资源描述
广东省广州市广大附中教育集团初三自主招生考试
考试时间：120 分钟 满分：100 分
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知m 、n 是方程 x2 + 2020x + 7 = 0 的两个根，则(m + 2019m +
A. 2021 B. 2020 C. 2012
6)(n + 2021n + 8) （ ）
D. 2011
【答案】C
【解析】
2 2
【分析】根据题意得 m2 + 2020m + 7 = 0 ， n2 + 2020n + 7 = 0 ， m + n = -2020 ， mn = 7 ，则
m2 = -2020m - 7 ， n2 = -2020m - 7 ，将其代入(m2 + 2019m + 6)(n2 + 2021n + 8) 得
-mn - (m + n) -1，再将 m + n = -2020 ， mn = 7 代入即可得．
【详解】解：∵ m 、n 是方程 x2 + 2020x + 7 = 0 的两个根，
∴ m2 + 2020m + 7 = 0 ， n2 + 2020n + 7 = 0 ， m + n = -2020 ， mn = 7 ，
∴ m2 = -2020m - 7 ， n2 = -2020m - 7
(m2 + 2019m + 6)(n2 + 2021n + 8)
= (-2020m - 7 + 2019m + 6)(-2020m - 7 + 2021n + 8)
= (-m -1)(n +1)
= -mn - (m + n) -1
∵ mn = 7 ， m + n = -2020 ，
∴原式= -7 - (-2020) -1 = 2012 ， 故选：C．
【点睛】本题考查了方程的根，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
2. 如图，已知直线l1 ∥l2 ∥l3 ∥l4 ，相邻两条平行线间的距离都等于 h，若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ）
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A. 4h2
B. 5h2
C. 4 2h2
D. 5 2h2
【答案】B
【解析】
【分析】过点 D 作 EF ^ l1 交l1 、l4 于点 E，F，则 DF ^ l4 ，然后证明V ADE≌VDCF ，得到 AE = DF ， 利用勾股定理解题即可．
【详解】过点 D 作 EF ^ l1 交l1 、l4 于点 E，F，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AD = CD，ÐADC = 90°，
∴ ÐADE + ÐCDF = 90° .
∵ l1 ∥l2 ∥l3 ∥l4 ， EF ^ l1 ，
∴ DF ^ l4 ，
∴ ÐAED = ÐCFD = 90° ，
∴ ÐDCF + ÐCDF = 90°.
∴ ÐDCF = ÐADE .
∴V ADE≌VDCF ，
∴ AE = DF .
∵相邻两条平行直线间的距离都是 h，
∴ DE =n，AE = DF = 2n .
∵ ÐAED = 90° ，
正方形ABCD
∴ S = AD2 = AE2 + DE2 =n2 +(2n)2 = 5n2 ，故选 B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3. 函数 y =|x|， y = 1 x + 4 ．当 y ＞y
时，x 的范围是( )
1 2 3 3 1 2
A x < -1
B. -1 < x < 2
C. x < -1或x > 2
D. x > 2
【答案】C
【解析】
【详解】当 x≥0 时，y1=x，又 y2
= 1 x + 4 ，∴两直线的交点为（2，2），
3 3
当 x＜0 时，y1=-x，又 y2
= 1 x + 4 ，∴两直线的交点为（-1，1），
3 3
由图象可知：当 y1＞y2 时 x 的取值范围为：x＜-1 或 x＞2，
故选 C.
x2 + 2x + 2
【点睛】本题考查的是两条直线相交问题，关键要由已知求出两直线的交点，然后根据数形结合思想进行解答.
