2021-2022学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2021-2022 学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是( )
A． B． C． D． 2．（3 分）函数 y = x2 + x - 2 的图象与 y 轴的交点坐标是( )

第 9页（共 26页）

A． (-2, 0)
B． (1, 0) C． (0, -2)
D． (0, 2)

3．（3 分）平面内有两点 P ， O ， eO 的半径为 5，若 PO = 4 ，则点 P 与eO 的位置关系是
( )

A. 圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外4．（3 分）下列函数中， y 是关于 x 的反比例函数的是( )

A． y = -3x + 6
B. y = x2
C. y = 5
x2
D. y = 6
x

5．（3 分）下列式子为一元二次方程的是( )

A． 5x2 - 1
C． 4x( 1 + 2) = 25
x
6．（3 分）下列事件是必然事件的为( )

A. 购买一张体育彩票，中奖

B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．2022 年元旦是晴天


B． 4a2 = 81

D． (3x - 2)(x + 1) = 8 y - 3

D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下 7．（3 分）下列各点中，关于原点对称的两个点是( )
A． (-5, 0) 与(0,5) B． (0, 2) 与(2, 0)

C． (-2, -1) 与(-2,1) D． (2, -1) 与(-2,1)

8．（3 分）下列是对方程 2x2 - 2 2x + 1 = 0 实根情况的判断，正确的是( )

A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．没有实数根

9．（3 分） eO 是四边形 ABCD 的外接圆， AC 平分ÐBAD ，则正确结论是( )

A. AB = AD
B. BC = CD
C. ¶AB = B¶D
D. ÐBCA = ÐDCA

10．（3 分）正比例函数 y = x 与反比例函数 y = 1 的图象相交于 A 、C 两点．AB ^ x 轴于 B ，
x
CD ^ x 轴于 D （如图），则四边形 ABCD 的面积为( )

A．1 B． 3
2
C．2 D． 5
2

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）

11．（3 分）方程 x2 - 3x + 2 = 0 两个根的和为 ，积为 ．
12．（3 分）在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的 1 个红球和 11 个黄球，搅拌均匀后随机任取一球，取到红球的概率是 ．
13．（3 分）直线 y = x + 2 关于原点中心对称的直线的方程为 ．
14．（3 分）把一副普通扑克牌中的 13 张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于 5 的概率是 ．
15．（3 分）在eO 中，圆心角ÐAOC = 120° ，则eO 内接四边形 ABCD 的内角ÐABC = ．

16．（3 分）如图，在RtDABC 中，ÐC = 90° ，ÐA = 30° ， BC = 2 ，eC 的半径为 1，点 P 是斜边 AB 上的点，过点 P 作eC 的一条切线 PQ（点Q 是切点），则线段 PQ 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（4 分）如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的DABC ，请画出将 DABC 绕点C 旋转180°得到的△ A¢B¢C¢ ．（需写出△ A¢B¢C¢ 各顶点的坐标）．

18．（4 分）解方程： x2 + 1 = 4 - 2x ．

19．（6 分）已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 y 轴相交于点 A ， y 与 x 的部分对应值如

下表：

x
-1
0
1
2
3
y
0
■
-4
-3
0
（1） 直接写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点 A 的坐标；

（2） 在给出的坐标系中画出该函数图象的草图．

20．（6 分）如图， AB 、CD 是eO 的两条弦， ¶AB = C¶D ， OE ^ AB ， OF ^ CD ，垂足分别为 E 、 F ．求证OE = OF ．

21．（8 分）一个不透明的口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4．随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出一个小球，分别求下列事件的概率：
（1） 两次取出的小球标号和为奇数；

