资源描述
九年级上册期末数学试卷
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
（问卷）
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有 4000 多年的历史．2017 年 5 月，世界围棋冠军柯洁与
人工智能机器人 AlphaGo 进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案
是中心对称的是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选 A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 经过长期努力学习，你会成为科学家
B. 抛出的篮球会下落
C. 打开电视机，正在直播 NBA
D. 从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】A、C、D 选项是随机事件，
B 选项：抛出的篮球肯定会下落，故是必然事件.
故选：B.
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3. 如果将抛物线 y = x2 + 2 向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是
C. y = x2 +1
D. y = x2 + 3
A. y = (x - 1)2 + 2
B. y = (x + 1)2 + 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【详解】解：Q 抛物线 y = x2 + 2 向下平移 1 个单位，
\抛物线的解析式为 y = x2 + 2 -1 ，即 y = x2 +1． 故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移| a | 个单位长度纵坐标要减
| a | ．
4. 如图， AB 为eO 的直径， CD 为eO 的弦， AB ^ CD 于 E，下列说法错误的是（ ）
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A. CE = DE
B. »AC = »AD
C. OE = BE
D. ÐCOB = 2ÐBAD
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理解题.
【详解】QCD 为eO 的弦， AB ^ CD 于 E，
\CE = ED，»AC = »AD ， B»C = B»D ，
\C»D = 2B»D
\ÐCOB = 2ÐBAD
故选项 A、B、D 正确，
无法判断OE = BE ，故选项 C 错误， 故选：C
【点睛】本题考查垂径定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
5.
不透明袋子中有1个红球和2 个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是
红球的概率为（
）
1
2
1
1
A.
B.
C.
D.
3 2 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵袋子中共有 3 个小球，其中红球有 1 个，
1
∴摸出一个球是红球的概率是 ，
3
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出
m
现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ．
n
6. 若 m 是方程2x2 - 3x - 1 = 0 的一个根，则6m2 - 9m + 2018 的值为（ ）．
A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：2m2-3m-1=0，
∴2m2-3m=1
∴原式=3（2m2-3m）+2018=2021． 故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
7. 二次函数 y = x2 + x - 3 的图象与 x 轴的交点个数是（ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
【答案】C
【解析】
【分析】通过计算判别式的值可判断抛物线与 x 轴的交点个数．
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【详解】∵ y = x2 + x - 3
∴ D = 12 - 4 ´1´(-3) = 13>0 ，
∴二次函数 y = x2 + x - 3 的图象与 x 轴的交点个数有 2 个． 故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，掌握二次函数 y = ax2 + bx + c （a，b，c 是常数， a ¹ 0 ）与
x 轴的交点个数与判别式的关系，是解题的关键．
8. 如图， PA 、 PB 切eO 于点A 、 B ，直线 FG 切eO 于点 E ，交 PA 于 F ，交 PB 于点G ，若
PA = 8cm ，则△PFG 的周长是（ ）
A. 8cm B. 12cm C. 16cm D. 20cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线长定理得到 AF = FE, GE = BG ，结合题意，即可求得△PFG 的周长．
【详解】Q PA、PB、FG 是eO 的切线，
\ FA = FE, GE = GB, PA = PB = 8cm ．
\ △PFG 的周长= PF + FG + GB
= PF + FE + EG + GP
= PF + FA + GB + GP
= PA + PB
= 16cm ． 故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理，理解切线长定理是解题的关键．
9. 在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a，⊙A 的半径为 2，下列说法错误的是
（ ）
A. 当 a＜5 时，点 B 在⊙A 内 B. 当 1＜a＜5 时，点 B 在⊙A 内
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C. 当 a＜1 时，点 B 在⊙A 外
D. 当 a＞5 时，点 B 在⊙A 外
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴以及圆的半径可得当 d=r 时，⊙A 与数轴交于两点：1、5，进而根据点到圆心的距离与半径比较即可求得点与圆的位置关系，进而逐项分析判断即可