x2 - 4x + 13
4. 已知 x 为实数，则
+ 的最小值为（ ）
10
A. 5 B.
+ C. 3 + D. 6
5
5
【答案】A
【解析】
x2 - 4x + 13
x2 + 2x + 2
( x - 2)2 + (0 - 3)2
【分析】 + =
+ ，令 A( x，0) ， B (2，3) ，
( x + 1)2 + (0 + 1)2
x2 - 4x + 13
x2 + 2x + 2
C (-1，-1) ，则 + 表示，点 A( x，0) 到点 B (2，3) 和点C (-1，-1) 的距离的和，如
x2 - 4x + 13
图，可得当 B、A、C 三点共线时，
+ 的值最小，值为
，计算
x2 + 2x + 2
(2 +1)2 + (3 +1)2
求解即可．
x2 - 4x + 13
x2 + 2x + 2
【详解】解：∵ +
( x - 2)2 + 9
( x + 1)2 + 1
= +
( x - 2)2 + (0 - 3)2
( x + 1)2 + (0 + 1)2 ，
=
+
令 A( x，0) ， B (2，3) ， C (-1，-1) ，
x2 - 4x + 13
x2 + 2x + 2
∴ + 表示，点 A( x，0) 到点 B (2，3) 和点C (-1，-1) 的距离的和，如图，
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x2 - 4x + 13
∴当 B、A、C 三点共线时，
+ 的值最小，值为
= 5 ，
x2 + 2x + 2
(2 +1)2 + (3 +1)2
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
ï
ì 2x +1 - 5x - 3 < 1L①
5. 不等式组í 3 6 的解集是关于 x 的一元一次不等式 ax > -1解集的一部分，则 a 的取
ïî -5 £ 2x -1 £ 5 L②
值范围是（ ）
A. 0 < a £ 1
【答案】D
【解析】
B. - 1 < a < 0
3
C. - 1 < a £ 1 3
D. - 1 < a £ 1 且 a ¹ 0 ．
3
【分析】分别求出不等式组和不等式的解集，根据不等式组的解集是不等式的解集的一部分及，进行求解
即可．
ï
ì 2x +1 - 5x - 3 < 1L①
ìx > -1
【详解】解：由í 3 6
，得： í-2 £ x £ 3 ，
∴ -1 < x £ 3 ，
∵ ax > -1，
ïî -5 £ 2x -1 £ 5 L② î
①当 a > 0 时， x > - 1 ，
a
∵不等式组的解集是不等式的解集的一部分，
∴ - 1 £ -1 ，
a
∴ a £ 1 ，
∴ 0 < a £ 1；
②当 a<0 时， x < - 1 ，
a
∵不等式组的解集是不等式的解集的一部分，
∴ - 1 > 3，
a
∴ a > - 1 ，
3
∴ - 1 < a < 0 ； 3
综上： - 1 < a £ 1 且 a ¹ 0 ；
3
故选：D．
【点睛】本题考查根据不等式的解集情况求参数．熟练掌握解不等式的步骤，正确的求出不等式的解集，
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是解题的关键．
1
4
6. 求 1 x -1 + 1 x - 2 +
2 3
x - 3 的最小值（ ）
7
A. 12 B. 6 C.
2
【答案】C
D. 3
【解析】
【分析】根据题意进行分类讨论：①当 x < 2 时，②当 2 £ x £ 6 时，③当6 < x £ 12 时，④当 x > 12 时， 即可进行解答．
【详解】解：①当 x < 2 时，原式= 1- 1 x + 2 - 1 x + 3 - 1 x = 6 - 13 x ，
2 3 4 12
Q x < 2 ，
\6 - 13 x > 23 ；
12 6
②当2 £ x £ 6 时，原式= 1 x -1+ 2 - 1 x + 3 - 1 x = 4 - 1 x ，
Q 2 £ x £ 6 ，
2 3 4 12
\ 7 £ 4 - 1 x £ 23 ；
2 12 6
③当6 < x £ 12 时，原式= 1 x -1+ 1 x - 2 + 3 - 1 x =
7 x ，
Q 6 < x £ 12 ，
2 3 4 12
\ 7 < 7 x £ 7 ；
2 12
④当 x > 12 时，原式= 1 x -1+ 1 x - 2 + 1 x - 3 = 13 x - 6 ，
2 3 4 12
Q x > 12 ，
\ 13 x - 6 > 7 ． 12
综上，当 x = 6 时，原式有最小值为 7 ．
2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数．
7. 如图，长方体的长、宽、高分别是8cm ， 2cm ， 4cm ，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B， 则妈蚁爬行的最短路径长为（ ）
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29
A. 2
B. 2
C. 10 D. 4 + 2
37
5
【答案】C
【解析】