（2） 两次取出的小球标号和为偶数．

22．（10 分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛 90 场．共有多少个队参加比赛？

23．（10 分）如图所示，已知 A(-1, 0) ， B(0,1) ，直线 AB 与反比例函数 y = m (m ¹ 0) 的图象
x
在第一象限交于C 点， CD 垂直于 x 轴，垂足为 D ，且OD = 1 ．
（1） 当 y = 1 时，求反比例函数 y = m 对应 x 的值；
x
（2） 当1 < y < 4 时，求反比例函数 y = m 对应 x 的取值范围．
x

24．（12 分）如图， AB 、CD 是eO 中两条互相垂直的弦，垂足为点 E ，且 AE = CE ，点 F

2
是 BC 的中点，延长 FE 交 AD 于点G ，已知 AE = 1 ， BE = 3 ， OE = ．

（1） 求证： DAED @ DCEB ；
（2） 求证： FG ^ AD ；

5
（3） 若一条直线l 到圆心O 的距离 d = ，试判断直线l 是否是圆O 的切线，并说明理由．

25．（12 分）如图，抛物线 y = mx2 - 4mx - 5m(m > 0) 与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于C点．
（1） 求抛物线顶点 M 的坐标（用含 m 的代数式表示）， A ， B 两点的坐标；
（2） 证明DBCM 与DABC 的面积相等；
（3） 是否存在使 DBCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

2021-2022 学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解： A 、不是中心对称图形，故本选项错误；

B 、不是中心对称图形，故本选项错误； C 、不是中心对称图形，故本选项错误； D 、是中心对称图形，故本选项正确． 故选： D ．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．
2．（3 分）函数 y = x2 + x - 2 的图象与 y 轴的交点坐标是( )

A． (-2, 0)
B． (1, 0) C． (0, -2)
D． (0, 2)

【分析】将 x = 0 代入函数解析式，求出相应的 y 的值，即可得到二次函数 y = x2 + x - 2 的图象与 y 轴的交点坐标．
【解答】解：Q二次函数 y = x2 + x - 2 ，
\当 x = 0 时， y = -2 ，
即二次函数 y = x2 + x - 2 的图象与 y 轴的交点坐标是(0, -2) ， 故选： C ．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确 二次函数与 y 轴的交点，就是求 x = 0 时对应的函数值．
3．（3 分）平面内有两点 P ， O ， eO 的半径为 5，若 PO = 4 ，则点 P 与eO 的位置关系是
( )

A. 圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆上或圆外
【分析】已知圆O 的半径为 r ，点 P 到圆心O 的距离是 d ，①当 r > d 时，点 P 在eO 内，
②当 r = d 时，点 P 在eO 上，③当 r < d 时，点 P 在eO 外，根据以上内容判断即可．
【解答】解：QeO 的半径为 5，若 PO = 4 ，
\ 4 < 5 ，
\点 P 与eO 的位置关系是点 P 在eO 内， 故选： A ．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O 的半径为 r ，点 P 到圆心O
的距离是 d ，①当 r > d 时，点 P 在eO 内，②当 r = d 时，点 P 在eO 上，③当 r < d 时， 点 P 在eO 外．
4．（3 分）下列函数中， y 是关于 x 的反比例函数的是( )

A． y = -3x + 6

B. y = x2
C. y = 5
x2
D. y = 6
x

【分析】根据反比例函数的一般形式即可作出判断．

【解答】解： A 、该函数是一次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；

B 、该函数是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；

C 、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；
D 、该函数是反比例函数，故本选项符合题意． 故选： D ．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 y = k (k ¹ 0) 转化为 y = kx-1(k ¹ 0)
x
的形式．

5．（3 分）下列式子为一元二次方程的是( )

A． 5x2 - 1
C． 4x( 1 + 2) = 25
x


B． 4a2 = 81

D． (3x - 2)(x + 1) = 8 y - 3

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是 2 的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解： A ． 5x2 - 1 是代数式，不是方程，故本选项不合题意；
B ． 4a2 = 81 是一元二次方程，故本选项符合题意；
C ． 4x( 1 + 2) = 25 不是整式方程，故本选项不合题意；
x

