2023-2024学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． 2．（3 分）抛物线 y＝（x﹣2）2﹣1 的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1） 3．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2﹣2x﹣1＝0 的过程中，配方正确的是（ ）
A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝4
4．（3 分）如图，OC 是⊙O 半径，AB 是⊙O 的弦，且 OC⊥AB 于点 D．若 OA＝10，CD＝4，则弦 AB 的长是（ ）

A．8 B．12 C．16 D．20

5．（3 分）如图，将△ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 100°得到△AB′C′，若点 B′恰好落在边 BC 上，则

∠B 的度数是（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°

6．（3 分）如图，PA、PB、分别切⊙O 于 A、B 两点，∠P＝40°，则∠C 的度数为（ ）

A．40° B．140° C．70° D．80°

第 9页（共 32页）

7．（3 分）若关于 x 的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0 有两个不相等实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＜5 且 a≠2 C．a＜6 且 a≠2 D．a＜6

转动转盘的次数 n
100
150
200
500
800
1000
落在“饮料”区域次数 m
32
39
64
155
254
299

8．（3 分）如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物 100 元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行 中的一组统计数据：

则转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB 的度数近似是（ ）
A．119° B．108° C．87° D．90°

9．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC 且 BC＝2AD，AC 与 BD 交于点 O，E，F 分别是 BO，BC

的中点，则△AOB 的面积与四边形 EOCF 的面积比是（ ）

A．2：3 B．4：9 C．1：2 D．3：4

10．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 交 x 轴于 A（﹣1，0），B 两点，交 y 轴的负半轴于点 C，顶点为 D
（1，n）．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③若 M（x1，y1），N（x1+1，y2）为该抛物线上两点且，则 y1＞y2；④若△ABD 是等腰直角三角形，则；⑤若 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 a（x﹣2） 2+b（x﹣2）+c＝n 的两个根，则 x1＝x2＝﹣1．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤ C．①④⑤ D．①③④

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）已知 x＝1 是方程 x2﹣3x+c＝0 的一个根，则实数 c 的值是 ．
12．（3 分）在一个不透明的袋中装有 3 个红球，1 个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出 2 球，则“摸出的球中至少有 1 个红球”是 事件．（填“必然”，“不可能”或“随机”）
13．（3 分）如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为 ．

14．（3 分）如图，在△AOB 中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，以 OA 为轴将△AOB 旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角θ的度数是 ．

15．（3 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值 y 和自变量 x 的部分对应取值如表所示：

x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
1
m
n
1
p
…
若在 m，n，p 这三个实数中，只有一个是正数，则 a 的取值范围是 ．

16．（3 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB＝6，AD＝4，点 O 为边 AB 上一点，且 AO＝2，点 E 为边 BC

上动点，将线段 OE 绕点 O 顺时针旋转 120°得到线段 OE′，OE′与边 AD 交于点 F，连接 EF．

（1） 当点 E 与点 B 重合时，△EOF 的面积是 ；

（2） 当点 E 在 BC 边上运动时，△EOF 的面积最小值是 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程：x（x﹣3）＝x﹣3．

18．（4 分）如图，已知 A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（0，﹣1），将△ABC 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90°后得到△A1B1C．
（1） 请在图中画出△A1B1C；
（2） 直接写出线段 CB 在旋转过程中扫过的图形面积： ．

19．（6 分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，CD⊥BD，且测得 AB＝4m，BP
＝6m，PD＝12m，求该古城墙 CD 的高度是多少 m？

20．（6 分）如图，直线 y＝kx+3 分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，经过 A，B 两点的抛物线 y＝﹣x2+bx+c
与 x 轴的正半轴相交于点 C（1，0）．

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 结合图象，直接写出不等式﹣x2+bx+c＞kx+3 的解集．

21．（8 分）2023 年举世瞩目的第十九届亚运会在中国杭州举行，亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”成为热销产品．小李和小张去杭州旅游，他们分别从这三个吉祥物中任意选购一款以作留念．
（1） 小李选购吉祥物“琮琮”的概率是 ；

（2） 请用列表法或画树状图法，求小李和小张选购同一款吉祥物的概率．

22．（10 分）2022 年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）》，《劳动》成为一门独立的课程．某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园 ABCD（靠墙的一边 BC 不需用篱笆），墙长为 16 米．
（1） 当围成的矩形养殖园面积为 108 平方米时，求养殖园的边 BC 的长；