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A 和 B 点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1） 展开前面右面由勾股定理得 AB2 = (8 + 2)2 + 42 = 116cm ；
（2） 展开前面上面由勾股定理得 AB2 = (2 + 4)2 + 82 = 100cm ；
（3）展开左面上面由勾股定理得 AB2 = (4 + 8)2 + 22 = 148 ．
100
所以最短路径的长为 AB = = 10(cm) ．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
8. 如图， V ABC 中， AB = AC ， ÐBAC = 54°，ÐBAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点O ，将
ÐC 沿 EF (E 在 BC 上， F 在 AC 上)折叠，点C 与点O 恰好重合，则ÐOEC 为( )
A. 126° B. 120° C. 110° D. 108°
【答案】D
【解析】
【分析】连接OB 、OC ，设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，根据角平分线的定义求出ÐBAO ，根据等腰三角形两底角相等求出ÐABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA = OB ，
根据等边对等角可得ÐABO = ÐBAO ，再求出ÐOBC ，然后判断出点O 是V ABC 的外心，根据三角形外
心的性质可得OB = OC ，再根据等边对等角求出ÐOCB = ÐOBC ，根据翻折的性质可得OE = CE ，然后根据等边对等角求出ÐCOE ，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．
【详解】解：如图，连接OB 、OC ，设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D
QÐBAC = 54° ， AO 为ÐBAC 的平分线，
\ÐBAO = 1 ÐBAC = 1 ´ 54° = 27° ，
2 2
又Q AB = AC ，
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\ÐABC = 1 (180° - ÐBAC ) = 1 (180° - 54°) = 63° ，
2 2
Q DO 是 AB 的垂直平分线，
\OA = OB ，
\ÐABO = ÐBAO = 27° ，
\ÐOBC = ÐABC - ÐABO = 63° - 27° = 36° ，
Q AO 为ÐBAC 的平分线， AB = AC ，
\OB = OC ，
\点O 在 BC 的垂直平分线上， 又Q DO 是 AB 的垂直平分线，
\点O 是V ABC 的外心，
\ÐOCB = ÐOBC = 36° ，
Q 将ÐC 沿 EF (E 在 BC 上， F 在 AC 上) 折叠，点C 与点O 恰好重合，
\OE = CE ，
\ÐCOE = ÐOCB = 36° ，
在VOCE 中， ÐOEC = 180° - ÐCOE - ÐOCB = 180° - 36° - 36° = 108°， 故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性 质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
9. 已知在 x2 + mx -16 = (x + a)(x + b) 中， a 、b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 的值共有
（ ）个
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先根据整式的乘法可得 m = a + b, ab = -16 ，再根据“ a, b 为整数”进行分析即可得．
【详解】Q(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab ，
\ x2 + mx -16 = x2 + (a + b)x + ab ，
\ m = a + b, ab = -16 ，
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根据 a, b 为整数，有以下 10 种情况：
（1）当 a = 1, b = -16 时， m = 1+ (-16) = -15 ；
（2）当 a = 2, b = -8 时， m = 2 + (-8) = -6 ；
（3）当 a = 4, b = -4 时， m = 4 + (-4) = 0 ；
（4）当 a = 8, b = -2 时， m = 8 + (-2) = 6 ；
（5）当 a = 16, b = -1 时， m = 16 + (-1) = 15 ；
（6）当 a = -1, b = 16 时， m = -1+16 = 15 ；
（7）当 a = -2, b = 8 时， m = -2 + 8 = 6 ；