D ． (3x - 2)(x +1) = 8 y - 3 ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 故选： B ．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．

6．（3 分）下列事件是必然事件的为( )

A. 购买一张体育彩票，中奖

B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．2022 年元旦是晴天
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．

【解答】解： A 、购买一张体育彩票，中奖，是随机事件，不符合题意； B 、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； C 、2022 年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；
D 、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，必然事件，符合题意； 故选： D ．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下， 一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．（3 分）下列各点中，关于原点对称的两个点是( )
A． (-5, 0) 与(0,5) B． (0, 2) 与(2, 0)
C． (-2, -1) 与(-2,1) D． (2, -1) 与(-2,1)

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解： A ．(-5, 0) 与(0,5) ，不符合题意关于原点对称点的性质，故此选项不合题意；
B ． (0, 2) 与(2, 0) ，不符合题意关于原点对称点的性质，故此选项不合题意；

C ． (-2, -1) 与(-2,1) ，不符合题意关于原点对称点的性质，故此选项不合题意；
D ． (2, -1) 与(-2,1) ，符合题意关于原点对称点的性质，故此选项符合题意； 故选： D ．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．

8．（3 分）下列是对方程 2x2 - 2 2x + 1 = 0 实根情况的判断，正确的是( )

A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根

第 26页（共 26页）

C．有两个相等的实数根 D．没有实数根

【分析】根据方程的系数结合根的判别式， 即可得出△ = 0 ， 进而即可得出方程

2x2 - 2 2x + 1 = 0 有两个相等的实数根．

2
【解答】解：Q a = 2 ， b = -2 ， c = 1，

\△ = b2 - 4ac = (-2 2)2 - 4 ´ 2 ´1 = 0 ，

\方程 2x2 - 2 2x + 1 = 0 有两个相等的实数根． 故选： C ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 的根与△ = b2 - 4ac 有

如下关系：当△ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当△ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当△ < 0 时，方程无实数根．
9．（3 分） eO 是四边形 ABCD 的外接圆， AC 平分ÐBAD ，则正确结论是( )

A. AB = AD
B. BC = CD
C. ¶AB = B¶D
D. ÐBCA = ÐDCA

【分析】利用角平分线得到ÐBAC = ÐDAC ，再根据圆周角定理得到 B¶C = D·C ，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到 BC = DC ．
【解答】解：Q AC 平分ÐBAD ，
\ÐBAC = ÐDAC ，
\ B¶C = D·C ，

\ BC = CD ． 故选： B ．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
10．（3 分）正比例函数 y = x 与反比例函数 y = 1 的图象相交于 A 、C 两点．AB ^ x 轴于 B ，
x

CD ^ x 轴于 D （如图），则四边形 ABCD 的面积为( )

A．1 B． 3
2
C．2 D． 5
2

【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围

成的直角三角形面积 S 的关系即 S = 1 | k | ，得出 S
2


DAOB

= SDODC
= 1 ，再根据反比例函数的
2

对称性可知： OB = OD ，得出 SDAOB = SDODA ， SDODC = SDOBC ，最后根据四边形 ABCD 的面积= SDAOB + SDODA + SDODC + SDOBC ，得出结果．
【解答】解：根据反比例函数的对称性可知： OB = OD ， AB = CD ，
\四边形 ABCD 的面积= SDAOB + SDODA + SDODC + SDOBC = 1´ 2 = 2 ． 故选： C ．
【点评】本题主要考查了反比例函数 y = k 中 k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线
x
段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S = 1 | k | ．
2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）

11．（3 分）方程 x2 - 3x + 2 = 0 两个根的和为 3 ，积为 ．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．

【解答】解：根据根与系数的关系 x2 - 3x + 2 = 0 两个根的和为 3，积为 2． 故答案为：3，2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ， x 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 的两
1 2