【详解】解：∵圆心 A 在数轴上的坐标为 3，圆的半径为 2，
∴当 d=r 时，⊙A 与数轴交于两点：1、5， 故当 a=1、5 时点 B 在⊙A 上；
当 d＜r 即当 1＜a＜5 时，点 B 在⊙A 内；
当 d＞r 即当 a＜1 或 a＞5 时，点 B 在⊙A 外．
由以上结论可知选项 B、C、D 正确，选项 A 错误． 故选 A．
【点睛】本题考查了数轴，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
10. 如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线 x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；
③若 m 为任意实数，则有 a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程 ax2+bx+c+2＝0 的两根为
x1，x2（|x1|＜|x2|），则 2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
【答案】C
【解析】
【分析】由图象可知 a＜0，c＞0，由对称轴得 b=2a＜0，则 abc＞0，故①错误；当 x=1 时， y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由 x=-1 时，y 有最大值，得 a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数 y=ax2+bx+c 与直线 y=-2 的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即 x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．
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b
【详解】解：由图象可知：a＜0，c＞0， - = -1 ，
2a
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①abc＜0 错误；
当 x＝1 时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，
∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c 正确；
∵x＝﹣1 时，y 有最大值，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m 为任意实数），
即 a﹣b≥am2+bm，即 a﹣bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程 ax2+bx+c+2＝0 的两根为 x1，x2（|x1|＜
|x2|），
∴二次函数 y＝ax2+bx+c 与直线 y＝﹣2 的一个交点为（﹣3，﹣2），
∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，
∴二次函数 y＝ax2+bx+c 与直线 y＝﹣2 的另一个交点为（1，﹣2），即 x1＝1，x2＝﹣3，
∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确． 所以正确的是②④；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小．当 a＞0 时， 抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置： 当 a 与 b 同号时，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时，对称轴在 y 轴右．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交 点：抛物线与 y 轴交于（0，c）．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 如图， A、B、C 是eO 上的三点，则ÐAOB = 80°，则∠ACB = 度．
【答案】40
【解析】
【分析】根据圆周角定理，即可求解．
【详解】∵∠ACB 和∠AOB 是同弧所对的圆周角和圆心角，
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∴∠ACB = ÐAOB = 1 ´ 80° = 40°．
1
2 2
故答案是：40．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．
12. 已知关于 x 的方程 x2 + mx - 6 = 0 的一个根为 2，则这个方程的另一个根是 ．
【答案】－3
【解析】
【分析】设方程的另一根为 a，由一个根为 2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于 a 的方程， 求出方程的解得到 a 的值，即为方程的另一根．
【详解】∵方程 x2 + mx - 6 = 0 的一个根为 2， 设另一个根为 a，
∴2a=－6，
解得：a=－3． 故答案为：－3
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），当 b2﹣4ac≥0 时
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方程有解，此时设方程的解为 x ，x ，则有 x +x
= - b ，x x = c ．
1 2 1 2
a 1 2 a
13. 如图，圆锥的高 AO = 4 ，底面圆半径为 3，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】15π
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算．
【详解】解：Q 圆锥的高 AO = 4 ，底面圆半径为 3，
32 + 42
\圆锥的母线长=
= 5 ，
\圆锥的侧面积= 1 ´ 5´ 2π´ 3 = 15π ， 2
故答案为：15π ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
14. 二次函数 y＝（x﹣1）2，当 x＜1 时，y 随 x的增大而 （填“增大”或“减小”） ．
【答案】减小
【解析】
【分析】利用二次函数的解析式画出示意图，根据图象解答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中画出二次函数 y=（x-1）2 的示意图如下：