（8）当 a = -4, b = 4 时， m = -4 + 4 = 0 ；
（9）当 a = -8, b = 2 时， m = -8 + 2 = -6 ；
（10）当 a = -16, b = 1 时， m = -16 +1 = -15 ；
综上，符合条件的 m 的值为-15, -6, 0, 6,15 ，共有 5 个， 故选：B．
【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
10. 如图，在VABC 中， ÐACB = 90° ， AC = BC = 4 ，点 D 是 BC 边的中点，点 P 是 AC 边上一个动点，连接 PD ，以 PD 为边在 PD 的下方作等边三角形 PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（ ）
2
A 3 B. 1 C. D. 3
2 2
【答案】B
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【解析】
【分析】以 CD 为边作等边三角形 CDE，连接 EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得
△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点 Q 是在 QE 所在直线上运动，所以 CQ 的最小值
为 CQ⊥QE 时，最后问题可求解．
【详解】解：以 CD 为边作等边三角形 CDE，连接 EQ，如图所示：
∵VPDQ 是等边三角形，
∴ ÐCED = ÐPDQ = ÐCDE = 60°, PD = QD, CD = ED ，
∵∠CDQ 是公共角，
∴∠PDC=∠QDE，
∴△PCD≌△QED（SAS），
∵ ÐACB = 90° ， AC = BC = 4 ，点 D 是 BC 边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°， CD = DE = CE = 1 BC = 2 ，
2
∴点 Q 是在 QE 所在直线上运动，
∴当 CQ⊥QE 时，CQ 取的最小值，
∴ ÐQEC = 90° - ÐCED = 30° ，
∴ CQ = 1 CE = 1；
2
故选 B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含 30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含 30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
二、不定项选择题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分；漏选得 2 分，错选或多选
不得分）
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11. 如果实数 a，b 分别满足 a2 + 2a = 2 ， b2 + 2b = 2 ，则 1 + 1 的值是（
）
a b
3
3
3
A. 1 B. +1 C. - +1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 a2 + 2a = 2 ， b2 + 2b = 2 ，可知 a，b 是 x2 + 2x = 2 的两个解，则 a + b = -2 ， ab = -2 ，根
据 1 + 1 = a + b ，计算求解即可．
a b ab
【详解】解：∵ a2 + 2a = 2 ， b2 + 2b = 2 ，
∴ a，b 是 x2 + 2x = 2 的两个解，
∴ a + b = -2 ， ab = -2 ，
∴ 1 + 1 = a + b = 1 ，
a b ab
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
1
12. 如图， VABC 的内角ÐABC 和外角ÐACD 的平分线相交于点 E， BE 交 AC 于点 F，过点 E 作
EG ∥ BD 交 AB 于点 G，交 AC 于点 H，连接 AE ，以下几个结论：① ÐBEC = ÐBAC ；②
2
VHEF ≌VCBF ；③ BG = CH + GH ；④ ÐAEB + ÐACE = 90°；其中正确的结论有（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可判断①结论；根据全等三角形的判定定理，即可判断②结论；根据角平分线的定义、平行线的性质以及等角对等边的性质，即可判断③结论；过点 E 作EN ^ BA 延长线于点 N ， EL ^ AC 于点 L ， EM ^ BD 于点 M ，根据角平分线的性质定理，得出 AE 平分ÐNAL ，再利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，即可判断④结论．
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【详解】解：Q BE 平分ÐABC ， CE 平分ÐACD ，
\ÐCBE = 1 ÐABC ， ÐECD = 1 ÐACD ，
2 2
