2021-2022学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2021-2022 学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）下列图案中，是中心对称图形的是( )

A． B． C． D． 2．（3 分）在如图的各事件中，是随机事件的有( )

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．（3 分）如图，PA ，PB 是eO 的两条切线，切点分别是 A ，B ，已知 ÐP = 60° ，OA = 3 ，则ÐAOB 所对的弧长为( )
A． 2p B． 3p C． 5p D． 6p
4．（3 分）如果反比例函数 y = 1 - 2m 的图象在所在的每个象限内 y 都是随着 x 的增大而减
x
小，那么 m 的取值范围是( )

第 9页（共 27页）

A. m > 1
2
B. m < 1
2
C. m„ 1
2
D. m… 1
2

5．（3 分）方程 x2 + 8x + 17 = 0 的根的情况是( )

A．没有实数根 B．有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．（3 分）点(3, -2) 在反比例函数 y = k 的图象上，则下列说法正确的是( )
x
A． k = 6 B．函数的图象关于 y = x 对称

C．函数的图象经过点(6,1) D．函数的图象关于原点对称

7．（3 分）如图， eO 的直径 AB 垂直于弦 CD ，垂足为 E ， ÐA = 22.5° ， OC = 4 ， CD 的长为( )

2
A． 2
B.4 C． 4
D．8

2
8．（3 分）用一条长 40cm 的绳子围成一个面积为64cm2 的长方形．设长方形的长为 x cm ，则可列方程为( )

A． x(20 + x) = 64
B． x(20 - x) = 64
C． x(40 + x) = 64
D． x(40 - x) = 64

9．（3 分）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为 r ，扇形的圆心角等于120° ，则围成的圆锥模型的高为( )

C． 10r
A. 2 2r B． r D． 3r

10．（3 分）已知抛物线 y = ax2 - bx + c 如图，下列说法正确的有( )

① a + b + c = 0 ，② a - b + c > 0 ，③ b > 0 ，④ c = -1 ．

A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）

11．（3 分）抛物线 y = x2 - 2x + 3 有最 点（填写“高”或“低” ) ，这个点的坐标是 ．
12．（3 分）点 A 是反比例函数 y = k (k ¹ 0) 在第一象限内的图象上一点，过点 A 作 AB ^ x 轴，
x
垂足为点 B ， DOAB 的面积是 1，则 k = ．
13．（3 分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成 3 个大小相同的扇形，标号分别为 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在 指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．指针指向扇形Ⅰ的概率是 ．
14．（3 分）如图， AB 是eO 的直径， AB = AC ， BC 交eO 于点 D ， AC 交eO 于点 E ，
ÐBAC = 45° ，则ÐEBC = ° ．

15．（3 分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞 100 条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞 10 条鱼．如果在这 10 条鱼中有 1 条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为 条．
16．（3 分）如图，在锐角DABC 中， ÐBAC = 60° ， AE 是中线， BF 和CD 是高，则下列结论中，正确的是 （填序号）．
① BC = 2DF ；
② ÐCEF = 2ÐCDF ；
③ DDEF 是等边三角形；
④ (CF + CD) : (BD + BF ) = (BD - BF ) : (CF - CD) ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（4 分）解方程： (x + 3)2 - 25 = 0 ．

18．（4 分）一个二次函数的图象经过(-1, 0) ，(0, 6) ，(3, 0) 三点．求：这个二次函数的解析式．

19．（6 分）如图， AB 为eO 的直径， AC 平分ÐBAD 交eO 于点C ，CD ^ AD ，垂足为点
D ．求证： CD 是eO 的切线．

20．（6 分）已知函数 y = (k - 2)xk+2 为反比例函数．

（1） 求这个反比例函数的解析式；
（2） 这个函数的图象位于第 象限；在每一个象限内， y 随 x 的增大而 ；
（3） 当-3„x„ - 1 时，函数的最大值为 ，最小值为 ．

2

21．（8 分）如图，DABC 是以 AB = a 为斜边的等腰直角三角形．其内部的 4 段弧均等于以 BC
为直径的 1 圆周．求图中阴影部分的面积．
4

22．（10 分）为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，

2021 年 12 月 3 日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；①24 点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统 计图，如图．
（1） 木次随机抽查的学生人数为 人，补全图（Ⅰ）；

