数学综合考试大纲.doc

《数学综合》考试大纲
一、《数学分析》考试大纲
教材：《数学分析》（华东师范大学数学系编）（第三版）
一、 课程的性质、目的与要求：
《《数学分析》是数学专业最重要的基础课之一，是数学专业的学生继续学习后继课程的基础，它的理论方法和内容既涉及到几百年来分析数学的严谨性和逻辑性，又与现代数学的各个领域有着密切的联系。 是从事数学理论及其应用工作的必备知识。要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念基本理论，掌握研究分析领域的基本方法，基本上掌握数学分析的论证方法，具备较熟练的演算技能和初步的应用能力及逻辑推理能力。
二、课程内容与考核要求：
第1章 实数集与函数
（1）了解实数域及性质
（2）掌握几种主要不等式及应用。
（3）熟练掌握上确界，下确界定义和确界原理。
（4）牢固掌握函数复合、基本初等涵数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。

例题：P6:例2；P7：例3；P17: 例2；
习题：P9：6，7; P20: 7; P22: 12,13.

第2章 数列极限
（1）熟练掌握数列极限的定义。
（2）掌握收敛数列的若干性质（有界性、保号性、保不等式性质等）。
（3）掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。
例题：P32: 例5；P36: 例2.
习题：P34：4(3) (4)（5），9；P39：3(1)(2), 11; P40总练习题：1，3，7，8.

第3章 函数极限
（1）熟练掌握使用“ε-δ”语言，叙述各类型函数极限。
（2）掌握函数极限的性质。
（3）掌握函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界）。
（4）熟练应用两个重要极限求函数的极限。
（5）牢固掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。
例题：P62: 例1，2.
习题：P55：1, 5; P59: 2; P67总练习题: 2.

第4章 函数连续性
（1）熟练掌握在一点连续的定义及其等价定义。
（2）掌握间断点定以及分类。
（3）了解在区间上连续的定义，能使用左右极限的方法求极限。
（4）掌握在一点连续性质及在区间上连续性质。
（5）了解初等函数的连续性。
例题：P77: 例3，4；P79: 例9. P84：例2.
习题：P81：2，6，17, 19; P85总练习题: 2, 7, 9.

第5章 导数与微分
（1）熟练掌握导数的定义，几何、物理意义。会用导数定义求极限。
（2）牢固记住求导法则、求导公式。
（3）会求各类的导数（复合、参量、对数求导法、高阶导数）。
（4）掌握微分的概念。
（5）深刻理解连续、可导、可微之关系。
例题：P89: 例4，5；P93: 例8. P109：例6.
习题：P94：4，11，12, 14; P117总练习题: 4，7.

第6章 微分中值定理及其应用
（1）牢固掌握微分中值定理及应用（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）。
（2）会用洛比达法则求极限。
（3）会判断函数的单调区间、极值、最值、凹凸性与拐点。

例题：P128: 例4；P130: 例8，P131：例10，12；P154例（不作图）.
习题：P124：4，7, 9，13; P133: 8; P153: 5; 8; P159总练习题: 6,12,13.

第8章 不定积分
（1）掌握原函数与不定积分的概念。
（2）记住基本积分公式。
（3）熟练掌握换元法、分部积分法。
（4）了解有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。
例题：P185: 例6； P187: 例13，14
习题：P188：1（11）（12）（23），2（5）(6).

第9章 定积分
（1）掌握定积分定义、性质。会用定积分定义求数列极限。
（2）了解可积条件，可积类。
（3）深刻理解微积分基本定理，并会熟练应用。
（4）熟练计算定积分。
例题：P216: 例1，例2；P225: 例1，例4.
习题：P207：2; P229: 2,3,5,7; P237总练习题: 2,3.

