勾股定理难题+提高.doc

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一、选择题
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3
2．给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a、b、c满足，则∠C=90°；③△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；④△ABC中，若 a：b：c=1：2： ，则这个三角形是直角三角形．其中，假命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，则线段A′B与线段AC的关系是（ ）

A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直
4．下面说法正确的是个数有（ ）
①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形；
②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；
③若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；
④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；
⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；
⑥在ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形。
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
5．如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6，M为BC的中点，MN⊥AC于N点，则MN=（ ）

A． B． C． D．
6．下列各组数中，是勾股数的是(　　)
A．14，36，39
B．8，24，25
C．8，15，17
D．10，20，26
7．（2013贵州安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（　　）

A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
8．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（　　）

A． B． C．2 D．

第II卷（非选择题）
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二、新添加的题型

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三、解答题
9．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．
（1）如图①，过点A在△ABC外作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．①判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系，并证明；

②若AM=，BM=，AB=，试利用图①验证勾股定理=；
（2）如图②，过点A在△ABC内作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系？（直接写出答案）

10．（6分）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合， 折痕为DE．

（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为 ；
（2）如果∠CAD:∠BAD=4:7，可求得∠B的度数为 ；
操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，
使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．
11．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝12cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

12．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB，BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条路使学校到公路距离最短，请你帮助学校设计一种方案，并求出所修路的长．

13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，求Rt△ABC中斜边AB上的高CD．

14．阅读理解题： 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=BC．
求证：∠BAC=90°．

15．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b，斜边长为c)和一个正方形(边长为c)．请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．

(1)画出拼成的这个图形的示意图；
(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理．
16．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．

17．（10分）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10， BC边上的中线AD＝12．

（1）AD平分∠BAC吗？请说明理由．
（2）求：△ABC的面积．

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四、填空题
18．直角三角形两边长分别为3厘米、4厘米，则第三边的长为 。
19．一个直角三角形的两边长分别为9和40，则第三边长的平方是 ．
20．若一个直角三角形的两边的长分别为、，且满足，则第三边的长为___________．
21．已知 ,则由此为三边的三角形是 三角形
22．△ABC的三边长分别为m2－1，2m，m2＋1，则最大角为________．
23．在长方形纸片ABCD中，AD＝3cm，AB＝9cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝ ．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是 ．

25．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，得；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2012＝________．

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五、计算题

试卷第5页，总6页
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参考答案
1．B．
【解析】
试题分析：A．42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B．32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
C．22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D．12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选B．
考点：勾股数．
2．B
【解析】
试题分析：命题①中若4是直角边，则第三边长为5，若4为斜边，则第三边长为，故错误；命题②中应该是∠B=90°，故错误；命题③、④均正确；故假命题有2个；
故选B.
考点：真命题与假命题.
3．D
【解析】
试题分析：先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B与线段AC的关系：
如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，与线段AC交于点O．
∵A′O=OB=，AO=OC=2，
∴线段A′B与线段AC互相平分，
又∵∠AOA′=45°+45°=90°，
∴A′B⊥AC，
∴线段A′B与线段AC互相垂直平分．
故选D．

考点：1.网格问题；2.平移的性质；3.勾股定理.
4．D.
【解析】
试题分析：①∵三角形三个内角的比是1：2：3，
∴设三角形的三个内角分别为x，2x，3x，
∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，
∴3x=3×30°=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；
②∵三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°，
∴若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形，故本小题正确；
③∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，
∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正确；
④∵∠A=∠B=∠C，
∴设∠A=∠B=x，则∠C=2x，
∴x+x+2x=180°，解得x=45°，
∴2x=2×45°=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；
⑤∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，
∴三角形一个内角也等于另外两个内角的和，
∴这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，
∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确；
⑥∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，
由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，
∴有一个内角一定是90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确．
故选D．
考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．
5．C．
【解析】
试题分析：连接AM，

∵AB=AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM，BM=CM，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=CM=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴根据勾股定理得：AM=，
又S△AMC=MN•AC=AM•MC，
∴MN=．
故选C．
考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质．
6．C
【解析】满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c是勾股数，因为82＋152＝289，172＝289，所以82＋152＝172，即8、15、17为勾股数．同理可判断其余三组数均不是勾股数．
7．B
【解析】如图，设大树高为AB＝10米，小树高为CD＝4米，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形．连接AC，则EB＝CD＝4米，EC＝8米，AE＝AB－EB＝10－4＝6（米）．
在Rt△AEC中，米．

