2021-2022学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2021-2022 学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 10 小题，满分 30 分）
1．（3 分）下列四个图形中，是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

第 9页（共 33页）

2．（3 分）下面四组线段中，成比例的是( )

A． a = 1 ， b = 2 ， c = 2 ， d = 4


B． a = 2 ， b = 3 ， c = 4 ， d = 5

C． a = 4 ， b = 6 ， c = 8 ， d = 10
D． a =
2,b =
3, c = 3, d =

3
3．（3 分）下列事件中，随机事件的个数为( )

①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现 2 点向上；②13 个人中至少有两个人生肖相同；③ 某人买彩票中奖；④任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．（3 分）已知eO 的半径为 6， A 为线段 PO 的中点，当OP = 12 时，点 A 与eO 的位置关系为( )
A．点 A 在eO 上 B．点 A 在eO 外
C．点 A 在eO 内 D．点 A 与eO 位置不确定
5．（3 分）如图，eO 的直径CD 垂直弦 AB 于点 E ，且CE = 4 ，OB = 8 ，则 AB 的长为( )

3
3
A． 4 B．4 C．6 D． 8

6．（3 分）若 A(-4, y ) ，B(-3, y ) ，C(1, y ) 为二次函数 y = x2 + 4x -1的图象上的三点，则 y ，
1 2 3 1

y2 ， y3 的大小关系是( )

A. y1 < y2 < y3
B. y2 < y1 < y3
C. y3 < y1 < y2
D. y1 < y3 < y2

7．（3 分）根据下列表格对应值：

x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
ax2 + bx + c
-0.12
-0.03
-0.01
0.06
0.18
判断关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 的一个解 x 的范围是( )

A． 2.1 < x < 2.2
B． 2.2 < x < 2.3
C． 2.3 < x < 2.4
D． 2.4 < x < 2.5

8．（3 分）如图，正比例函数 y = k x 与反比例函数 y = k2 的图象相交于 A 、 B 两点，其中

1 1 2 x

点 A 的横坐标为 1．当 y1 < y2 时， x 的取值范围是( )

A． x < -1 或 x > 1
C． -1 < x < 0 或0 < x < 1
B． -1 < x < 0 或 x > 1
D． x < -1 或0 < x < 1

9．（3 分）如图，在钝角三角形 ABC 中， AB = 6cm ， AC = 12cm ，动点 D 从点 A 出发沿 AB以1cm / s 的速度向点 B 运动，同时动点 E 从点 C 出发沿CA 以 2cm / s 的速度向点 A 运动， 当以 A ， D ， E 为顶点的三角形与DABC 相似时，运动时间是( )
A． 3s 或 4.8s B． 3s C． 4.5s D． 4.5s 或 4.8s

10．（3 分）如图，F 为正方形 ABCD 的边CD 上一动点，AB = 2 ，连接 BF ，过 A 作 AH ^ BF
交 BC 于 H ，交 BF 于G ，连接CG ，当CG 为最小值时， CH 的长为( )

2
2 2
5
A. B．
C． 3 - D． 3 +

5
5
二、选择题（每小题 3 分，共 6 小题，满分 18 分）

11．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx2 + 4x - 1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是 ．

12．（3 分）函数 y = (m -1)x|m|-2 是反比例函数，则 m 的值为 ．

13．（3 分）如图所示，四边形 ABCD 内接于eO ， E 为 AB 延长线上一点， ÐAOC = 100° ，则ÐCBE = ．
14．（3 分）如图所示，将DABC 绕点 A 顺时针旋转 n 度到DADE 的位置， D 在 BC 边上，若
ÐB = 60° ，则 n = 度．
15．（3 分）飞机着陆后滑行的距离 s （单位： m) 关于滑行的时间t （单位： s) 的函数解析式是 s = 60t - 1.5t 2 ，飞机着陆后滑行 米才能停下来．

16．（3 分）抛物线 y = ax2 + bx + c 的对称轴是直线 x = -1 ，且过点(1, 0) ．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：① ab > 0 且c < 0 ；② 4a - 2b + c > 0 ；③ 8a + c > 0 ；
④ c = 3a - 3b ；⑤直线 y = 2x + 2 与抛物线 y = ax2 + bx + c 两个交点的横坐标分别为 x ， x ，
1 2

则 x1 + x2 + x1 x2 = -5 ．其中结论正确的是 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8 分）解方程： x2 = 2x ．