QÐACD = ÐABC + ÐBAC ， ÐECD = ÐCBE + ÐBEC ，
\ÐCBE + ÐBEC = 1 (ÐABC + ÐBAC ) = 1 ÐABC + 1 ÐBAC = ÐCBE + 1 ÐBAC ，
2 2 2 2
\ÐBEC = 1 ÐBAC ，即①结论正确；
2
由 EG ∥ BD 可以得到VHEF∽VCBF ，但是没有条件可以推出相等的边，不能证明VHEF ≌VCBF ，即② 结论错误；
Q BE 平分ÐABC ， CE 平分ÐACD ，
\ÐCBE = ÐGBE ， ÐECD = ÐECH ，
Q EG ∥ BD ，
\ÐCBE = ÐBEG ， ÐECD = ÐCEG ，
\ÐGBE = ÐBEG ， ÐECH = ÐCEG ，
\ BG = EG ， CH = EH ，
Q EG = EH + GH ，
\ BG = CH + GH ，即③结论正确；
如图，过点 E 作 EN ^ BA 延长线于点 N ， EL ^ AC 于点 L ， EM ^ BD 于点 M ，
Q BE 平分ÐABC ， CE 平分ÐACD ，
\ EN = EM ， EL = EM ， ÐABC = 2ÐCBE = 2ÐGBE ， ÐACD = 2ÐECH = 2ÐECD ，
\ EN = EL ，
\AE 平分ÐNAL ，
\ÐNAL = 2ÐEAL = 2ÐEAN ，
\ÐBAC = 180° - ÐNAL = 180° - 2ÐEAN ，
QÐACB = 180° - ÐACD = 180° - 2ÐACE ，且ÐABC + ÐACB + ÐBAC = 180°，
\ 2ÐGBE + (180° - 2ÐACE ) + (180° - 2ÐEAN ) = 180° ，
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\ÐACE + ÐEAN - ÐGBE = 90° ，
QÐEAN 是V ABE 的外角，
\ÐEAN = ÐGBE + ÐAEB ，
\ÐACE + (ÐGBE + ÐAEB) - ÐGBE = 90° ，
\ÐAEB + ÐACE = 90° ，即④结论正确；
\正确的结论有①③④， 故选：ACD．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
13. 下列说法：①如果3.7852 = m ，则378.52 = 100m ；② 0.27& = 5 ；
18
③若|a |= -b ， | b |= b ，则 a - b = 0 ；
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④若关于 x 的方程 x +1 - x =
ax + 2
无解，则a = -2 ， -5 或- 1 ．
x + 2 x -1 (x -1)(x + 2) 2
其中正确的命题是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据乘方、分式方程的解的定义、绝对值的性质逐项分析即可求解．
【详解】解：①如果3.7852 = m ，则378.52 = (3.785´100)2 = 10000 ´ 3.7852 = 10000m ，故①错误， 那么①不符合题意．
② 0.27& = 5
18
故②正确；
③若|a |= -b ， | b |= b ，
∴ b ³ 0 ， -b ³ 0 ，则 a = b = 0 ，则 a - b = 0 ，故③正确；
④解 x +1 - x =
ax + 2
,
x + 2
解得： x = -
x -1 (x -1)(x + 2)
3
a + 2
∵原方程无解，则a = -2 ，或-
3
a + 2
= 1 或-2 ，
解得： a = -5 或- 1
2
∴ a = -2 ， -5 或- 1 ．
2
故④正确， 故选：BCD．
【点睛】本题主要考查乘方、分式方程的解、绝对值，熟练掌握乘方、分式方程的解的定义、绝对值的性质是解决本题的关键．
14. 如图： ÐAOB = 30° ．按下列步骤作图：①在射线OA 上取一点 C，以点 O 为圆心， OC 长为半径作圆弧 DE ，交射线OB 于点 F．连结CF ；②以点 F 为圆心， CF 长为半径作圆弧，交弧 DE 于点 G；③连结 FG 、CG ．作射线OG ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A. ÐAOG = 60° B. OF 垂直平分CG
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C. OG = CG
【答案】D
【解析】
D. OC = 2FG
【分析】由作法得 OC= OF = OG，FG= FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断 OF 垂直平分 CG，则可对 B 选项进行判断;利用 C 点与 G 点关于 OF 对称得到∠FOG = ∠FOC =30°，则可对 A 选项进行判断; 通过判断△OCG 为等边三角形可对 C 选项进行判断;利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OC = 2CM，加上 CF> CM，FC= FG，则可对 D 选项进行判断.