第10章 定积分的应用
（1）熟练计算各种平面图形面积。
（2）会求旋转体或已知截面面积的体积。
（3）会利用定积分求孤长、曲率、旋转体的侧面积。
（4）会用微元法求解某些物理问题（压力、变力功、静力矩、重心等）。 

例题：P239: 例1；P244: 例2；P249例1，2；P254：例1..
习题：P242：1; P255: 1(1).

下册
第12章 数项级数
（1）掌握数项级数敛散的定义、性质。
（2）熟练掌握正项级数的敛、散判别法。
（3）掌握条件、绝对收敛及交错级数的莱布尼兹判别法。

例题：P2: 例2；P8: 例2；P11例7.
习题：P5：3，4，5; P16: 4，5，6，7；P25总练习题: 2,3.

第13章 函数列与函数项级数
（1）了解函数列与函数项级之间的关系，掌握函数列及函数项级数的一致收敛定义。
（2）掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法。
（3）了解函数列的极限函数，函数项级数的和函数性质。

例题：P30: 例3.
习题：P35：1（1）（2）（4），2，4，8（2）；P41: 7.

第14章 幂级数
（1）熟练幂级数收敛域，收敛半径，及和函数的求法。
（2）了解幂级数的性质。
（3）了解求一般任意阶可微函数的幂级数展式的方法。特别牢固记住六种基本初等函数的马克劳林展式。
（4）会利用间接法求一些初等函数的幂级数展式。

例题：P47: 例4.
习题：P51：2,8；P61总练习题: 3(2)(3).

第16章 多元函数极限与连续
（1）了解平面点集的若干概念。
（2）掌握二元函数二重极限定义、性质。
（3）掌握二次极限，并掌握二重极限与二次极限的关系。
（4）掌握二元连续函数的定义、性质。
（5）了解二元函数关于两个变量全体连续与分别连续的关系。

例题：P95: 例3； P98: 例8.

第17章 多元函数微分学
（1）熟练掌握，可微，偏导的意义。
（2）掌握二元函数可微，偏导，连续以及偏导函数连续，概念之间关系。
（3）会计算各种类型的偏导，全微分。
（4）会求空间曲面的切平面，法线。空间曲线的法平面与切线。
（5）会求二元函数的泰勒展式及无条件极值。

例题：P110: 例5; P115: 例6; P120: 例2.
习题：P117：4,5,6,7,11,12；P61总练习题: 3(2)(3).

第20章 曲线积分
（1）熟练掌握第一型曲线积分的计算方法。
（2）熟练掌握第二型曲线积分的计算方法。
例题：P200: 例2; P205: 例1,2,3; P120: 例2.
习题：P201：1(1)(2)(4)；P208: 1(4)(5).

第20章 重积分
（1）了解二重积分，三重积分定义与性质。
（2）掌握二重积分的换序，变量代换的方法。
（3）了解三重积分的换序，会用球、柱、广义球坐标进行代换计算三重积分。
(4) 会用格林公式计算第二型曲线积分。
（5）重积分应用：求曲面面积，转动惯量，重心坐标等。
例题：P221: 例2，3; P226: 例1,2; P240: 例3，4； P248: 例3.
习题：P231：1(1)(2)；P242: 2(1)(3).
第22章 曲面积分
（1）熟练掌握第一型曲面积分的计算方法。
（2）熟练掌握第二型曲面积分的计算方法。
（3）熟练运用高斯公式计算第二型曲面积分。
例题：P291: 例1.
习题：P295：1.