18．（8 分）如图，点C 、D 在线段 AB 上，DPCD 是等边三角形，且DACP∽DPDB ，求ÐAPB

的度数．

19．（10 分）如图，点O ， B 的坐标分别是(0, 0) ， (3, 0) ．将DOAB 绕点O 逆时针旋转90° ，得到△ OA1B1 ．
（1） 画出平面直角坐标系和三角形△ OA1B1 ；

（2） 求旋转过程中点 B 走过的路径的长．

20．（10 分）二次函数图象上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如表：

x
¼
-4
-3
-2
-1
0
1
2
¼
y
¼
5
0
-3
-4
-3
0
5
¼
（1） 求这个二次函数的表达式；

（2） 在图中画出这个二次函数的图象；
（3） 当函数值 y < 0 时，对应的 x 的取值范围是 ．

步数
频数
频率
0„x < 4000
8
0.16
4000„x < 8000
15
0.3
8000„x < 12000
12
a
12000„x < 16000
b
0.2
16000„x < 20000
3
0.06
20000„x < 24000
2
0.04

21．（12 分）随着“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了我区 50 名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）:

请根据以上信息，解答下列问题：

（1） 写出 a ， b 的值并补全频数分布直方图；
（2） 我市约有 5000 名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过 12000 步（包含 12000

步）的教师有多少名？

（3） 若在 50 名被调查的教师中，选取日行走步数超过 16000 步（包含 16000 步）的两名教

师与大家分享心得，用树形图或列表法求被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000

步）以上的概率．

22．（12 分）疫情肆虐，万众一心．由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了 1 条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产 300 万个，
第三天生产 432 万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：

（1） 每天增长的百分率是多少？

（2） 经调查发现，一条生产线最大产能是 900 万个/ 天，如果每增加 1 条生产线，每条生产线的最大产能将减少 30 万个/ 天．现该厂要保证每天生产口罩 3900 万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

23．（12 分）如图，一次函数 y = -x + b 与反比例函数 y = - k (x > 0) 的图象交于点 A(m, 4) 和
x
B(4,1) ．

（1） 求b 、 k 、 m 的值；
（2） 根据图象直接写出-x + b < - k (x > 0) 的解集；
x
（3） 点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PD ^ x 轴于点 D ，连接OP ，若DPOD 的面积为 S ，求 S 的最大值和最小值．

24．（15 分）如图，四边形 ABCD 内接于eO ，AC 为直径，AC 和 BD 交于点 E ，AB = BC ．
（1） 求ÐADB 的度数；
（2） 过 B 作 AD 的平行线，交 AC 于 F ，试判断线段 EA ， CF ， EF 之间满足的等量关系， 并说明理由；
（3） 在（2）条件下过 E ， F 分别作 AB ， BC 的垂线，垂足分别为G ， H ，连接GH ，交

BO 于 M ，若 AG = 3 ， S四边形AGMO : S四边形CHMO = 8 : 9 ，求eO 的半径．

25．（15 分）已知抛物线 y = ax2 + bx + c(a > 0) 与 x 轴交于 A(-1, 0) 、 B 两点，与 y 轴交于点

C(0, -3a) ．
（1） 求点 B 的坐标；
（2） 若 a = 1 ， 点 M 和点 N 在抛物线上，且 M 的横坐标为 4， 点 N 在第二象限，若
2
ÐAMN = 2ÐOAM ，求点 N 的坐标；
（3）P 是第四象限内抛物线上的一个动点，直线 PA 、PB 分别交 y 轴于点 M 、N ，判断CM 与CN 的数量关系，并说明理由．

2021-2022 学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题 3 分，共 10 小题，满分 30 分）
1．（3 分）下列四个图形中，是中心对称图形的是( )

A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．

【解答】解： A 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； C 、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； D 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选： C ．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图形重合．

第 33页（共 33页）

2．（3 分）下面四组线段中，成比例的是( )

A． a = 1 ， b = 2 ， c = 2 ， d = 4

B． a = 2 ， b = 3 ， c = 4 ， d = 5

C． a = 4 ， b = 6 ， c = 8 ， d = 10
D． a =
2,b =
3, c = 3, d =

3
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对 选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解： A 、1´ 4 = 2 ´ 2 ，故选项符合题意；
B 、 2 ´ 5 ¹ 3 ´ 4 ，故选项不符合题意；
C 、 4 ´10 ¹ 6 ´ 8 ，故选项不符合题意；