【详解】由作法得 OC=OF= OG，FG= FC，则 OF 垂直平分 CG， 所以 B 选项的结论正确；
∵C 点与 G 点关于 OF 对称
∴∠FOG=∠FOC=30°，
∴∠AOG =60°，
所以 A 选项的结论正确;
∴△OCG 为等边三角形，
OG = CG，
所以 C 选项的结论正确;
在 Rt△OCM 中，∵∠COM =30°
∴OC = 2CM，
∵CF > CM， FC= FG，
∴ OC ≠2FG，
所以 D 选项的结论错误故选：D.
【点睛】本题考查含 30 度的直角三角形、线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形的三边关系，等边三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点
15. 如图，在一张矩形纸片 ABCD 中， AB = 4 ， BC = 8 ，点 E，F 分别在 AD，BC 上，将纸片 ABCD
沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点 H 处，点 D 落在点 G 处，有以下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形；
② EC 平分ÐDCH ；
③线段 BF 的取值范围为3 £ BF £ 4 ；
④当点 H 与点 A 重合时， EF =2 5．
以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由折叠的性质可得， CF = HF ， ÐHFE = ÐCFE ，由矩形 ABCD ，可得 AD∥BC ，则
ÐHEF = ÐCFE ， ÐHEF = ÐHFE ， HE = HF ，即 HE = CF ，可证四边形CFHE 是菱形，进而可判断①的正误；由四边形CFHE 是菱形，可得ÐBCH = ÐECH ，当ÐDCE = ÐECH = ÐBCH = 30°
时， EC 平分ÐDCH ，进而可判断②的正误；如图，当 H 与A 重合时，设 BF = x ，则
AF = CF = 8 - x ，由勾股定理得， AF 2 - BF 2 = AB2 ，即(8 - x)2 - x2 = 42 ，解得 x = 3 ，当点G 与点 D 重合时， CF = CD = 4 ，即 BF = BC - CF = 4 ，则3 £ BF £ 4 ，进而可判断③的正误；如图，过 F 作 FM ^ AD 于 M ，则四边形 ABFM 是矩形， MF = 4 ， AM = BF = 3 ， AE = CF = 5 ，
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MF 2 + ME2
ME = AE - AM = 2 ，由勾股定理得， EF =
= 2 ，进而可判断④的正误．
5
【详解】解：由折叠的性质可得， CF = HF ， ÐHFE = ÐCFE ，
∵矩形 ABCD ，
∴ AD∥BC ，
∴ ÐHEF = ÐCFE ，
∴ ÐHEF = ÐHFE ，
∴ HE = HF ，
∴ HE = CF ， 由∵ HE∥CF ，
∴四边形CFHE 是平行四边形， 又∵ HE = HF ，
∴四边形CFHE 是菱形，
∴①正确，故满足要求；
∵四边形CFHE 是菱形，
∴ ÐBCH = ÐECH ，
当ÐDCE = ÐECH = ÐBCH = 30° 时， EC 平分ÐDCH ，
∴②错误，故不满足要求；
如图，当 H 与A 重合时，设 BF = x ，则 AF = CF = 8 - x ，
由勾股定理得， AF 2 - BF 2 = AB2 ，即(8 - x)2 - x2 = 42 ，解得 x = 3 ，当点G 与点 D 重合时， CF = CD = 4 ，即 BF = BC - CF = 4 ，
∴ 3 £ BF £ 4 ，
∴③正确，故符合要求；
如图，过 F 作 FM ^ AD 于 M ，则四边形 ABFM 是矩形，
∴ MF = 4 ， AM = BF = 3 ， AE = CF = 5 ，
5
∴ ME = AE - AM = 2 ，
MF 2 + ME2
由勾股定理得， EF =
= 2 ，
∴④正确，故满足要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定，等角对等边，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
1 + 4 + 2 3
三、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
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3
16. 若 a，b 为有理数且满足 a + b
