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第二节 极坐标系
一、选择题
1．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．
答案 B
2．已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于
( )．
A. B.
C. D.
解析 极坐标系中两点A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)的距离|AB|＝
.
答案 C
3．在极坐标系中，已知点P，若P的极角满足－π<θ<π，ρ∈R，则下列点中与点P重合的是 ( )．
A.，，
B.，，
C.，，
D.
答案 D
4．已知点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点坐标是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长
线上去找．描点时，先找到角－的
终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上
找到离极点2个单位的点即是点.
直线θ＝，就是由极角为的那些点的集合．
故M关于直线θ＝的对称点为M′，但是选择支没有这
样的坐标．
又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B.
答案 B
二、填空题
5．在极坐标系中，已知点A，B，则A、B两点间的距离为________．
解析 利用极坐标系中两点间距离公式．
答案
6．已知点M的直角坐标为(－3，－3)，若ρ>0，0≤θ<2π，则点M的极坐标是________．
答案
7．在极坐标系中，已知点P，则点P在－2π≤θ<2π，ρ∈R时的另外三种极坐标形式为__________．
答案 ，，
8．(极坐标意义的考查)极坐标系中，点A的极坐标是，则
(1)点A关于极轴对称的点是________；
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是________；
(3)点A关于直线θ＝的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0，2
π))
解析 如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角
的变化．另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得
到的．
答案 (1) (2) (3)
三、解答题
9．(1)把点M的极坐标化成直角坐标；
(2)把点N的直角坐标(－，－1)化成极坐标．
解 (1)x＝－5cos ＝－，y＝－5sin ＝－.
∴点M的直角坐标是.
(2)ρ＝＝2，tan θ＝＝.
又∵点N在第三象限，ρ>0.∴最小正角θ＝π.
故点N的极坐标是.
10．(极坐标的应用)已知A、B两点的极坐标分别是，，求A、B两点间的距离和△AOB的面积．
解 求两点间的距离可用如下公式：
|AB|＝ ＝＝2.
S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝＝×2×4＝4.
11．已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．
(1)点P是点Q关于极点O的对称点；
(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．
解 (1)由于P、Q关于极点对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋
1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．
(2)由P、Q关于直线θ＝对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，点P的极角θ′
满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，
所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
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