根，则 x + x = - b ， x x = c ．

1 2 a 1 2 a

12．（3 分）在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的 1 个红球和 11 个黄球，搅拌均匀后随
机任取一球，取到红球的概率是 1 ．
12
【分析】一共有11 + 1 = 12 （个) 球，随机任取一个球，抓到每个球的可能性是相等的，所以

求取到是红球的可能性是多 12 的几分之几，据此解答．
【解答】解：1 ¸ (1 + 11) = 1 ¸12 = 1 ，
12
故答案为： 1 ．
12
【点评】本题考查了简单事件发生的可能性的求解，即可能性 = 所求情况数¸ 总情况数或求一个数是另一个数的几分之几用除法计算．
13．（3 分）直线 y = x + 2 关于原点中心对称的直线的方程为 y = x - 2 ．
【分析】根据若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即 k 值不变；与 y 轴的交点关于原点对称，即b 值互为相反数可以直接写出答案．
【解答】解：线 y = x + 2 关于原点中心对称的直线的方程为 y = x - 2 ．
故答案为： y = x - 2 ．
【点评】本题主要考查了一次函数得几何变换，关键是利用数形结合来分析此类型的题，根 据图形，发现 k 和b 值之间的关系．也考查了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．（3 分）把一副普通扑克牌中的 13 张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取
一张，抽出的牌点数小于 5 的概率是 4 ．
13
【分析】抽出的牌的点数小于 5 有 1，2，3，4 共 4 个，总的样本数目为 13，由此可以容易知道事件抽出的牌的点数小于 5 的概率．
【解答】解：Q抽出的牌的点数小于 5 有 1，2，3，4 共 4 个，总的样本数目为 13，
\从中任意抽取一张，抽出的牌点数小于 5 的概率是： 4 ．
13
故答案为： 4 ．
13
【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率= 所求情况数与总情况数之比．
15．（3 分）在eO 中，圆心角ÐAOC = 120° ，则eO 内接四边形 ABCD 的内角ÐABC =
120° ．

【分析】先根据圆周角定理求得ÐD 的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出ÐABC 的度数即可．
【解答】解：Q ABCD 是eO 的内接四边形，且ÐAOC = 120° ，
\ÐADC = 1 ÐAOC = 60° ，
2
\ÐABC = 180° - ÐADC = 180° - 60° = 120° ， 故答案为：120° ．
【点评】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答 本题的关键．
16．（3 分）如图，在RtDABC 中，ÐC = 90° ，ÐA = 30° ， BC = 2 ，eC 的半径为 1，点 P 是
斜边 AB 上的点，过点 P 作eC 的一条切线 PQ （点 Q 是切点），则线段 PQ 的最小值为

2
．

【分析】连接CP ，过点C 作CP¢ ^ AB 于 P¢ ，根据切线的性质得到CQ ^ PQ ，根据直角三角形的性质求出CP¢ ，根据勾股定理、垂线段最短解答即可．
【解答】解：连接CP ，过点C 作CP¢ ^ AB 于 P¢ ，
Q PQ 是eC 的切线，
\CQ ^ PQ ，

CP2 - CQ2
CP2 -1
\ PQ = = ，

当CP ^ AB 时， CP 最小，则 PQ 最小，
QÐACB = 90° ， ÐA = 30° ，
\ÐB = 60° ，

\CP¢ = BC × sin B = 2´

\ PQ 的最小值为：
3 = ，
3
2

( 3)2 -1
2
= ，

2
故答案为： ．

【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于 经过切点的半径是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（4 分）如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的DABC ，请画出将 DABC 绕点C 旋转180°得到的△ A¢B¢C¢ ．（需写出△ A¢B¢C¢ 各顶点的坐标）．

【分析】利用中心对称的性质分别作出 A ， B ， C 的对应点 A¢ ， B¢ ， C¢ 即可．
【解答】解：如图，△ A¢B¢C¢ 即为所求．

【点评】本题考查作图 - 旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
18．（4 分）解方程： x2 + 1 = 4 - 2x ．
【分析】先把方程转化为一般形式，再用因式分解的办法求解方程．