= 6 ×
，则 a + b = ．
【答案】4
【解析】
1 + 4 + 2 3
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则解决此题．
3
【详解】解：∵ a + b
= 6 × ，
3
1+ ( 3 +1)2
∴ a + b = 6 ×
1+ 3 +1
= 6 ×
2 + 3
= 6 ×
12 + 6 3
=
(3 +
3 )2
=
3
= 3 + ．
∴ a = 3，b = 1．
∴ a + b = 3 + 1 = 4 ． 故答案为：4．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的
乘法法则是解决本题的关键．
17. 关于 x 的一元二次方程(1- 2k )x2 - 2
k +1x -1 = 0
有两个不相等的实数根，则常数 k 的取值范围是
．
【答案】 -1 £ k < 2 且k ¹ 1
2
【解析】
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则△=b2-4ac＞0，结合一元二次方程的定义，求出 k 的取值范围．
【详解】由题意得：1−2k≠0 即 k≠ 1 ，
k+1≥0，即 k≥−1，
△=b2−4ac=(−2
∴k<2，
2
k +1
)2−4×(1−2k)×(−1)=8−4k>0，
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故答案为： -1 £ k < 2 且k ¹ 1 ．
2
【点睛】此题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握判别式．
18. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 BC ， CD 上的点， AE 与 BF 相交于点 G，连接 AC 交
BF 于点 H．若CE = DF ， BG = GH ， AB = 2 ，则△ CFH 的面积为 ．
2
【答案】3 - 4
【解析】
【分析】过点 H 作 HM ^ CD ，垂足为 M，根据正方形的性质得 AB = BC = CD = 2 ， AB ∥CD ，
2
ÐABC = ÐBCD = 90° ， ÐACD = 45° ，根据勾股定理得 AC = 2 ，根据CE = DF 得 BE = CF ，利
用 SAS 证明△ABE ≌ △BCF ，则Ð1 = Ð2 ，根据ÐABC = 90°得Ð1+Ð3=90° ，则ÐAGB = 90° ，
2
根据 BG = GH 得 AG 是 BH 的垂直平分线，则 AB = AH = 2 ， Ð3 = ÐAHB ， CH = 2
AB ∥CD 得Ð3 = ÐCFH ，根据ÐAHB = ÐCHF 得ÐCHF = ÐCFH ，则CH = CF = 2
- 2 ，根据
2
- 2 ，在
RtVHMC 中， ÐHMC = 90°， ÐACD = 45° ， sin ÐMCH = HM
HC
，进行计算得 HM = 2 - ，即可
2
得．
【详解】解：如图所示，过点 H 作 HM ^ CD ，垂足为 M，
∵四边形 ABCD 是正方形，
2
∴ AB = BC = CD = 2 ， AB ∥CD ， ÐABC = ÐBCD = 90° ， ÐACD = 45° ，
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AB2 + BC 2
22 + 22
∴ AC = =
∵ CE = DF ，
= 2 ，
∴ BC - CE = CD - DF ，
∴ BE = CF ，
在V ABE 和△BCF 中，
ì AB = BC
í
ïÐABE = ÐBCF ，
î
ï BE = CF
∴V ABE≌VBCF (SAS ) ，
∴ Ð1 = Ð2 ，
∵ ÐABC = Ð2 + Ð3 = 90° ，
∴Ð1+Ð3=90° ，
∴ ÐAGB = 180° - (Ð1+ Ð3) = 90° ，
∵ BG = GH ，
∴ AG 是 BH 的垂直平分线，
∴ AB = AH = 2 ，
∴ Ð3 = ÐAHB ，
2
CH = AC - AH = 2
∵ AB ∥CD ，
∴ Ð3 = ÐCFH ，
∵ ÐAHB = ÐCHF ，
∴ ÐCHF = ÐCFH ，
- 2 ，
2
∴ CH = CF = 2 - 2 ，
在 RtVHMC 中， ÐHMC = 90°， ÐACD = 45° ， CH = 2
即 HM = HC sin ÐMCH ，
HM = HC sin Ð45° ，
- 2 ， sin ÐMCH = HM ，
2
HC
2 ，
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