二、《高等代数》
教材：《高等代数》（北京大学数学系几何与代数教研室）
一、 课程的性质、目的与要求：
《高等代数》是河北师范大学数学系的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强"三基"（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的"解析理论"、与"几何理论"及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力。
二、 课程内容与考核要求：
第一章 多项式
§1 数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域。
§2 数域P上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念。多项式的运算及运算律。
§3 整除的定义,带余除法及整除的性质。
§4 两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。
§5 不可约多项式的定义及性质；因式分解及唯一性定理；多项式的标准分解式。
§6 重因式的定义。
§7 多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。多项式与多项式函数的关系。
§8 代数基本定理。复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。
§9 有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。
例题：P2:例1；P14：例；P32:例1，例2；
习题：P44－46：1，2，3，5，6，7，8，11，12，14，15，19，24，25，27，28.
第二章 行列式
§1 简单介绍n级行列式引入的背景。
§2 排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义；排列的奇偶性与对换的关系。
§3 级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式。
§4 行列式的基本性质。
§5 矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，利用行列式性质计算一些简单行列式。
§6 元素的余子式、代数余子式等概念。行列式按一行（列）展开的公式。"化三角形法"，"递推降阶法"，"数学归纳法"等计算行列式的技巧。
§7 克莱姆(Cramer)法则。

习题：P97－101：8，10，11，13，16，17，18，19.

第三章 线性方程组
§1 一般线性方程组的解,增广矩阵、线性方程组的初等变换等概念及性质，求线性方程组的一般解。
§2 维向量及 维向量相等的定义；向量的运算; 维向量空间的概念。
§3 线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。两个向量组等价的定义及等价性质定理。向量组的极大无关组、秩的定义，求向量组的一个极大无关组。
§4 矩阵的行秩、列秩、秩的定义。矩阵的秩与其子式的关系。
§5 线性方程组有解的判别定理。
§6 齐次线性方程组的基础解系的概念，基础解系的求法、线性方程组解的结构定理。求一般线性方程组的全部解。
习题：P155－158：2，3，4，6，7，8，11，12，13，14，16，17，18，20，21，22，23，24。
第四章 矩阵
§1 矩阵概念产生的背景。
§2 矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其运算规律。
§3 矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。
§4 可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。
§5 分块矩阵的意义，分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。
§6 初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。
§7 分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，求分块矩阵的逆。
习题：P197 －202：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14，16，17，18，19，20，
23，24．
第五章 二次型
§1 二次型和非退化线性替换的概念；二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；矩阵的合同概念及性质。
§2 二次型的标准形，化二次型为标准形的方法（配方法、初等变换法）。
§3 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；惯性定理。
§4 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；正定二次型及半正定二次型的等价条件。
习题：P232－234：1，2，3，4，5，7，9，11，13，14.
第六章 线性空间
§1 映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。
§2 线性空间的定义及性质；判断一个代数系统是否是线性空间。
§3 线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；n维线性空间的概念及性质。
§4 基变换与坐标变换的关系。
§5 线性子空间的定义及判别定理；向量组生成子空间的定义及等价条件。
§6 子空间的交与和的定义及性质；维数公式。
§7 子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。
§8 线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。
习题：P267－270：3，4，5，6，7，8，9，12，13，14，15，16，17，19，20，21。

第七章 线性变换
§1 线性变换的定义及性质。
§2 线性变换的运算及运算规律，线性变换的多项式。
§3 线性变换与矩阵的联系；矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。
§4 矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质；求一个矩阵的特征值和特征向量；相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。
§5 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的充要条件。
§6 线性变换的值域、核、秩、零度等概念；线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。
§7 不变子空间的定义；判定一个子空间是否是A-子空间；不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式。
§8 若尔当标准形的定义。
§9 最小多项式的概念；一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。
习题：P320－325：1，4，5，6，7，8，9，10，12，13，14，15，16，17，19，23.
第八章 λ -矩阵
只介绍一些基本概念,一些简单结论，对定理的证明不作要求。
第九章 欧几里得空间
§1 欧氏空间的定义及性质；向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使学生掌握各种概念之间的联系和区别。
§2 正交向量组、标准正交基的概念，施密特正交化过程，把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。
§3 两个欧氏空间同构的定义。两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。
§4 正交变换的概念及几个等价关系，正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。
§5 两个子空间正交的概念，正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。
§6 任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，求正交阵的方法。用正交变换化实二次型为标准型。
习题：P393－396：1，2，4，5，6，7，8，10，11，17，18.