抛物线 y=（x-1）2 的对称轴为直线 x=1，由图象可以看出： 当 x＜1 时，即在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，结合函数的图象利用数形结合的思想解答简单明了．
15. 在一个不透明的布袋中装有 52 个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在 0.2 左右，则布袋中黑球的个数可能有
．
【答案】13
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【详解】解：设袋中有黑球 x 个，
x
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由题意得：
x + 52
=0.2，
解得：x=13，
经检验 x=13 是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有 13 个． 故答案为：13．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
16. 如图，将半径为 4，圆心角为120o 的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60o ，点O ， B 的对应点分别为
O¢ ， B¢，连接 BB¢，则图中阴影部分的面积是 ．
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【答案】8
【解析】
- 8p 3
3
【分析】连接OO¢，BO¢ ，根据旋转的性质得到ÐOAO¢ = 60° ，推出VOAO¢ 是等边三角形，得到
ÐAOO¢ = 60° ，推出VOO¢B 是等边三角形，得到ÐAO¢B = 120°，得到ÐO¢B¢B = ÐO¢BB¢ = 30° ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OO¢，BO¢ ，
∵将半径为 4，圆心角为120° 的扇形OAB 绕点 A 逆时针旋转120° ，
∴ ÐOAO¢ = 60° ，
∴VOAO¢ 是等边三角形，
∴ ÐAOO¢ = 60°，OO¢ = OA ，
∴点 O′在eO 上，
∵ ÐAOB = 120° ，
∴ ÐO¢OB = 60° ，
∴VOO¢B 是等边三角形，
∴ ÐAO¢B = 120°，
∵ ÐAO¢B¢ = 120° ，
∴ ÐB¢O¢B = 120° ，
∴ ÐO¢B¢B = ÐO¢BB¢ = 30° ，
1 æ 60π´ 42 3 2 ö 8
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3
3
2
-
图中阴影部分的面积为 SV B¢O¢B - (S扇形O¢OB - SVOO¢B ) = ´ 2 ´ 4
ç 360
- ´ 4
4
¸ = 8 - 3 π
故答案为： 8
è ø
3
- 8 π
3
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共 9 小题，共 72 分）
17. 解方程： x2 = 2x
【答案】 x1 = 0, x2 = 2
【解析】
【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： x2 = 2x
x2 - 2x = 0
x ( x - 2) = 0
解得： x1 = 0, x2 = 2
【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题关键．
18. 如图，把△ABC 绕点 A 顺时针旋转 50°到△ADE 的位置(点 B、C 的对应点分别为点 D、E)，若 AD⊥BC
于点 F，求∠D 的度数.
【答案】40°
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠B=∠D，∠BAD=50°，即可求解．
【详解】解：∵把△ABC 绕点 A 顺时针旋转 50°到△ADE 的位置，
∴∠B=∠D，∠BAD=50°，
∵AD⊥BC，
∴∠B=40°=∠D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
19. 2022 春开学，为防控新冠病毒，学生进校必须戴口罩，测体温，某校开通了A 、B、C 三条人工测体
温的通道，在三个通道中，可随机选择其中的一个通过．求两学生进校园时，都是C 通道过的概率．（用
画“树状图”或“列表格”）
1
【答案】
9
【解析】
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两学生在进校园时，都是C 通道过的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有9 种等可能的结果，其中两学生在进校园时，都是C 通道过的结果有 1 种，
\两学生在进校园时，都是C 通道过的概率为 1 ．
9
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率= 所求情况数与总情况数的比值．
20. 商场某种商品平均每天可销售 80 件，每件盈利 60 元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．设每件商品降价 x 元．据此规律，请回答：
（1） 商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示）；
（2） 在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 4950 元？
【答案】（1）（2x）；（60﹣x）；（2）每件商品降价 15 元时，商场日盈利可达到 4950 元．
【解析】
【分析】（1）由题意得：降价 1 元，可多售出 2 件，降价 x 元，可多售出 2x 件，盈利的钱数=原来的盈利- 降低的钱数；
（2）根据：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=盈利的等量关系，把列方程解答即可.
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【详解】（1）由题意，可得商场日销售量增加（2x）件，每件商品盈利（60﹣x）元． 故答案为（2x）；（60﹣x）；
（2）由题意得：（60﹣x）（80+2x）＝4950化简得：x2﹣20x+75＝0，
解得 x1＝5，x2＝15．
∵该商场为了尽快减少库存，
∴x＝5 舍去，
∴x＝15．
答：每件商品降价 15 元时，商场日盈利可达到 4950 元．
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，确定等量关系并正确列式是解答本题的关键.
