数学：函数y=ax与y=logax图象交点个数探究.doc

探究函数与图象的交点个数问题
函数与 互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于的取值．

①
②

探究 由， 得
（1）当时
①+②，得. 令 则,即.
∵, ∴为增函数, ∴. 两边取自然对数,得,即.
令. 求导,得． 令,得．
当变化时，的变化情况如下表：

—
0
+

↘
极小值
↗
由上表可知,当时,．
∵只有一个极值,∴ .
(ⅰ) 当，即时，方程无解，此时函数与的图象没有交点；
(ⅱ) 当，即时，方程有一解，此时函数与的图象有一个交点；
(ⅲ) 当，即时，由于在内连续，且当时，；当时，，∴方程有两解，此时函数与的图象有两个交点．
（2）当时
由①、②，消去，得 ③
由于，且，故,即．
对③式两边取自然对数，得，即．
两边取自然对数，得．
令．　求导，得．
由，得．　令．则．
由，得．　当时，；当时，．
∴当时，．
(ⅰ) 当，即时，恒成立．∴，∵，，∴，即，当且仅当，且时取“＝”号．　∴在内是减函数． 又∵当时，；当时，，且在内连续，∴方程恰有一解，此时函数与的图象有一个交点．
(ⅱ) 当，即时，∵，且在内连续，∴存在，使得，∴.
当变化时，的变化情况如下表：

－
+
－

↘
↗
↘
由上表可知，在内是减函数，在内是增函数，在内是减函数.
下面证明,,.
,.　令,. 则当时, .
∴在内是增函数,　　又∵在上连续, 　　∴当时,
,即.
,.　　令,
.易证它为减函数, ∴当时,,即.
∵, 　∴,　又∵当时，；　当时，
，且在内连续，结合的单调性,　∴在区间,,
内各有一个解. ∴此时函数与的图象有三个交点．
综上所述, 函数与图象的交点有如下情况：
当时，没有交点；
当时，有一个交点；
当时，有两个交点；
当时,有一个交点；
当时，有三个交点．