3
C 、 2 ´ 3 ¹ 3 ´ ，故选项不符合题意；

故选： A ．

【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大 的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
3．（3 分）下列事件中，随机事件的个数为( )

①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现 2 点向上；②13 个人中至少有两个人生肖相同；③ 某人买彩票中奖；④任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数．
A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件 称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】解：①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现 2 点向上，是随机事件；

②13 个人中至少有两个人生肖相同，是必然事件；

③某人买彩票中奖，是随机事件；

④任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数，是随机事件． 故选： C ．
【点评】本题主要考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随 机事件．
4．（3 分）已知eO 的半径为 6， A 为线段 PO 的中点，当OP = 12 时，点 A 与eO 的位置关
系为( )
A．点 A 在eO 上 B．点 A 在eO 外
C．点 A 在eO 内 D．点 A 与eO 位置不确定
【分析】利用OP = 12 ， A 为线段 PO 的中点，则OA = 6 ，因而点 A 在eO 上．
【解答】解：Q A 为线段 PO 的中点， OP = 12 ，
\OA = 1 OP = 6 ，
2
\OA 与圆的半径相等，
\点 A 在eO 上． 故选： A ．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为 d ，则当 d = R 时， 点在圆上；当 d > R 时，点在圆外；当 d < R 时，点在圆内．
5．（3 分）如图，eO 的直径CD 垂直弦 AB 于点 E ，且CE = 4 ，OB = 8 ，则 AB 的长为( )

3
3
A． 4 B．4 C．6 D． 8

【分析】根据勾股定理求出 BE ，再根据垂径定理解答即可．
【解答】解：QOC = OB = 8 ， CE = 4 ，
82 - 42
3
\OE = OC - CE = 8 - 4 = 4 ，

OB2 - OE2
在RtDOBE 中， BE =
QCD ^ AB ，
= = 4 ，

3
\ AB = 2BE = 8 ，

故选： D ．

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．

6．（3 分）若 A(-4, y ) ，B(-3, y ) ，C(1, y ) 为二次函数 y = x2 + 4x -1的图象上的三点，则 y ，
1 2 3 1

y2 ， y3 的大小关系是( )

A. y1 < y2 < y3
B. y2 < y1 < y3
C. y3 < y1 < y2
D. y1 < y3 < y2

【分析】分别计算出自变量为-4 ， -3 和 1 所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．

【解答】解：Q当 x = -4 时， y1 = x + 4x -1 = 16 -16 -1 = -1；
2

2
当 x = -3 时， y = x2 + 4x -1 = 9 -12 -1 = -4 ；

当 x = 1 时， y3 = x + 4x -1 = 1 + 4 -1 = 4 ；
2

\ y2 < y1 < y3 ， 故选： B ．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

7．（3 分）根据下列表格对应值：

x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

ax2 + bx + c
-0.12
-0.03
-0.01
0.06
0.18
判断关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 的一个解 x 的范围是( )

A． 2.1 < x < 2.2
B． 2.2 < x < 2.3
C． 2.3 < x < 2.4
D． 2.4 < x < 2.5

【分析】从表格中的数据可以看出，当 x = 2.3 时， y = -0.01 ；当 x = 2.4 时， y = 0.06 ，函
数值由负数变为正数，此过程中存在方程 ax2 + bx + c = 0 的一个根．
【解答】解：Q当 x = 2.3 时， y = -0.01 ；当 x = 2.4 时， y = 0.06 ，
\关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 的一个解 x 的范围是 2.3 < x < 2.4 ， 故选： C ．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似值，对题目的正确估算是建立在对二次函数图 象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
8．（3 分）如图，正比例函数 y = k x 与反比例函数 y = k2 的图象相交于 A 、 B 两点，其中

1 1 2 x

点 A 的横坐标为 1．当 y1 < y2 时， x 的取值范围是( )

A． x < -1 或 x > 1
C． -1 < x < 0 或0 < x < 1
B． -1 < x < 0 或 x > 1
D． x < -1 或0 < x < 1

【分析】直接利用正比例函数的性质得出 B 点横坐标，再利用函数图象得出 x 的取值范围．
【解答】解：Q正比例函 y = k x 与反比例函数 y = k2 的图象相交于 A 、B 两点，其中点 A