21. 如图， D 为eO 上一点，点C 是直径 BA 延长线上的一点，连接CD ，且ÐCDA = ÐCBD ．
（1） 求证： CD 是eO 的切线；
（2） 若 DC = 4 ， AC = 2 ，求OC 的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出ÐODA + ÐCDA = 90° ，即OD ^ CD 即可得出结论；
（2）利用相似三角形的判定与性质，求出 BC ，进而求出半径OA ，再求出OC 即可．
【小问 1 详解】如图，连接OD ，
∵ AB 是eO 的直径，
∴ ÐADB = 90° ，
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即ÐODB + ÐODA = 90° ，
∵ OB = OD ，
∴ ÐABD = ÐODB ， 又∵ ÐCDA = ÐCBD ，
∴ ÐODA + ÐCDA = 90° ， 即OD ^ CD ，
∵ OD 是eO 的半径，
∴ CD 是eO 的切线；
【小问 2 详解】
∵ ÐCDA = ÐCBD ， ÐACD = ÐDCB ，
∴△ACD : △DCB ，
∴ CD = AC ，
CB DC
即 4 = 2 ，
CB 4
∴ CB = 8 ，
∴ OA = CB - AC
2
= 8 - 2
2
= 3
∴ OC = OA + AC
= 3 + 2
= 5
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握圆周角定理，相似三角形的性质是解题关键．
22. 如图二次函数 y = -x2 + bx + c 的图像与 x 轴交于点 A(-3,0) ， B (1,0) 两点，与 y 轴交于点C ，点
C (0, 3) ， D 是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像经过 B ， D ．
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（1） 求二次函数的解析式；
（2） 求点 D 的坐标，并写出使一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围
（3） 若直线 BD 与 y 轴的交点为 E 点，连接 AD ， AE ，求V ADE 的面积．
【答案】（1） y = -x2 - 2x + 3
（2） D(-2，3) ， x＜- 2或x＞1
（3）4
【解析】
【分析】（1）根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点 A、B、C，即可解答本题；
（2） 根据题意可以求得点 D 的坐标，再根据函数图像即可解答本题；
（3） 根据题意作出辅助线，即可求得V ADE 的面积．
【小问 1 详解】
∵二次函数 y = -x2 + bx + c 过 B(1, 0) ， C(0, 3)
ì-1+ b + c = 0
î
∴ íc = 3
ìb = -2
î
解得íc = 3
所以解析式为： y = -x2 - 2x + 3
【小问 2 详解】
Q y = - x2 - 2x + 3
∴该函数的对称轴是直线 x=-1 ，
∵点C(0，3) ，点 C、D 是二次函数图像上的一对对称点，
∴点 D(-2，3) ，
∴一次函数值大于二次函数值的 x 的取值范围是 x＜- 2或x＞1
【小问 3 详解】连接 AE ，
设直线 BD：y＝mx＋n ，
î
代入 B(1，0)，D(-2，3) 得ì
m + n = 0
，
ìm = -1
í-2m + n = 3
解得： í
î
n = 1 ，
故直线 BD 的解析式为： y＝- x＋1
把 x＝0 代入 y＝- x＋1得， y = 1，
所以 E(0，1) ，
∴ OE＝1， 又∵ AB＝4
\ SDADB
= 1 ´ 4 ´ 3 - 1 ´ 4 ´1 = 4 2 2
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与直线的交点确定不等式的解集及面积问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
2
æ ö
23. 已知VAOB 和△MON 都是等腰直角三角形ç
è
OA < OM < OA ，ÐAOB = ÐMON = 90o ．
¸
2 ø
（1） 如图 1，连接 AM ， BN ，求证： AM = BN ；
（2） 将△MON 绕点O 顺时针旋转．如图 2，当点 M 恰好在 AB 边上时，请猜想 AM 、 BM 、OM 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2） AM 2 + BM 2 = 2OM 2 ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由ÐAOB = ÐMON = 90o ，得出ÐAOM = ÐBON ，然后证明△AOM ≌△BON (SAS)
（即可；
（2）连接 BN ，由ÐAOB = ÐMON = 90o ，得出ÐAOM = ÐBON ，然后证明
△AOM ≌△BON (SAS) ，得出ÐMAO = ÐNBO = 45° ， AM = BN ，再证
ÐMBN = ÐABO + ÐOBN = 45° + 45° = 90°，利用勾股定理求解即可．
