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路面不平度的数值模拟研究

[摘要] 在汽车设计开发过程中，常需要预测、研究汽车零部件在时域内振动响应，于是在系统参数已知的情况下，需要即需有公路路面的随机不平度数据。本文研究了一种公路路面不平度的数值模拟新方法，即直接对已知路面不平度的功率谱密度经过一系列处理获得路面的不平度值，研究表明所得路面不平度数据的功率谱密度与所要求的准确一致，并且这种方法简洁实用、便于操作。
关键词：功率谱密度；路面不平度；傅立叶变换；采样
1、引言
汽车以一定的速度行驶时,路面的随机不平度通过轮胎、悬架等传递到车身上,并通过座椅将振动传递到人体。当把汽车近似为线性系统处理时，得到了路面不平度功率谱以及车辆系统的频响函数，就可以求出各响应物理量的功率谱，从而可分析车辆振动系统参数对各响应物理量的影响和评价平顺性。然而,汽车振动系统中包括许多非线性元件,如轮胎(有可能离地)、渐变刚度悬架、液力减振器、橡胶减振块及悬架的干摩擦阻尼等。为获得更准确的结果,特别是在进行振动幅度较大的汽车可靠性等研究时,需采用非线性振动模型[1]。对于非线性系统,线性系统中熟知的叠加原理不再成立,不能直接采用频域方法进行研究，只能在时域中进行研究。另外，最近主动、半主动控制悬架的研究已经了人们充分重视，控制系统的反馈信号是时域信号，所以在进行控制策略研究时，也只能在时域中进行。对于这两类问题，所需的路面激励是时域或空间域信号，而非频域信号。获得路面随机不平度的方法有两种，一种是试验测试，一种是将路面不平度的功率谱密度变换为空间域激励函数，近年来受到了广泛重视[1-4]。
1984年国际标准化组织在文件ISO/TC108/SC2N67中提出了路面不平度的功率谱密度表达式模型和分等方法。1986年,中国学者在进行了大量研究的基础上,也提出了类似的表达式和分等方法,制订了相应的国家标准,即GB7031-86《车辆振动输入—路面平度表示方法》。对于路面不平度空间域(或时域)内的问题,各国学者进行了大量研究,早期的研究方法有谐波叠加法(或称三角级数合成法),该方法的基本思想是将路面不平度表示成大量具有随机相位的正弦或余弦之和。三角级数合成模型适用于模拟具有任意形状的谱密度的平稳随机过程,而且所得结果的样本是连续的,但该模型涉及大量三角函数运算[2],计算效率低。除了谐波叠加法外，还有积分单位白噪声、滤波器整形白噪声的方法[5]以及利用ARMA模型的方法[2]等。文献[6]利用功率谱密度的逆变换对铁路轨道的随机过程进行了研究。在此文献的基础上，本文对利用GB7031-86建议的公路路面功率谱密度的拟和表达式进行研究，获得分布所需频率范围内的离散功率谱密度数据，通过计算、分析获得路面不平度的离散傅立叶变换，进而通过傅立叶逆变换得到路面不平度值。通过上述整个过程以及算例进行研究，可知这种方法概念清楚、简单易行，并且利用这种方法得到的路面不平度的功率谱密度可以达到与所需的功率谱密度准确一致。

2 由时域信号得到功率谱密度函数
只有了解了如何由时域信号得到其功率谱密度的过程，才能正确地根据所要求的功率谱密度得到时域信号，对于象路面不平度这样的空间域数据也是如此。设是一个各态历经的平稳随机过程，显然它不能满足绝对可积条件：，所以不存在傅立叶变换，为此引入一个辅助函数[7]（截尾函数）：
（1）
显然满足绝对可积条件，存在傅立叶变换，即
（2）
由于是各态历经的平稳随机过程，于是其均方值为

根据（2）式，上式可进一步表达为

（3）
（3）式中，是的共轭复数。
当时，，，所以
（4）
由于自相关函数与功率谱密度函数构成傅立叶变换对，根据均方值与自相关函数之间的关系，可得
（5）
比较以上两式 [8]，得到