1 1 2 x
的横坐标为 1．

\ B 点的横坐标为： -1 ，

故当 y1 < y2 时， x 的取值范围是： x < -1 或0 < x < 1．

故选： D ．

【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出 B 点横坐标是解题关键．

9．（3 分）如图，在钝角三角形 ABC 中， AB = 6cm ， AC = 12cm ，动点 D 从点 A 出发沿 AB以1cm / s 的速度向点 B 运动，同时动点 E 从点 C 出发沿CA 以 2cm / s 的速度向点 A 运动， 当以 A ， D ， E 为顶点的三角形与DABC 相似时，运动时间是( )

A． 3s 或 4.8s B． 3s C． 4.5s D． 4.5s 或 4.8s

【分析】如果以点 A 、 D 、 E 为顶点的三角形与DABC 相似，由于 A 与 A 对应，那么分两种情况：① D 与 B 对应；② D 与C 对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【解答】解：如果两点同时运动，设运动t 秒时，以点 A 、D 、 E 为顶点的三角形与DABC

相似，
则 AD = t(cm) ， CE = 2t(cm) ， AE = AC - CE = (12 - 2t )(cm) ，
①当 D 与 B 对应时，有DADE∽DABC ，
\ AD : AB = AE : AC ，
\t : 6 = (12 - 2t) :12 ，
\t = 3 ；
②当 D 与C 对应时，有DADE∽DACB ，
\ AD : AC = AE : AB ，
\t :12 = (12 - 2t) : 6 ，
\t = 4.8 ，
\当以点 A 、 D 、 E 为顶点的三角形与DABC 相似时，运动的时间是 3 秒或 4.8 秒， 故选： A ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 10．（3 分）如图，F 为正方形 ABCD 的边CD 上一动点，AB = 2 ，连接 BF ，过 A 作 AH ^ BF交 BC 于 H ，交 BF 于G ，连接CG ，当CG 为最小值时， CH 的长为( )

2
A． B．
C． 3 - D． 3 +

2 2
5
5
5
【分析】如图 1 中，取 AB 的中点O ，连接OG ，OC ．首先证明O ，G ，C 共线时，CG 的值最小（如图 2 中），证明CF = CG = BH 即可解决问题（图 2 中）．
【解答】解：如图 1 中，取 AB 的中点O ，连接OG ， OC ．

Q四边形 ABCD 是正方形，
\ÐABC = 90° ，
Q AB = 2 ，
\OB = OA = 1 ，

OB2 + BC2
12 + 22
5
\OC = = = ，
Q AH ^ BF ，
\ÐAGB = 90° ，
Q AO = OB ，
\OG = 1 AB = 1 ，
2
QCG…OC - OG ，

5
\当O ， G ， C 共线时， CG 的值最小，最小值= - 1 （如图 2 中），

Q OB = OG = 1 ，
\ÐOBG = ÐOGB ，

Q AB / /CD ，
\ÐOBG = ÐCFG ，
QÐOGB = ÐCGF ，
\ÐCGF = ÐCFG ，

5
\CF = CG = - 1 ，

QÐABH = ÐBCF = ÐAGB = 90° ，
\ÐBAH + ÐABG = 90° ， ÐABG + ÐCBF = 90° ，
\ÐBAH = ÐCBF ，
Q AB = BC ，
\DABH @ DBCF (ASA) ，

5
\ BH = CF = - 1 ，

5
\CH = BC - BH = 2 - ( 5 - 1) = 3 - ， 故选： C ．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，

等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、选择题（每小题 3 分，共 6 小题，满分 18 分）

11．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 kx2 + 4x - 1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是 k…- 4

且 k ¹ 0 ．
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△ …0 ，即可得出关于 k 的一元一次不等式组， 解之即可得出结论．
【解答】解：Q关于 x 的一元二次方程 kx2 + 4x - 1 = 0 有实数根，

\ k ¹ 0 且△ = 42 + 4k…0 ，

解得： k…- 4 且 k ¹ 0 ．
故答案为： k…- 4 且 k ¹ 0 ．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△…0 时，方程有实数根”是解题的关键．
12．（3 分）函数 y = (m -1)x|m|-2 是反比例函数，则 m 的值为 -1 ．