（2） 求矩形养殖园 ABCD 面积的最大值．

23．（10 分）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，且 CD⊥AB，点 E 为劣弧上一点，且，
DE 与 AC 交于点 F．

（1） 尺规作图：作出点 E，并连接 DE．（保留作图痕迹，不写作法）；

（2） 连接 AE，CE，M 为 CE 延长线上一点，求证：AE 平分∠DEM；

（3） 求证：FD﹣FE＝EC．

第 32页（共 32页）

24．（12 分）已知抛物线 G：y＝a（x+1）（x﹣3）与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 P（0，t）（﹣1≤t≤2）为 y 轴上一动点，过点 P 作 y 轴的垂线交抛物线 G 于点 M、N（M 与 N 不重合）．
（1） 求点 C 的纵坐标（用含 a 的式子表示）；
（2） 当 a＜0 时，若，求抛物线 G 的纵坐标在 4a≤x≤4a+5 时的取值范围；
（3） 对于 a（a≠0）的每一个确定的值，MN 有最小值 m，若 m≤2，求 a 的取值范围．

25．（12 分）如图，四边形 ABCD 中，AB＝CD，∠ABC+∠BCD＝270°．

（1） 求∠A+∠D 的度数；

（2） 连接 AC，若∠ACB＝45°，求证：BC2+2AC2＝AD2；
（3） 点 E，F 分别为线段 BC 和 AD 上的点，点 G 是线段 EF 上任意一点，且△GAB 和△GCD 的面积相等，过点 D 作 DH⊥EF，DH 交直线 EF 于点 H，连接 AH．若 AD＝4，求线段 AH 的最小值．

2023-2024 学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．图形是中心对称图形，符合题意；

B．图形不是中心对称图形，不符合题意； C．图形不是中心对称图形，不符合题意； D．图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A．
2．（3 分）抛物线 y＝（x﹣2）2﹣1 的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）

【解答】解：∵抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 的顶点坐标是（h，k），
∴抛物线 y＝（x﹣2）2﹣1 的顶点坐标是（2，﹣1），故选：D．
3．（3 分）用配方法解一元二次方程 x2﹣2x﹣1＝0 的过程中，配方正确的是（ ）
A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝4
【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2， 故选：B．
4．（3 分）如图，OC 是⊙O 半径，AB 是⊙O 的弦，且 OC⊥AB 于点 D．若 OA＝10，CD＝4，则弦 AB 的长是（ ）

A．8 B．12 C．16 D．20

【解答】解：∵AB 是⊙O 的弦，且 OC⊥AB 于点 D，

∴AB＝2AD，

∵OC＝OA＝10，CD＝4，

∴OD＝10﹣4＝6，

∴AD＝ ＝8，
∴AB＝2×8＝16． 故选：C．
5．（3 分）如图，将△ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 100°得到△AB′C′，若点 B′恰好落在边 BC 上，则

∠B 的度数是（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°

【解答】解：∵将△ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 100°得到△AB′C′，

∴∠BAB′＝100°，AB＝AB′，
∴∠B＝∠AB′B＝ （180°﹣100°）＝40°． 故选：A．
6．（3 分）如图，PA、PB、分别切⊙O 于 A、B 两点，∠P＝40°，则∠C 的度数为（ ）

A．40° B．140° C．70° D．80°

【解答】解：∵PA 是圆的切线．

∴∠OAP＝90°， 同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：

∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝70°． 故选：C．

7．（3 分）若关于 x 的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0 有两个不相等实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＜5 且 a≠2 C．a＜6 且 a≠2 D．a＜6

【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣2）＞0， 解得，a＜6，
∵a≠2，

∴a＜6 且 a≠2． 故选：C．
转动转盘的次数 n
100
150
200
500
800
1000
落在“饮料”区域次数 m
32
39
64
155
254
299

8．（3 分）如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物 100 元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行 中的一组统计数据：

则转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB 的度数近似是（ ）
A．119° B．108° C．87° D．90°

【解答】解：转动该转盘一次，可估计指针落在“饮料”区域的概率为 0.3， 所以转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB 的度数近似是 360°×0.3＝108°． 故选：B．
9．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC 且 BC＝2AD，AC 与 BD 交于点 O，E，F 分别是 BO，BC