8．A．
【解析】
试题分析：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．

设AB=AD=x．
又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形形，
∴AD=EF=x．
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，
∴BE=AB=x，
∴DF=AE==x，
在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=x．
又BC=6，
∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，
解得 x=2
∴△ACD的面积是：AD•DF=x×x=×22=．
故选A．
考点：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形．
9．（1）证明见解析；（2）MN=BM-CN.
【解析】
试题分析：（1）①利用已知得出∠MAB=∠ACN，进而得出△MAB≌△NCA，进而得出BM=AN，AM=CN，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系；
②利用S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA=ab+c2+ab，S梯形MBCN=（BM+CN）×MN=（a+b）2，进而得出答案；
（2）利用已知得出∠MAB=∠ACN，进而得出△MAB≌△NCA，进而得出BM=AN，AM=CN，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系．
试题解析：（1）①MN=BM+CN；
理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，
∴∠MAB=∠ACN，
在△MAB和△NCA中
，
∴△MAB≌△NCA（AAS），
∴BM=AN，AM=CN，
∴MN=AM+AN=BM+CN；
②由①知△MAB≌△NCA，
∴CN=AM=a，AN=BM=b，AC=BC=c，
∴MN=a+b，
∵S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA=ab+c2+ab，S梯形MBCN=（BM+CN）×MN=（a+b）2，
∴ab+c2+ab=（a+b）2，
∴a2+b2=c2；
（2）MN=BM-CN；
理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，
∴∠MAB=∠ACN，
在△MAB和△NCA中
，
∴△MAB≌△NCA（AAS），
∴BM=AN，AM=CN，
∴MN=AN-AM=BM-CN．
考点：全等三角形的判定与性质．
10．操作一（1） 14cm （2） 35° 操作二 CD=4．5
【解析】
试题分析：操作一利用对称找准相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案；
操作二 利用折叠找着AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，设CD=x，表示出BD，AE，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得答案
试题解析：操作一（1） 14cm （2） 35°
操作二 由折叠知：AE=AC=9，DE⊥AB，设CD=DE=X，
则BD=12-X，
∵=81+144=225，
∴AB=15
∴BE=15-9=6，
又，
∴=+36，
X=，
即CD=4．5cm
考点：轴对称，线段的垂直平分线
11．CD的长为cm．
【解析】
试题分析：利用翻折变换的性质得出DE=CD，AC=AE=5cm，∠DEB=90°，进而利用勾股定理得出x的值．
试题解析：∵有一块直角三角形纸片两直角边AC=5cm，BC=12cm，
∴AB=13cm，
∵将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，
∴DE=CD，AC=AE=5cm，∠DEB=90°，
设CD=xcm，则BD=（12﹣x）cm，
故DE2+BE2=BD2，
即x2+（13﹣5）2=（12﹣x）2，
解得：x=，
则CD的长为cm．
考点：勾股定理
12．4.8km．
【解析】解：过B作AC的垂线，垂足为D，线段BD就是要修的路．
在△ABC中，∵AB2＋BC2＝82＋62＝100，而AC2＝102＝100，
∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°．由，
得（km），
即所修路长为4.8km．
13．
【解析】解：在Rt△ABC中，．
由三角形的面积公式得，
∴，
即斜边AB上的高CD是．
14．（1）如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形.（2）。
【解析】
试题分析：根据题目的已知条件和结论写出判断方法即可．
试题解析：（1）如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（2）因为这个三角形的一条边上的中线长是这条边长的一半，所以这个三角形是直角三角形。
设这个直角三角形的两条直角边的长分别为a、b，则a+b=1+
根据勾股定理，得
a2+b2=22
a2+b2=4
因为（a+b）2= a2+b2+2ab
即（1+）2=4+2ab
所以

所以这个三角形的面积为
考点：直角三角形斜边上的中线．
15．(1)(答案不唯一)如图．

(2)验证：∵大正方形的面积可表示为(a＋b)2，
又大正方形的面积也可表示为，
∴，
即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab．
∴a2＋b2＝c2．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
【解析】(1)(答案不唯一)如图．

(2)验证：∵大正方形的面积可表示为(a＋b)2，
又大正方形的面积也可表示为，
∴，
即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab．
∴a2＋b2＝c2．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
16．（1）证明见解析；
（2）砌墙砖块的厚度a为5cm．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可知AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，从而得到结论；
（2）根据题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，由勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．
试题解析：（1）根据题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=3a，
在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，
∴（4a）2+（3a）2=252，
∵a＞0，
解得a=5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
考点1.：全等三角形的应用2.勾股定理的应用．
17．（1）平分，理由详见解析；（2）60
【解析】
试题分析：（1）AD平分∠BAC，
理由为：
∵BC边上的中线AD
∴BD=5
∵在△ABC中，AB=13，AD=12，BD=5，
∴252=242+72，即：AB2=AD2+BD2
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC
∴AB=AC
∴AD平分∠BAC
⑵由（1）得AB=AC，AD垂直平分BC
∴S△ABC==60．
考点:1.等腰三角形的性质；2.三角形面积的计算方法
18．5cm或cm．
【解析】
试题分析：题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．
试题解析：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm；
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为cm；
故直角三角形的第三边应该为5cm或cm．
考点：勾股定理．
19．1681或1519．
【解析】设第三边为x
（1）若40是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：92+402=x2，所以x2=1681．
（2）若40是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：92+x2=402，所以x2=1519．
所以第三边的长为1681或1519．
20．5或．
【解析】
试题分析：∵，∴m﹣3=0，n﹣4=0，∴m=3，n=4，
即这个直角三角形的两边长分别为3和4．
①当4是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x=；
②当4是此直角三角形的直角边时，设斜边为x，则由勾股定理得到：x=．
故答案为：或5．
考点：1．勾股定理；2．非负数的性质；3．分类讨论．
21． 直角
【解析】
试题分析：∵，∴，∴，又∵，所以以为三边的三角形是直角三角形
考点：1.非负数的性质；2.勾股定理的逆定理.
22．90°
【解析】（m2－1）2＋（2m）2＝（m2＋1）2．由勾股定理的逆定理知，边长为m2＋1的边所对角最大，是90°．
23．5
【解析】
试题分析：根据题意结合图形得到DE=BE，设DE=BE=x，∵AB=9，∴AE=9-x；根据勾股定理：，∴，解得：x=5（cm）
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 勾股定理．
24．3≤x≤4
【解析】
试题分析：过BP的中点O，以BP为直径作圆，连接OQ，当OQ⊥AC时，OQ最短，即BP最短，
∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△ABC∽△OQC，∴ ∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∵BP=x，∴OQ=x，CO=4－x，∴解得：x=3，当P与C重合时，BP=4，即x的取值范围为：3≤x≤4.
考点：直线与圆的位置关系、三角形相似的判定与性质.
25．
【解析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3，OP4的长度找到规律，进而求出OP22012的长．
由勾股定理得，
∵，，，，
依此类推可得，
∴．
答案第9页，总10页