【分析】根据反比例函数的定义．即 y = k (k ¹ 0) ，只需令|m|-2 = -1 ， m - 1 ¹ 0 即可．
x
【解答】解：由题意得： |m|-2 = -1 且， m - 1 ¹ 0 ； 解得 m = ±1 ，又 m ¹ 1 ；
\ m = -1 ． 故填 m = -1 ．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 y = k (k ¹ 0) 转化为 y = kx-1(k ¹ 0)
x
的形式．
13．（3 分）如图所示，四边形 ABCD 内接于eO ， E 为 AB 延长线上一点， ÐAOC = 100° ，则ÐCBE = 50° ．
【分析】根据圆周角定理求出ÐADC ，根据圆内接四边形的性质求出ÐABC ，再根据邻补角的概念计算，得到答案．
【解答】解：QÐAOC = 100° ，
\ÐADC = 1 ÐAOC = 50° ，
2
Q四边形 ABCD 内接于eO ，
\ÐABC = 180° - ÐADC = 180° - 50° = 130° ，
\ÐCBE = 180° - 130° = 50° ， 故答案为： 50° ．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是 解题的关键．
14．（3 分）如图所示，将DABC 绕点 A 顺时针旋转 n 度到DADE 的位置， D 在 BC 边上，若
ÐB = 60° ，则 n = 60 度．

【分析】由旋转的性质得 AB = AD ，可证DABD 是等边三角形，从而得出 n = 60° ．
【解答】解：Q将DABC 绕点 A 顺时针旋转 n 度到DADE 的位置，
\ AB = AD ，
QÐB = 60° ，
\DABD 是等边三角形，
\ÐBAD = 60° ，
\ n = 60° ，
故答案为：60．

【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转前后 对应边相等是解题的关键．
15．（3 分）飞机着陆后滑行的距离 s （单位： m) 关于滑行的时间t （单位： s) 的函数解析

式是 s = 60t - 1.5t 2 ，飞机着陆后滑行 600 米才能停下来．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出 s 的最大值即可得．
【解答】解：Q s = - 3 t 2 + 60t = - 3 (t - 20)2 + 600 ，
2 2
\当t = 20 时， s 取得最大值 600，即飞机着陆后滑行 600 米才能停下来， 故答案为：600．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为 s 的最大值是解题的关键．
16．（3 分）抛物线 y = ax2 + bx + c 的对称轴是直线 x = -1 ，且过点(1, 0) ．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：① ab > 0 且c < 0 ；② 4a - 2b + c > 0 ；③ 8a + c > 0 ；
④ c = 3a - 3b ；⑤直线 y = 2x + 2 与抛物线 y = ax2 + bx + c 两个交点的横坐标分别为 x ， x ，
1 2

则 x1 + x2 + x1 x2 = -5 ．其中结论正确的是 ②④⑤ ．

【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：Q抛物线对称轴 x = -1 ，经过(1, 0) ，

\- b
2a
= -1 ， a + b + c = 0 ，

\b = 2a ， c = -3a ，
Q a < 0 ，
\b < 0 ， c > 0 ，
\ ab > 0 且c > 0 ，故①错误，
Q抛物线对称轴 x = -1 ，经过(1, 0) ，
\(-2, 0) 和(0, 0) 关于对称轴对称，
\ x = -2 时， y > 0 ，
\ 4a - 2b + c > 0 ，故②正确，
Q抛物线与 x 轴交于(-3, 0) ，
\ x = -4 时， y < 0 ，
\16a - 4b + c < 0 ，
Q b = 2a ，
\16a - 8a + c < 0 ，即8a + c < 0 ，故③错误，
Q c = -3a = 3a - 6a ， b = 2a ，
\c = 3a - 3b ，故④正确，

Q直线 y = 2x + 2 与抛物线 y = ax2 + bx + c 两个交点的横坐标分别为 x ， x ，
1 2

\方程 ax2 + (b - 2)x + c - 2 = 0 的两个根分别为 x ， x ，

\ x + x
= - b - 2 ， x × x

1 2

= c - 2 ，

1 2 a 1 2 a

\ x + x + x x
= - b - 2 + c - 2 = - 2a - 2 + -3a - 2 = -5 ，故⑤正确，

1 2 1 2
a a a a

故答案为②④⑤．

【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活 运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8 分）解方程： x2 = 2x ．
【分析】原方程有公因式 x ，先提取公因式，然后再分解因式求解．
【解答】解：Q x2 = 2x ，
\ x2 - 2x = 0 ，
\ x(x - 2) = 0 ，
\ x = 0 或 x - 2 = 0 ，

\ x1 = 0 ， x2 = 2 ．

【点评】考查了解一元二次方程 - 因式分解法，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式， 而另一边是 0 的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
18．（8 分）如图，点C 、D 在线段 AB 上，DPCD 是等边三角形，且DACP∽DPDB ，求ÐAPB