的中点，则△AOB 的面积与四边形 EOCF 的面积比是（ ）

A．2：3 B．4：9 C．1：2 D．3：4

【解答】解：∵AD∥BC，

∴△DOA∽△BOC，
∴ ，
∵BC＝2AD，

∴OC＝2OA，

∴S△BOC＝2S△AOB，
∵E，F 分别是 BO，BC 的中点，
∴EF∥AC，EF＝ OC，
∴△BEF∽△BOC，

∴ ＝ ，
∴S 四边形 EOCF＝S△BOC，
∴△AOB 的面积与四边形 EOCF 的面积比＝2：3， 故选：A．
10．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 交 x 轴于 A（﹣1，0），B 两点，交 y 轴的负半轴于点 C，顶点为 D
（1，n）．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③若 M（x1，y1），N（x1+1，y2）为该抛物线上两点且，则 y1＞y2；④若△ABD 是等腰直角三角形，则 ；⑤若 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 a（x﹣2）

2+b（x﹣2）+c＝n 的两个根，则 x1＝x2＝﹣1．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．③④⑤ C．①④⑤ D．①③④
【解答】解：由题意，∵抛物线 y＝ax2+bx+c 交 y 轴的负半轴于点 C，
∴令 x＝0，y＝c＜0．
又对称轴是直线 x＝﹣＝1＞0，
∴ab＜0．

∴abc＞0，故①正确．
∵抛物线过（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0．
又 b＝﹣2a，即 a＝﹣b，
∴c＝ b．
∴2c＝3b，故②错误．
∵0＜1，
∴x1＜x1+1． 又 ，
∴M 在 N 的左侧，共有两种情形．

第一种情形：M，N 在对称轴直线 x＝1 的左侧．

∵抛物线开口向上，

∴在对称轴直线 x＝1 的左侧 y 随 x 的增大而减小．

∴y1＞y2，符合题意．
第二种情形：M，N 在对称轴直线 x＝1 的两侧．
∵ ，
∴2x1＜1．
∴x1＜1﹣x1．

∴x1+1﹣1＜1﹣x1．
∴点 N 到对称轴的距离＜M 到对称轴的距离．

∴y1＞y2．
综上，③正确．
△ABD 是等腰直角三角形， 又 D 为顶点，
∴AD＝BD．

∵顶点为 D（1，n），对称轴是直线 x＝1，

∴n＝﹣[1﹣（﹣1）]＝﹣2．

∴可设抛物线为 y＝a（x﹣1）2﹣2． 又抛物线过点（﹣1，0），
∴4a﹣2＝0．
∴a＝ ，故④正确． 令 x﹣1＝X，
∴方程为 aX2+bX+c＝n．
结合函数 y＝ax2+bx+c 的顶点为（1，n），
∴方程 aX2+bX+c＝n 的解为 X1＝X2＝1．
∴x﹣2＝X1＝X2＝1．
∴x1＝x2＝3． 故⑤错误．
综上，正确的是①③④． 故选：D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）已知 x＝1 是方程 x2﹣3x+c＝0 的一个根，则实数 c 的值是 2 ．
【解答】解：∵x＝1 是方程 x2﹣3x+c＝0 的一个根，
∴1﹣3+c＝0， 解得：c＝2， 故答案为：2．
12．（3 分）在一个不透明的袋中装有 3 个红球，1 个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出 2 球，

则“摸出的球中至少有 1 个红球”是 必然 事件．（填“必然”，“不可能”或“随机”）

【解答】解：一个不透明的袋中装有 3 个红球，1 个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出 2 球，

共有以下 2 种情况：

1、2 个红球；

2、1 个红球，1 个黑球；

所以从中任意摸出 2 球，“摸出的球至少有 1 个红球”是必然事件，故答案为：必然．
13．（3 分）如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为 （5，5） ．

【解答】解：∵线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD，
∴端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的一半，

∴端点 C 的坐标为（5，5）．故答案为：（5，5）．
14．（3 分）如图，在△AOB 中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，以 OA 为轴将△AOB 旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角θ的度数是 180° ．

【解答】解：设 OB＝r，则 AB＝2r，

∴2πr＝ ，

解得θ＝180°． 故答案为：180°．
15．（3 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值 y 和自变量 x 的部分对应取值如表所示：

x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
1
m
n
1
p
…
若在 m，n，p 这三个实数中，只有一个是正数，则 a 的取值范围是 a ．
【解答】解：从表中可看出，x＝﹣1 和 2 时，y 值都是 1，因此抛物线的对称轴为：x＝， 把（0，m），（1，n）代入 y＝ax2+bx+c 得：，
∵对称轴 x＝﹣，
∴（0，m）和（1，n）是对称点，