【解答】解：整理得 x2 + 2x - 3 = 0 ，
(x + 3)(x -1) = 0 ，
\ x + 3 = 0 或 x - 1 = 0 ，

\ x1 = -3 ， x2 = 1 ．

【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法是解决本题的关键．
19．（6 分）已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 y 轴相交于点 A ， y 与 x 的部分对应值如下表：

x
-1
0
1
2
3
y
0
■
-4
-3
0
（1） 直接写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点 A 的坐标；

（2） 在给出的坐标系中画出该函数图象的草图．

【分析】（1）由抛物线经过点 (-1, 0) ， (3, 0) 可得抛物线对称轴与顶点坐标，由抛物线的对称性可得点 A 坐标．
（2）通过表格中的点作图．
【解答】解：（1）Q抛物线经过点(-1, 0) ， (3, 0) ，
\抛物线对称轴为直线 x = 1 ，
由表格可得抛物线顶点坐标为(1, -4) ，
Q-4 < 0 ，
\抛物线开口向上，
Q抛物线经过(2, -3) ，
\抛物线经过点(0, -3) ，
\点 A 坐标为(0, -3) ，
综上所述，抛物线开口向上，对称轴为直线 x = 1 ，顶点坐标为(1, -4) ，点 A 坐标为(0, -3) ．
（2）如图，

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，

20．（6 分）如图， AB 、CD 是eO 的两条弦， ¶AB = C¶D ， OE ^ AB ， OF ^ CD ，垂足分别为 E 、 F ．求证OE = OF ．
【分析】连接OA 、OC ，证明RtDOAE @ RtDOCF(HL) ，可得结论．
【解答】证明：连接OA 、OC ，

Q ¶AB = C¶D ，
\ AB = CD ，
QOE ^ AB ， OF ^ CD ，

\ AE = 1 AB ， CF = 1 CD ， ÐAEO = ÐCFO = 90° ，
2 2
\ AE = CF ，
又Q OA = OC ，
\RtDOAE @ RtDOCF(HL) ，
\OE = OF ．
【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造全等三角形解决问题．
21．（8 分）一个不透明的口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4．随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出一个小球，分别求下列事件的概率：
（1） 两次取出的小球标号和为奇数；

（2） 两次取出的小球标号和为偶数．

【分析】（1）画树状图，共有 12 种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和为奇数的结

果有 8 种，再由概率公式求解即可；

（2）由（1）可知，共有 12 种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和为偶数的结果有

4 种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）画树状图如下：

共有 12 种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和为奇数的结果有 8 种，
\两次取出的小球标号和为奇数的概率为 8 = 2 ；
12 3
（2）由（1）可知，共有 12 种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和为偶数的结果有

4 种，
\两次取出的小球标号和为偶数的概率为 4 = 1 ．
12 3
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结 果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到 的知识点为：概率= 所求情况数与总情况数之比．

22．（10 分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛 90 场．共有多少个队参加比赛？
【分析】设共有 x 个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了 90 场即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有 x 个队参加比赛，
根据题意得： 2 ´ 1 x(x - 1) = 90 ，
2
整理得： x2 - x - 90 = 0 ，
解得： x = 10 或 x = -9 （舍去）．故共有 10 个队参加比赛．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了 90