的度数．

【分析】根据等边三角形的性质得到 ÐPCD = 60° ， 根据相似三角形的判定定理证明
DACP∽DABP ，根据相似三角形的性质得到答案．
【解答】解：QDPCD 是等边三角形，
\ÐPCD = 60° ，
\ÐACP = 120° ，
QDACP∽DPDB ，
\ÐAPC = ÐB ，又ÐA = ÐA ，
\DACP∽DABP ，
\ÐAPB = ÐACP = 120° ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关

键．
19．（10 分）如图，点O ， B 的坐标分别是(0, 0) ， (3, 0) ．将DOAB 绕点O 逆时针旋转90° ，得到△ OA1B1 ．
（1） 画出平面直角坐标系和三角形△ OA1B1 ；

（2） 求旋转过程中点 B 走过的路径的长．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出 A ， B 的对应点 A1 ， B1 即可；

（2）利用弧长公式求解即可．

【解答】解：（1）如图，三角形△ OA1B1 即为所求；

（2）Q OB = 3 ，
\点 B 走过的路径的长= 90p´ 3 = 3p ．
180 2

【点评】本题考查作图- 旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质， 记住弧长公式l = npr ．
180
20．（10 分）二次函数图象上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如表：

x
¼
-4
-3
-2
-1
0
1
2
¼
y
¼
5
0
-3
-4
-3
0
5
¼
（1） 求这个二次函数的表达式；

（2） 在图中画出这个二次函数的图象；

（3） 当函数值 y < 0 时，对应的 x 的取值范围是 -3 < x < 1 ．

【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为(-1, -4) ，则可设顶点式 y = a(x + 1)2 - 4 ，然后把点(0, 3) 代入求出 a 即可；
（2） 利用描点法画二次函数图象；

（3） 观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为 (-1, -4) ，设二次函数的解析式为： y = a(x + 1)2 - 4 ，
把点(0, -3) 代入 y = a(x + 1)2 - 4 得 a = 1 ，

\抛物线解析式为 y = (x + 1)2 - 4 ；

（2） 如图所示：

（3） 观察函数图象知， y < 0 时， x 的取值范围是-3 < x < 1 ， 故答案为： -3 < x < 1 ．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系

式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．数形结合

是解题的关键．

步数
频数
频率
0„x < 4000
8
0.16
4000„x < 8000
15
0.3
8000„x < 12000
12
a
12000„x < 16000
b
0.2
16000„x < 20000
3
0.06
20000„x < 24000
2
0.04

21．（12 分）随着“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了我区 50 名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）:

请根据以上信息，解答下列问题：

（1） 写出 a ， b 的值并补全频数分布直方图；

（2） 我市约有 5000 名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过 12000 步（包含 12000

步）的教师有多少名？

（3） 若在 50 名被调查的教师中，选取日行走步数超过 16000 步（包含 16000 步）的两名教

师与大家分享心得，用树形图或列表法求被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000

步）以上的概率．
【分析】（1）根据频率 = 频数¸ 总数可得 a 、b 的值；
（2） 用总人数乘以样本中第 4、5、6 组的频率之和即可得；

（3） 步数超过 16000 步（包含 16000 步）的三名教师用 A 、 B 、C 表示，步数超过 20000
步（包含 20000 步）的两名教师用 a 、b 表示，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．

【解答】解：（1） a = 12 ¸ 50 = 0.24 ， b = 50 ´ 0.2 = 10 ，补全频数分布直方图如下：
（2） 5000 ´ (0.2 + 0.06 + 0.04) = 1500 ，
答：估计日行走步数超过 12000 步（包含 12000 步）的教师有 1500 名；

（3）步数超过 16000 步（包含 16000 步）的三名教师用 A 、 B 、C 表示，步数超过 20000

步（包含 20000 步）的两名教师用 a 、b 表示， 画树状图为：

共有 20 种等可能的结果数，其中被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以

上的结果数为 2，

所以被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的概率=

2 = 1 ．

20 10
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n ， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m ，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概 率．也考查了统计图．
22．（12 分）疫情肆虐，万众一心．由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了 1 条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产 300 万个，
第三天生产 432 万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：

（1） 每天增长的百分率是多少？

（2） 经调查发现，一条生产线最大产能是 900 万个/ 天，如果每增加 1 条生产线，每条生产线的最大产能将减少 30 万个/ 天．现该厂要保证每天生产口罩 3900 万个，在增