∴m＝n，

把（﹣1，1）代入函数 a﹣b+c＝1

∴c＝1﹣a+b，

∴把（0，m）代入函数 c＝m，

∵m，n，p 这三个实数中，只有一个是正数， 又∵m≤0，
∴c≤0，

∴1﹣a+b≤抛 0， 又∵b＝﹣a，
∴1﹣2a≤0，
∴a≥ ，
故答案为：a ．
16．（3 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB＝6，AD＝4，点 O 为边 AB 上一点，且 AO＝2，点 E 为边 BC

上动点，将线段 OE 绕点 O 顺时针旋转 120°得到线段 OE′，OE′与边 AD 交于点 F，连接 EF．
（1） 当点 E 与点 B 重合时，△EOF 的面积是 4 ；

（2） 当点 E 在 BC 边上运动时，△EOF 的面积最小值是 ．

【解答】解：（1）∵点 E 与点 B 重合，则△EOF 的面积＝ ．

∵长方形 ABCD 中，AB＝6，AD＝4，点 O 为边 AB 上一点，且 AO＝2．

∴BO＝OE＝6﹣2＝4．

∵线段 OE 绕点 O 顺时针旋转 120°得到线段 OE'．

∴∠AOF＝180°﹣120°＝60°．∠AFO＝30°． 则 OF＝2OA＝4．
∴AF＝ ．
故△EOD 的面积＝．
故答案为：4 ．
（2）根据题意，设 BE＝x， 当点 E 与点 B 不重合时，
故∠AOD＜180°﹣120°＝60°． 此时 AF＜2．
则 OE＞OB，OE'＞OB＞OF．

延长 EO 交 DA 延长线于点 G，过点 G 作 GH⊥OF．

∵线段 OE 绕点 O 顺时针旋转 120°得到线段 OE'．

∴∠GOH＝60°，∠OGH＝30°．

∵∠BOE＝∠GOA．
tan∠BOE＝ ＝ ＝tan∠GOA＝ ＝ ．
∴GA＝ ．

则 OH＝ ．

根据等面积法，

S△OGF＝ 得：

．

∴ ．

则 x2+4AF2+4AFx＝3AF2+AF2x2+12+ （ ）AF2﹣4xAF+12﹣ x2＝0．
根据公式法：

AF ＝ ＝ ＝

．

进行分母有理化，AF＝ ．

S△EOF＝（BF+AF）×AB× ﹣BE×OB×﹣OA×AF× ．
整理得：S△EOF＝x+ ．

将 x＝ 代入可得，S△EOF 有最小值，且为． 故答案为： ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程：x（x﹣3）＝x﹣3．

【解答】解：x（x﹣3）＝x﹣3

x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，

（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝3，x2＝1．

18．（4 分）如图，已知 A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（0，﹣1），将△ABC 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90°后得到△A1B1C．
（1） 请在图中画出△A1B1C；

（2） 直接写出线段 CB 在旋转过程中扫过的图形面积： ．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C 即为所求．

（2）由勾股定理得，BC＝ ＝ ，
∴线段 CB 在旋转过程中扫过的图形面积为＝ ． 故答案为： ．
19．（6 分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，CD⊥BD，且测得 AB＝4m，BP
＝6m，PD＝12m，求该古城墙 CD 的高度是多少 m？

【解答】解：∵光线从点 A 出发经平面镜反射到点 C，

∴∠APB＝∠CPD，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABP＝∠CDP＝90°，

∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴ ＝ ，即 ＝ 解得：CD＝8． 答：该古城墙 CD 的高度为 8m．
20．（6 分）如图，直线 y＝kx+3 分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，经过 A，B 两点的抛物线 y＝﹣x2+bx+c
与 x 轴的正半轴相交于点 C（1，0）．

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 结合图象，直接写出不等式﹣x2+bx+c＞kx+3 的解集．

【解答】解：（1）将 x＝0 代入 y＝kx+3，得 y＝3，
∴点 B 的坐标为（0，3），

将 B（0，3），C（1，0）代入 y＝﹣x2+bx+c，

得
解得
，
，

∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）将 y＝0 代入 y＝﹣x2﹣2x+3， 得﹣x2﹣2x+3＝0，
即（x+3）（x﹣1）＝0，