场列出关于 x 的一元一次方程是解题的关键．
23．（10 分）如图所示，已知 A(-1, 0) ， B(0,1) ，直线 AB 与反比例函数 y = m (m ¹ 0) 的图象
x
在第一象限交于C 点， CD 垂直于 x 轴，垂足为 D ，且OD = 1 ．
（1） 当 y = 1 时，求反比例函数 y = m 对应 x 的值；
x
（2） 当1 < y < 4 时，求反比例函数 y = m 对应 x 的取值范围．
x
【分析】（1）先求得直线 AB 的解析式，进而求得C 的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，把 y = 1 代入，即可求得对应 x 的值；
（2）求得函数值为 4 时所对应的的 x 的值，即可得到当1 < y < 4 时，反比例函数 y = m 对应
x
x 的取值范围是 1 < x < 2 ．
2
【解答】解：（1）设直线 AB 的解析式为 y = kx + b ，
Q点 A(-1, 0) ， B(0,1) 在一次函数 y = kx + b(k ¹ 0) 的图象上，

í
\ ì-k + b = 0 ，
îb = 1

íb = 1
解得ìk = 1 ，
î

\直线 AB 的解析式为 y = x + 1 ，
Q CD 垂直于 x 轴，垂足为 D ，且OD = 1 ．
\ C 的横坐标为 1，
把 x = 1 代入 y = x + 1 得， y = 2 ，
\C(1, 2) ，
Q点C 在反比例函数 y = m (m ¹ 0) 的图象上，
x
\ m = 1´ 2 = 2 ，
\反比例函数为 y = 2 ，
x
当 y = 1 时， x = 2 ，
\当 y = 1 时，反比例函数 y = m 对应 x 的值为 2；
x
（2）把 y = 4 代入 y = 2 得， x = 1 ，
x 2
Q当 y = 1 时， x = 2 ，
\当1 < y < 4 时，反比例函数 y = m 对应 x 的取值范围是 1 < x < 2 ．
x 2
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，待 定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式 是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
24．（12 分）如图， AB 、CD 是eO 中两条互相垂直的弦，垂足为点 E ，且 AE = CE ，点 F

2
是 BC 的中点，延长 FE 交 AD 于点G ，已知 AE = 1 ， BE = 3 ， OE = ．

（1） 求证： DAED @ DCEB ；
（2） 求证： FG ^ AD ；

5
（3） 若一条直线l 到圆心O 的距离 d = ，试判断直线l 是否是圆O 的切线，并说明理由．

【分析】（1）由圆周角定理得 ÐA = ÐC ，由 ASA 得出DAED @ DCEB ；
（ 2 ） 由直角三角形斜边上的中线性质得 EF = 1 BC = BF ， 由等腰三角形的性质得
2
ÐFEB = ÐB ，由圆周角定理和对顶角相等证出ÐA + ÐAEG = 90° ，进而得出结论；

（ 3 ） 作 OH ^ AB

于 H ， 连 接 OB ， 由 垂 径 定 理 得 出
AH = BH = 1 AB = 2 ， 则
2

5
EH = AH - AE = 1 ，由勾股定理求出 OH = 1 ， OB = ，由一条直线 l 到圆心 O 的距离

5
d = = eO 的半径，即可得出结论．
【解答】（1）证明：由圆周角定理得： ÐA = ÐC ，

ìÐA = ÐC
í
在DAED 和DCEB 中， ï AE = CE ，
î
ïÐAED = ÐCEB

\DAED @ DCEB(ASA) ；
（2） 证明：Q AB ^ CD ，
\ÐAED = ÐCEB = 90° ，
\ÐC + ÐB = 90° ，
Q点 F 是 BC 的中点，
\ EF = 1 BC = BF ，
2
\ÐFEB = ÐB ，
QÐA = ÐC ， ÐAEG = ÐFEB = ÐB ，
\ÐA + ÐAEG = ÐC + ÐB = 90° ，
\ÐAGE = 90° ，
\ FG ^ AD ；

