以及获得最大利润时的售价．
【小问 1 详解】
解：W = ( x -10)(-2x +120) = -2x2 +140x -1200 ( x > 10) ，
∵W = -2x2 +140x -1200 = -2 ( x - 35)2 +1250 ，
∴ x = 35 时，W 有最大值，最大利润为 1250 元；
答：当销售单价定为 35 元时，商场可获最大利润，最大利润是 1250 元；
【小问 2 详解】
解：∵W = -2x2 +140x -1200 = -2 ( x - 35)2 +1250 ，
∵ x £ 30 ，抛物线开口向下，在 x = 35 的左侧，y 随 x 的增大而增大，
∴ x = 30 时，W 有最大值，最大值为 1200 元．
答：当销售单价定为 30 元时，商场可获最大利润，最大利润是 1200 元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据配方法得出二次函数的最值是解题关键．
24. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E，延长EC，AB 交于点 F，∠ECD＝∠BCF．
（1） 求证：CE 为⊙O 的切线；
（2） 若 DE＝1，CD＝3，求⊙O 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径是 4.5
【解析】
【分析】（1）如图 1，连接 OC，先根据四边形 ABCD 内接于⊙O，得ÐCDE＝ÐOBC ，再根据等量代换和直角三角形的性质可得ÐOCE＝90° ，由切线的判定可得结论；
（2）如图 2，过点 O 作OG ^ AE 于 G，连接 OC，OD，则ÐOGE＝90° ，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形 OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为 x，根据勾股定理列方程可得结论．
【详解】（1）证明：如图 1，连接 OC，
∵ OB = OC ，
∴ ÐOCB = ÐOBC ，
∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴ ÐCDA + ÐABC = 180°
又ÐCDE + ÐCDA = 180°
∴ ÐCDE = ÐOBC ，
∵ CE ^ AD ，
∴ ÐE = ÐCDE + ÐECD = 90° ，
∵ ÐECD = ÐBCF ，
∴ ÐOCB + ÐBCF＝90° ，
∴ ÐOCF = 90°，
∵OC 是⊙O 的半径，
∴CE 为⊙O 的切线；
（2）解：如图 2，过点 O 作OG ^ AE 于 G，连接 OC，OD，则ÐOGE = 90°，
∵ ÐE = ÐOCE = 90° ，
∴四边形 OGEC 是矩形，
∴ OC = EG，OG = EC ，
第 16 页/共 19 页
设⊙O 的半径为 x，
Rt△CDE 中， CD = 3，DE = 1，
32 -12
2
∴ EC = = 2 ，
第 17 页/共 19 页
2
∴ OG = 2
， GD = x -1，OD = x ，
由勾股定理得：OD2 = OG2 + DG2 ，
∴ x2 = (2 2)2 + (x -1)2 ， 解得： x = 4.5 ，
∴⊙O 的半径是 4.5．
【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
25. 如图，抛物线 y = x2 + bx + c 与 x 轴交于点 A(-1, 0) ，与 y 轴交于点C(0,-3) ．
（1） 求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2） 若 P 是线段OB 上一动点，过 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 H，交 BC 于点 N．设
OP = t ． VBCH的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式，若 S 有最大值，请求出 S 的最大值；若没有，请 说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为： y=x2 -2x-3 ；顶点坐标为(1，- 4) ；
（2） S = - 3 (t 2 - 3t )，当t = 3 时， S 有最大值，最大值是 27 ．
2 2 8
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，把一般式转化为顶点式即得顶点坐标；
（2）如图 1，先求出点 B 坐标，然后利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，由OP = t ，则点 H、N 的横
第 19 页/共 19 页
坐标都可以用含 t 的代数式表示，由 S
二次函数的性质求出 S 的最大值．
ΔBCH
= 1 NH ´ OB 即可得到 S 与 t 的函数关系式，进一步即可根据
2
【小问 1 详解】
解：将 A(-1，0) ， C (0，-3) 代入 y = x2 + bx + c ，
ì1- b + c = 0
î
得íc = -3
ìb = -2
î
，解得： íc = -3 ，
∴抛物线的解析式为： y = x2 - 2x - 3 = (x -1)2 - 4 ；
∴抛物线的顶点坐标为(1，- 4) ；
【小问 2 详解】
解：由 x2 - 2x - 3 = 0 ，得 x = 3 或 x = -1 ， 则点 B (3，0) ，
如图，连接 BC 、CH 、 BH ，
设直线 BC 解析式为 y = kx + m ，代入 B (3，0) ， C (0，-3) ，得：
ì3k + m = 0
î
ím = -3
ìk = 1
î
，解得： ím = -3 ，
∴直线 BC 的解析式为 y = x - 3 ；
∵ OP = t ，
2 2 2
∴ H (t，t 2 - 2t - 3) ， N (t，t - 3) ，
∴ S = S
ΔBCH
= 1 ´ NH ´ OB = 1 ´ (t - 3 - t 2 + 2t + 3)´ 3 = - 3 (t 2 - 3t )
3 æ 3 ö2 27
2 2
= - ç t - ¸ + ，
è ø 8
∵ - 3 < 0 ， 2
∴当t = 3 时， S 有最大值，最大值是 27 ．
2 8
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