解得 x1＝﹣3，x2＝1，
∴点 A 的坐标为（﹣3，0）．

由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＞kx+3 的解集为﹣3＜x＜0．
21．（8 分）2023 年举世瞩目的第十九届亚运会在中国杭州举行，亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”成为热销产品．小李和小张去杭州旅游，他们分别从这三个吉祥物中任意选购一款以作留念．
（1） 小李选购吉祥物“琮琮”的概率是 ． ；

（2） 请用列表法或画树状图法，求小李和小张选购同一款吉祥物的概率．

【解答】解：（1）由题意得，小李选购吉祥物“琮琮”的概率是．故答案为： ．
（2）将“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”分别记为 A，B，C， 画树状图如下：

共有 9 种等可能的结果，其中小李和小张选购同一款吉祥物的结果有 3 种，
∴小李和小张选购同一款吉祥物的概率为 ．
22．（10 分）2022 年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）》，《劳动》成为一门独立的课程．某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园 ABCD（靠墙的一边 BC 不需用篱笆），墙长为 16 米．
（1） 当围成的矩形养殖园面积为 108 平方米时，求养殖园的边 BC 的长；

（2） 求矩形养殖园 ABCD 面积的最大值．

【解答】解：（1）设养殖园的边 BC 的长为 x m，由题意得：x• ＝108，
整理得：x2﹣30x+216＝0， 解得：x1＝12，x2＝18，
∵x≤16，

x2＝18，不符合题意，舍去， 答：BC 的长为 12m．
（2）设矩形养殖园 ABCD 面积为 y m2，
由题意得：y＝x• ，
＝﹣ x2+15x，
当 x＝﹣＝15 时，y 有最大值，最大值为 112.5 m2， 答：矩形养殖园 ABCD 面积的最大值为 112.5m2．
23．（10 分）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，且 CD⊥AB，点 E 为劣弧上一点，且，
DE 与 AC 交于点 F．

（1） 尺规作图：作出点 E，并连接 DE．（保留作图痕迹，不写作法）；

（2） 连接 AE，CE，M 为 CE 延长线上一点，求证：AE 平分∠DEM；

（3） 求证：FD﹣FE＝EC．

【解答】（1）解：如图，点 E 即为所求：

（2） 证明：如图：

设∠EAC＝x，

∵AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB，，

∴ ，
∴∠EAC＝∠CAB＝∠EDC＝x，∠DEC＝2x，

∴∠EAB＝2x，∠DHB＝90°﹣x＝∠AHE，

在△AEH 中，∠AEH＝180°﹣2x﹣（90°﹣x）＝90°﹣x，

∴∠AEM＝180°﹣（90°﹣x）﹣2x＝90°﹣x，

∴∠AEH＝∠AEM，

∴AE 平分∠DEM；

（3） 证明：连接 BD，

由（2）可知 AE＝AH，即△AEH 是等腰三角形，

∵∠EAC＝∠CAB，

∴EF＝HF，

∵ ，

∴∠EDC＝∠CDB，

∵CD⊥AB，

∴DH＝BD，

∵ ，
∴EC＝BD＝DH，

∴FD﹣FH＝BD， 即 FD﹣EF＝EC．
24．（12 分）已知抛物线 G：y＝a（x+1）（x﹣3）与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 P（0，t）（﹣1≤t≤2）为 y 轴上一动点，过点 P 作 y 轴的垂线交抛物线 G 于点 M、N（M 与 N 不重合）．
（1） 求点 C 的纵坐标（用含 a 的式子表示）；
（2） 当 a＜0 时，若，求抛物线 G 的纵坐标在 4a≤x≤4a+5 时的取值范围；
（3） 对于 a（a≠0）的每一个确定的值，MN 有最小值 m，若 m≤2，求 a 的取值范围．

【解答】解：（1）由点 C 是抛物线与 y 轴的交点，把 x＝0 代入 y＝a（x+1）（x﹣3），得 y＝﹣3a，
∴点 C 的纵坐标为﹣3a；

（2）把 y＝0 代入 y＝a（x+1）（x﹣3），解得 x1＝﹣1，x2＝3，
∴点 A 的坐标为（﹣1，0），点 B 的坐标为（3，0），
∵，点 C 的坐标为（0，﹣3a），
∴ ，解得 ，
∵a＜0，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ，且对称轴为直线 x＝1， 当 4a≤x≤4a+5，即﹣3≤x≤2 时，
得当 x＝1 时，函数取最大值，当 x＝﹣3 时，函数取最小值， 得抛物线 G 的纵坐标在﹣3≤x≤2 时的取值范围﹣9≤y≤3；