（3） 解：直线l 是圆O 的切线，理由如下： 作OH ^ AB 于 H ，连接OB ，如图所示：
Q AE = 1， BE = 3 ，

\ AB = AE + BE = 4 ，
Q OH ^ AB ，
\ AH = BH = 1 AB = 2 ，
2
\ EH = AH - AE = 1 ，

OE 2 - EH 2
( 2)2 - 12
\OH = = = 1 ，

BH 2 + OH 2
22 + 12
5
\OB = = = ，

5
即eO 的半径为 ，

5
Q一条直线l 到圆心O 的距离 d = = eO 的半径，
\直线l 是圆O 的切线．

【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强， 熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
25．（12 分）如图，抛物线 y = mx2 - 4mx - 5m(m > 0) 与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于C点．
（1） 求抛物线顶点 M 的坐标（用含 m 的代数式表示）， A ， B 两点的坐标；
（2） 证明DBCM 与DABC 的面积相等；
（3） 是否存在使 DBCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将抛物线化为顶点式 y = m(x - 2)2 - 9m ，则抛物线顶点 M 的坐标为(2, -9m) ， 令 y = 0 ，解方程即可求出点 A 、 B 的坐标；
（2） 分别表示出DBCM 与DABC 的面积即可证明；
（3） 用含 m 的代数式分别表示出 BC 2 、CM 2 、 BM 2 ，再根据DBCM 为直角三角形，分三种情况：当ÐBMC = 90° 时， CM 2 + BM 2 = BC 2 ； ÐBCM = 90° 时， BC 2 + CM 2 = BM 2 ；当
ÐCBM = 90° 时，由 25 + 25m2 > 4 + 16m2 ，9 + 81m2 > 4 + 16m2 ，此种不存在，分别进行列方程计算即可得出答案．
【解答】解：（1）Q y = m(x - 2)2 - 9m ，
\抛物线顶点 M 的坐标为(2, -9m) ，
Q抛物线与 x 轴交于 A 、 B 两点，

\当 y = 0 时， mx2 - 4mx - 5m = 0 ，

Q m > 0 ，
\ x2 - 4x - 5 = 0 ，

解得 x1 = -1 ， x2 = 5 ，

\ A ， B 两点的坐标为(-1, 0) 、(5, 0) ，
（2）当 x = 0 时， y = -5m ，
\点C 的坐标为(0, -5m) ，

\ SDABC
= 1 ´ | 5 - (-1) | ´ | -5m |= 15m ，
2

过点 M 作 MD ^ x 轴于 D ，

则OD = 2 ， BD = OB - OD = 3 ， MD =| -9m |= 9m ，

\ SDBCM = SDBDM + S梯形OCMD - SDOBC ，
= 1 BD × DM + 1 (OC + DM ) × OD - 1 OB × OC ，
2 2 2
= 15m ，

\ SDABC = SDBCM ，

（3）存在使DBCM 为直角三角形的抛物线．
过点C 作CN ^ DM 于点 N ，则DCMN 为直角三角形， CN = OD = 2 ， DN = OC = 5m ，
\ MN = DM - DN = 4m ，
\CM 2 = CN 2 + MN 2 = 4 + 16m2 ，
在RtDOBC 中， BC 2 = OB2 + OC 2 = 25 + 25m2 ， 在RtDBDM 中， BM 2 = BD2 + DM 2 = 9 + 81m2 ．
①如果DBCM 是直角三角形，且ÐBMC = 90° 时， CM 2 + BM 2 = BC 2 ，

即 4 + 16m2 + 9 + 81m2 = 25 + 25m2 ，解得

Q m > 0 ，
m = ± 6 ，
6

\ m = 6 ．
6

\存在抛物线 y =
6 x2 - 2 6 x - 5 6 使得DBCM 是直角三角形；
6 3 6

②如果DBCM 是直角三角形，且ÐBCM = 90° 时， BC 2 + CM 2 = BM 2 ．

即 25 + 25m2 + 4 + 16m2 = 9 + 81m2 ，解得

Q m > 0 ，
m = ± 2 ，
2

\ m = 2 ．
2

\存在抛物线 y =
2 x2 - 2 2x - 5 2 使得DBCM 是 Rt △；
2 2