上式的定义域为。
只在有非零值，若现在将的点左移构成函数，则有，即
实际上

取，则

可见

所以

显然若仅在[0，T]上取得非零值，则有

以上定义、分析的功率谱密度为双边谱密度，即对的正负值均有定义。在工程实际中，由于无意义，所以常根据的偶函数性质，把负频率范围的谱密度折算到正频率范围内，从而得到单边谱密度，即

所以只需求解的情况，便可得到单边谱密度，于是
（）
实际中，T总是有限的，可表示为
（6）
若实际中对采样的时间间隔、采样点数和总采样时间分别为，则其离散傅立叶变换的相临两点的频率差，即频率分辨率[9]为，则（6）式相应的离散形式为

进一步可简写为
（7）
其中 是的离散傅立叶变换。
以上建立了离散的时间信号与离散形式的功率谱密度之间的关系，按照（7）式便可得到功率谱密度。但是若采样的时间间隔选取的不合理将产生频率混叠效应[9]，采样总时间不合理将影响频率分辨率，从而产生较大误差。若需要的最小频率和最大频率分别为，根据采样定理（Shannon Theorem）可知，若及不发生频率混叠，应该有
（8）
另外，频率间隔，即频率分辨率为
（9）
最小频率应满足
（10）
由（8）、（9）、（10）式可知总采样时间和采样点数、应满足

并且还需要

对具有N个数据的离散的时域信号而言，其离散傅立叶变换也是N个数据，相临两个数据对应的频率差为，或的第个点（）对应的频率为，而不发生频率混叠时的最大频率为，可见的取值应为：=0，1，2，……，。
以上讨论了如何由离散的时域信号得到其功率谱密度的过程，若不是时域信号而是路面不平度值，其功率谱密度的求解方法与上述完全相同，只不过是上述的时间T对应距离L，采样时间间隔对应采样的距离间隔，时间频率应对应空间频率。

3 由路面不平度的功率谱密度得到路面不平度
大量的试验测量表明，路面的不平度是具有零均值的、各态历经的平稳Gauss随机过程[2、5]。并且，通常用功率谱密度来描述路面的统计特性，路面的不平度的垂直位移功率谱密度可用下式来拟合[10]
（11）
式中：─空间频率,它是波长λ的倒数,表示每米长度中包含波的周期数,单位为
─参考空间频率, =0.1
─参考空间频率下的路面功率谱密度,称为路面不平度系数,数据取决于公路的路面等级，单位为
─频率指数,为双对数坐标上斜线的频率,决定路面功率谱密度的频率结构，取=2。
由于汽车隔振系统的作用，使得汽车对某些频率路面激励的位移或加速度响应极小，所以在进行路面不平度计算时，不是所有频率的激励都是需要的。因此，对空间频率进行截取，设需要的频率成分（或称有效频率）的上、下限分别为、，则有[3]
（12）
有效频率上下限和的选取要保证使汽车以常用速度行使时由不平度引起的振动包括汽车系统振动的主要固有频率。假设汽车的速度为（m/s），路面不平度的空间频率为，那么汽车轮胎受到的激振频率为：。若汽车振动的主要固有频率范围为，利用该关系式可以得出路面不平度功率谱密度的有效频率的上下限、分别为