（3）由抛物线可知顶点坐标为（1，﹣4a），设点 M 的坐标为（xM，﹣1），点 N 的坐标为（xN，﹣1），若 a＞0，由图可得当 t＝﹣1 时，MN 取得最小值 m，

把 y＝﹣1 代入 y＝a（x+1）（x﹣3），整理得 ax2﹣2ax+1﹣3a＝0，得 ， ，
∵M（xM，﹣1），N（xN，﹣1），
∴MN＝|xM﹣xN|，
∴ ，整理得 ，
∵m≤2，
∴ ，解得 ，
∵过点 P 作 y 轴的垂线交抛物线 G 于点 M、N（M 与 N 不重合），
∴﹣4a＜﹣1，解得 ， 得 ；
若 a＜0，由图可得当 t＝2 时，MN 取得最小值 m，

把 y＝2 代入 y＝a（x+1）（x﹣3），整理得 ax2﹣2ax﹣3a﹣2＝0，
得 xM+xN＝2，，
∴ ，整理得 ，
∵m≤2，
∴ ，解得 ，
∵过点 P 作 y 轴的垂线交抛物线 G 于点 M、N（M 与 N 不重合），
∴﹣4a＞2，解得 ， 得 ；
综上所述，a 的取值范围为或 ．
25．（12 分）如图，四边形 ABCD 中，AB＝CD，∠ABC+∠BCD＝270°．

（1） 求∠A+∠D 的度数；

（2） 连接 AC，若∠ACB＝45°，求证：BC2+2AC2＝AD2；
（3） 点 E，F 分别为线段 BC 和 AD 上的点，点 G 是线段 EF 上任意一点，且△GAB 和△GCD 的面积相等，过点 D 作 DH⊥EF，DH 交直线 EF 于点 H，连接 AH．若 AD＝4，求线段 AH 的最小值．

【解答】（1）解：在四边形 ABCD 中，

∠A+∠D+∠ABC+∠BCD＝360°，

∵∠ABC+∠BCD＝270°，

∴∠A+∠D＝90°，

（2） 证明：如图 1，

作 DG⊥AC 交 AC 的延长线于点 G，在 DG 的延长线上截取 DF＝AC，连接 CF，

∴∠DAC+∠ADC+∠CDG＝90°， 由（1）知：∠BAD+∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠BAC+∠ADC＝90°，

∴∠CDF＝∠BAC，

∵AB＝CD，

∴△ABC≌△DCF（SAS），

∴∠F＝∠ACB＝45°，CF＝BC，
∴CG＝FG＝ CF＝ BC，
∵∠AGD＝90°，

∴AG2+DG2＝AD2，
∴（AC+CG）2+（DF﹣FG）2＝AD2，

∴（AC+ ）2+（AC﹣ ）2＝AD2，

∴（AC+ ）2+（AC﹣ ）2＝AD2，

∴BC2+2AC2＝AD2；
（3） 解：如图 2，

延长 AB，DC，交于点 X，

由（1）得：∠BAD+∠CAD＝90°，

∴∠AXD＝90°，

∴点 X 在以 AD 为直径的圆上运动，

∵△GAB 和△GCD 的面积相等，AB＝CD，

∴hAB＝hCD，
∴点 G 在∠AXD 的平分线上，

∵点 G 是 EF 上任意一点，

∴EF 在∠AXD 的角平分线上，

设 EF 交圆 O 于点 W，

∵∠AXE＝∠DXF，

∴W 是半圆 AWD 的中点，
∴DW＝ AD＝2 ，
∵DH⊥EF，

∴∠DHW＝90°，

∴点 H 在以 DW 为半径的圆 I 上运动， 连接 AI，交⊙I 于点 H，则 AH 最小， 作 IV⊥AD 于 V，
∵∠ADW＝45°，DI＝ ，
∴VI＝DV＝1，

∴AV＝AD﹣DV＝3，

∴AI＝，
∴AH 最小＝﹣ ．