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第八章 多元函数微分法及其应用
第五讲 多元函数求偏导习题课
教学目的 使学生通过习题课的讲解与自己练习后，能较熟练的掌握各类多元函数的求导方法，提高运算能力，特别是抽象函数求偏导的运算能力．
教学重点 1．使学生能熟练的掌握各类给定的具体的多元复合函数与隐函数的一阶及二阶偏导数的求导运算．
2．使学生掌握抽象函数形式的多元复合函数与由一个方程式给出的隐函数的求偏导数运算．
数学难点 没有给出具体式子的抽象的多元函数和隐函数等的求偏导数的运算．
教学时数 ２学时．
教学过程

多元函数的极限
设函数的定义域为，是的聚点，当点以任何方式趋向，即当时总有（这里的为一个常数）,则就称当时二元函数的极限是A，这里要请大家深刻的理解时必须以任何方式进行．若用不同方式时所得的极限值不相等,则可确定极限不存在．
1. 证明极限不存在．
分析 要正明函数当时极限不存在，一般常用的方法证明当路径不同时，极限不同．
证明 考虑点沿曲线趋向于时，所得的极限为，这个数依赖于m，因此函数的极限不存在．
练习 证明当时极限不存在．
分析 只要表明当点沿不同途径趋向于时所得极限各异即可．
证明：让点沿直线趋向于时
．
显然，极限不存在．
多元函数的偏导数和全微分
1. 设求一阶及二阶偏导数．
解 ，，，
，，
．
例2 设求函数一阶及二阶偏函数.
解 ，，，
，，．
练习1 设求一阶偏导数及.
解 ，，
，
．
练习2 设，验证
解1 ，，
，，
．
解2 ，．
二阶混合偏导数是二元初等函数,在定义区域内连续
必有．
练习3 设求．
解 ，，
，
，
，
．
练习4 求函数的全微分．
提示 ，
．
解 ，
，
全微分，即
．
复合函数的偏导数
1． 这种情况叫做：复合函数的中间变量均为一元函数的情况．的结构树图形为.
例1 设而都是可微函数求
分析 所以u对t的导数是全导数
，
即:．
2． 均为可微函数，则
，
这种情况叫复合函数的中间变量均为多元函数
．
复合函数的中间变量与自变量个数可以有任意有限个，如有m个中间变量，n个自变量（m,n都是正整数）则可求出n个偏导数,且每个偏导数有项.例如
3. ，
则
，
，
．
4. 若，而，则
，
则 ,.
例2 设其中R 与v为常数求．
分析 令则是三个中间变量与一个自变量t的复合函数，其复合的结构树为:.
解 ，
由于f是抽象函数故也是已知函数．
例3 设求．
解 记则为三个中间变量和二个自变量的复合函数，其复合结构树的图为:.
于是,．
同理：.
例4 设且，其中f具有连续的二阶偏导数，求．
解 z是三个中间变量，两个自变量的复合函数，其中x与y既是中间变量又是自变量，具有双重身份,z的结构树形图为.
因此有

=
=，
，
．
例5 设, 求．
解 令是一个中间变量是三个自变量的复合函数，的结构树的树形图为:
于是 ，
，
．
练习1 ，求．
解 ，
同理, ．
练习2 设具有连续的二阶偏导数，求
解 记则复合函数的结构树形图.
所以
，

．
练习3 设求．
解 记则复合函数结构树形图
，

．
练习4 求．
解 这种类型的函数求偏导数，不宜一开始就设而应先用导数的乘法求导，然后设，这样较简便

，
再求时可设，则
=
所以 ．
类似可得 ．
隐函数的求导
1． 一个方程的情况
(1) 由方程确定为x的隐函数，则．
(2) 由方程确定是的隐函数，则．
练习1 设求．
解 将方程写为，记，
，
．

．
练习2 设方程组确定了，求．
解 对第一个方程两边对x求导，得：，对第二个方程两边对x求导，得
，于是得到一个关于的线性方程组
，
在的条件下,可得
,
．
例1 （同济第五版下册P38）设而t由方程所确定的的函数，其中都是具有一阶连续偏导数，证明
．
证明 1.由方程组可确定两个一元函数和,现对方程组等式两边对求导，可得
，
整理后得
，
在行列式的条件下，得
，
证毕．
证明2,另解用微分形式不变性做，解题如下
分别对函数两边求微分,可得
，
，
上面两式各乘以消去含的项，可得
，
，
这两式相加
，
．
这两个不同的证法显然后面一个证法较为简明一些,请同学自己好好的对比并小结一下.