【小问 1 详解】
证明：∵ÐAOB = ÐMON = 90o ，
∴ ÐAOB + ÐAON = ÐMON + ÐAON ， 即ÐAOM = ÐBON ，
∵ VAOB 和△MON 都是等腰直角三角形，
∴ OA = OB，OM = ON ，
在V AOM 和△BON 中，
ì AO = BO
í
ïÐAOM = ÐBON ，
î
ïOM = ON
∴△AOM ≌△BON (SAS) ，
∴ AM＝BN ；
【小问 2 详解】证明：连接 BN ，
∵ÐAOB = ÐMON = 90o ，
∴ ÐAOB - ÐBOM = ÐMON - ÐBOM ， 即ÐAOM = ÐBON ，
∵ VAOB 和△MON 都是等腰直角三角形，
∴ OA = OB，OM = ON ，
在V AOM 和△BON 中，
ì AO = BO
í
ïÐAOM = ÐBON ，
î
ïOM = ON
∴△AOM ≌△BON (SAS) ，
∴ ÐMAO = ÐNBO = 45°，AM = BN ，
∴ ÐMBN = ÐABO + ÐOBN = 45° + 45° = 90°，
∴ BM 2 + BN 2 = MN 2 ，
∵△MON 都是等腰直角三角形，
∴ MN 2 = ON 2 + OM 2 = 2ON 2 ，
∴ AM 2 + BM 2 = 2OM 2 ．
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，掌握三角形全等判定与性质，图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理是解题关键．
24. （1）如图①，在VABC 中， ÐA = 120o ， AB = AC = 5 ．尺规作图：作VABC 的外接圆eO ，并直接写出VABC 的外接圆半径 R 的长．
（2） 如图②， eO 的半径为 13，弦 AB = 24 ， M 是 AB 的中点， P 是eO 上一动点，求 PM 的最大值．
（3） 如图③所示， AB ， AC 、 B»C 是某新区的三条规划路，其中 AB = 6km ， AC = 3km ，
ÐBAC = 60o ， B»C 所对的圆心角为60o ，新区管委会想在 B»C 路边建物资总站点 P ，在 AB ， AC 路边 分别建物资分站点 E 、 F ，也就是，分别在 B»C 、线段 AB 和 AC 上选取点 P 、 E 、 F ．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按 P Ò E Ò F Ò P 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 PE 、 EF 和 FP ．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段 PE 、 EF 、 FP 之和最短，试求
PE + EF + FP 的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）
【答案】（1）5；（2）18；（3） (3 - 9)km
21
【解析】
【分析】（1）如图①，外接圆的圆心为 O，连接OA ， OB ，根据已知条件可得VAOB 是等边三角形，由此即可得半径；
（2） 如图②所示，连接 MO 并延长交eO 于点 N，连接OP ，显然， MN 即为 PM 的最大值，根据垂径定理求得 MO 的长即可求得 MN 的最大值；
（3） 如图③所示，假设 P 点即为所求点，假设 P 点即为所求点，分别作出点 P 关于 AB 、 AC 的对称点P¢ 、 P ¢ 连接 PP¢ 、 P¢E ， PE ， P ¢F ， PF ， PP ¢ ，则 P¢P ¢ 即为最短距离，其长度取决于 PA 的长度，根据题意正确画出图形，得到点 P 的位置，根据等边三角形、勾股定理等进行求解即可得
PE + EF + FP 的最小值.
【详解】（1）如图①，外接圆的圆心为 O，连接OA ， OB ，
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∵O 是等腰三角形 ABC 的外心， AB = AC ，
∴ ÐBAO = ÐOAC = 1 ÐBAC = 1 ´120 = 60°，
2 2
∵ OA = OB ，
∴ VAOB 是等边三角形，
∴ OB = AB = 5 ， 故答案为 5；
（2） 如图②所示，连接 MO 并延长交eO 于点 N，连接OP ，
显然， MP £ OM + OP = OM + ON = MN ，
∵ AB = 24 ， M 是 AB 的中点，
∴ MN ^ AB, AM = MB = 12 ,
∵ ON = 13 ，
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OA2 - AM 2
132 - 122
∴ OM = =
∵ MN = 18 ，
∴ PM 的最大值为 18；
= 5 ，
（3） 如图③所示，假设 P 点即为所求点，分别作出点 P 关于 AB 、 AC 的对称点 P¢ 、 P ¢ ，连接 PP¢ 、
P¢E ， PE ， PF ， PP ¢ ，
由对称性可知 PE + EF + FP = P¢E + EF + FP ¢ = P¢P ¢ ，且 P¢ 、E、F、 P ¢ 在一条直线上，所以 P¢P ¢ 即为最短距离，其长度取决于 PA 的长度，