由前述可知，在计算功率谱密度时为避免频率混叠，采样的距离间隔应满足
（13）
另外，为保证有效频率上限的准确，总采样距离L应满足
（14）
由（9）、（13）、（14）式确定、L后，可得到所需的总采样点数和空间频率分辨率分别是、。于是根据（7）式便得到
（=0，1，2，……，） （15）
上式中，。
由（15）式得到的只是离散傅立叶变换的模值，而是复数，若相角为，则有
（=0，1，2，……，） （16）
可以在[0，2π]内随机选取。
由第二部分讨论可知，对具有N个数据的离散时域信号，其离散傅立叶拟变换有N个数据，但在计算其功率谱密度时只需其离散傅立叶变换的前个数据。现在利用（16）式得到了个数据，所以若要通过离散傅立叶拟变换得出离散时域信号，就必须补齐其离散傅立叶变换的后部分数据。如何补齐，需要了解离散信号离散傅立叶变换的特性。
对任意一个具有个数据点的离散信号来说，其离散傅立叶变换是个复数，且 = （=0，1，2，……，），
由上式可以看出：是实数，且=，若离散信号是零均值化的，那么=0；与、与、…、与互成共轭。离散傅立叶变换对应的最大频率为，为不发生频率混叠现象常使，所以有=0。
鉴于离散傅立叶变换数据的上述性质，可以对由（14）式将得到的个离散傅立叶变换值（=0，1，2，……，）进行补齐，得到（=0，1，2，…，，，…，）。对进行离散傅立叶逆变换边可得到路面不平度
（=0，1，2，……，）
由于上述获得路面不平度的过程是计算功率谱密度的逆过程，所以在理论就可以保证所得路面不平度的功率谱密度与所要求的准确一致。

4 算例
某轿车振动系统的固有频率分布在0.7～15Hz，若取时间频率的下限为=0.5 Hz、上限为=30 Hz，车速为36km/h～180km/h（10m/s～50m/s。根据可知研究轿车振动时需要的空间频率的上、下限分别为

可见，只需在0.01～3的空间频率范围内研究路面不平度值，即可覆盖该轿车振动系统的固有频率，从而可较真实地研究汽车的振动情况。
为避免频率混叠，由前述可知应有

在此取、，因此，空间频率间隔。
根据GB/T7031-1986，按照功率谱密度，路面分为A～H八个等级，我国高等级公路基本属于A、B、C三个等级，本文对A、B、C、E四个等级公路的路面不平度进行研究，E级属于较差路面。A、B、C、E四个等级对应的分别为16、64、256、4096。根据的取值和(12)式可得离散的功率谱密度（=0，1，2，……，2048），由下式
=0，1，2，……，
得到路面不平度的离散傅立叶变换模值，然后利用（16）式得出离散傅立叶变换的复数形式，再离散傅立叶变换的性质补齐后部分数据，最后对这些数据进行离散傅立叶逆变换
（=0，1，2，……，）
便得到路面不平度数据。
图1、2、3、4分别为A、B、C、E四个等级公路的路面不平度曲线(该图的横坐标是路程，单位：米；纵坐标是路面不平度，单位：毫米；图5、6、7、8分别为利用得到的路面不平度求出的功率谱密度与由（12）式得出的功率谱密度比较图(该图的横坐标是空间频率，单位：米-1；纵坐标是功率谱密度，单位：毫米2/米-1,并且横、纵坐标均为对数表示)。由于路面不平度是由所要求的功率谱密度经过以上严密的分析、计算过程得出的，所用理论分析已经保证各图上的两组数据应完全一致，从图5、6、7、8可以看出路面不平度的率谱密度与所需的的功率谱密度完全一致。

图1 A级路面的不平度曲线

图21 B级路面的不平度曲线

图3 C级路面的不平度曲线

图4 E级路面的不平度曲线

图5 A级路面功率谱密度比较图

图6 B级路面功率谱密度比较图

图7 C级路面功率谱密度比较图

图8 E级路面功率谱密度比较图
5 结论
本文研究了一种对公路路面不平度进行计算机模拟的新方法。利用该方法将公路路面功率谱密度进行合理的离散化得到功率谱密度的数据，然后对这些数据进行计算得到路面不平度的离散傅立叶变换，对离散傅立叶变换的数据按照一定规则补齐后再进行傅立叶逆变换，便得到路面不平度数据，它们功率谱密度与所要求的准确一致。使用这种模拟路面不平度的方法可以处理公路路面功率谱密度的拟和表达式，从而得到所需等级路面的不平度值，也可处理由所测路面的功率谱密度得到路面的不平度值，并且该方法简单易行、便于操作、结果准确。这种模拟路面不平度的方法为汽车振动、控制原理、疲劳耐久性等研究带来很大方便。

参考文献
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