如图④，作出 B»C 的圆心 O，连接 AO ，与弧 BC 交于 P，P 点即为使得 PA 最短的点，
∵ AB = 6km ， AC = 3km ， ÐBAC = 60° ，
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3
∴ VABC 是直角三角形， ÐABC = 30° ， BC = 3
， B»C 所对的圆心角为60° ，
7
3
∴△OBC 是等边三角形， ÐCBO = 60° ， BO = BC = 3 3 ，
AB2 + BO2
7
∴ ÐABO = 90° ， AO = = 3
ÐP¢AE = ÐEAP, ÐPAF = ÐFAP ¢ ，
， PA = 3
- 3 ，
∴ ÐP¢AP ¢ = 2ÐABC = 120°, P¢A = AP ¢ ，
∴ ÐAP¢E = ÐAP ¢F = 30° ，
∵ P¢P ¢ = 2P¢A cos ÐAP¢E =
3P¢A = 3
- 9 ，
21
21
所以 PE + EF + FP 的最小值为(3
- 9)km ．
【点睛】本题考查了圆的综合，涉及到垂径定理、最短路径问题等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
25. 已知点 A(1, 0)是抛物线 y = ax2 + bx + m （ a, b, m 为常数， a ¹ 0, m < 0 ）与 x 轴的一个交点．
（1） 当a = 1, m = -3 时，求该抛物线的顶点坐标；
（2） 若抛物线与 x 轴的另一个交点为 M (m, 0) ，与 y 轴的交点为 C，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，E 是
2
直线 l 上的动点，F 是 y 轴上的动点， EF = 2 ．
①当点 E 落在抛物线上（不与点 C 重合），且 AE = EF 时，求点 F 的坐标；
2
②取 EF 的中点 N，当 m 为何值时， MN 的最小值是
？
2
【答案】（1）抛物线的顶点坐标为(-1, -4) ；（2）①点 F 的坐标为(0, -2 -
值为- 3 或- 1 时，MN 的最小值是 2 ．
7 )或(0, -2 +
7 )；②当 m 的
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2 2 2
【解析】
【分析】（1）根据a = 1, m = -3 ，则抛物线的解析式为 y = x2 +bx-3，再将点 A（1，0）代入
y = x2 +bx-3，求出 b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；
（2）①首先用含有 m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0, m) ，点 E (m +1, m) .
2
过点 A 作 AH ^ l 于点 H,在 RtVEAH 中，利用勾股定理求出 AE 的值，再根据 AE = EF ， EF = 2 ，
可求出 m 的值，进一步求出 F 的坐标；
②首先用含 m 的代数式表示出 MC 的长，然后分情况讨论 MN 什么时候有最值.
【详解】解：（1）当 a = 1 ， m = -3 时，抛物线的解析式为 y = x2 +bx-3．
∵抛物线经过点 A(1, 0)，
\0 = 1+ b - 3 ．解得b = 2 ．
\抛物线的解析式为 y = x2 + 2x - 3 ．
Q y = x2 + 2x - 3 = ( x +1)2 - 4 ，
\抛物线的顶点坐标为(-1, -4) ．
（2）①∵抛物线 y = ax2 + bx + m 经过点 A(1, 0)和 M (m, 0) ， m < 0 ，
\0 = a + b + m ，
0 = am2 + bm + m ，即 am + b +1 = 0 ．
\ a = 1 ， b = -m -1 ．
\抛物线的解析式为 y = x2 - (m + 1) x + m ． 根据题意，得点C (0, m) ，点 E (m +1, m) ． 过点 A 作 AH ^ l 于点 H．
由点 A(1, 0)，得点 H (1, m) ．
在 RtVEAH 中， EH = 1- (m +1) = -m ， HA = 0 - m = -m ，
EH 2 + HA2
\ AE = = - 2m ．
2
Q AE = EF = 2 ，
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2
\- 2m = 2
．解得m = -2 ．
此时，点 E (-1, -2) ，点C (0, -2) ，有 EC = 1．
Q 点 F 在 y 轴上，
\在 RtVEFC 中， CF =
\点 F 的坐标为(0, -2 -
EF 2 - EC 2
7 )或(0, -2 +
= ．
7
7 )．
2
②由 N 是 EF 的中点，得CN = 1 EF = ．
2
2
根据题意，点 N 在以点 C 为圆心、
为半径的圆上．
由点 M (m, 0) ，点C (0, m) ，得 MO = - m ， CO = -m ．
MO2 + CO2
\在 RtVMCO 中， MC =
=
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