（2） 参加活动的学生共有 500 名，可估计出其中最喜爱“①数独挑战”的学生人数为 人， 图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 度；
（3） 计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项作为重点直播项目，请用列表或 画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．

23．（10 分）一个菱形两条对角线长的和是10cm ，面积是12cm2 ，求菱形的周长．

24．（12 分）已知抛物线 y = x2 + mx + n 与 x 轴的负、正半轴分别交于 A ， B 两点，与 y 轴的负半轴交于点 D ，点C 是抛物线的顶点．
（1） 若OA - OB = 2 ，求该抛物线的对称轴；
（2） 在（1）的条件下，连接 AD ， CD ，若 AD ^ CD ，求该抛物线的解析式；
（3） 若OA - OB = 2 p ，点 D 的坐标为(0, - | p |) ，请判断点C 是否存在最高点或最低点，若存在，求该点的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12 分）如图，已知在DABC 中，ÐA 是钝角，以 AB 为边作正方形 ABDE ，使DABC 正方形 ABDE 分居在 AB 两侧，以 AC 为边作正方形 ACFG ，使 DABC 正方形 ACFG 分居在 AC 两侧， BG 与CE 交于点 M ，连接 AM ．
（1） 求证： BG = CE ；
（2） 求： ÐAMC 的度数；
（3） 若 BG = a ， MG = b ， ME = c ，求： SDABM : SDACM （结果可用含有 a ， b ， c 的式子表示）．

2021-2022 学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）下列图案中，是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项 A 、 B 、C 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180° 后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项 D 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180° 后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选： D ．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．
2．（3 分）在如图的各事件中，是随机事件的有( )

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【分析】根据随机事件的概率值即可判断．

【解答】解：因为不可能事件的概率为 0， 0 < 随机事件的概率< 1 ，必然事件的概率为 1， 所以在如图的各事件中，是随机事件的有：事件 B 和事件C ，共有 2 个，
故选： B ．

【点评】本题考查了随机事件，弄清不可能事件的概率，随机事件的概率，必然事件的概率 是解题的关键．
3．（3 分）如图，PA ，PB 是eO 的两条切线，切点分别是 A ，B ，已知 ÐP = 60° ，OA = 3 ，
则ÐAOB 所对的弧长为( )

A． 2p B． 3p C． 5p D． 6p
【分析】由切线的性质可以求出ÐOAP = ÐOBP = 90° ，再由条件就可以求出ÐAOB 的度数， 再由弧长公式就可以求出其值．
【解答】解：Q PA 、 PB 是eO 的切线，切点分别是 A 、 B ，
\ÐOAP = ÐOBP = 90° ，
QÐP = 60° ，
\ÐAOB = 120°
Q OA = 3 ，
\ ¶AB = 120p´ 3 = 2p．
180
故选： A ．

【点评】此题考查了切线的性质与弧长公式．解决本题的关键是注意掌握数形结合思想的应 用．
4．（3 分）如果反比例函数 y = 1 - 2m 的图象在所在的每个象限内 y 都是随着 x 的增大而减
x
小，那么 m 的取值范围是( )

A. m > 1
2
B. m < 1
2
C. m„ 1
2
D. m… 1
2

【分析】根据反比例函数的性质可得1 - 2m > 0 ，再解不等式即可．
【解答】解：Q反比例函数 y = 1 - 2m 的图象在所在的每个象限内 y 都是随着 x 的增大而减
x
小，

\1 - 2m > 0 ，
解得： m < 1 ，
2
故选： B ．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质．对于反比例函数 y = k ，当 k > 0 时，在每一个
x
象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小；当 k < 0 时，在每一个象限内，函数值 y 随

自变量 x 增大而增大．

5．（3 分）方程 x2 + 8x + 17 = 0 的根的情况是( )

A．没有实数根 B．有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

【分析】先求出根的判别式△的值，再判断出其符号即可得到结论．

【解答】解：Q x2 + 8x + 17 = 0 ，
\△ = 82 - 4 ´1´17 = -4 < 0 ，
\方程没有实数根． 故选： A ．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 的根与△

= b2 - 4ac 的关系是解答此题的关键．
6．（3 分）点(3, -2) 在反比例函数 y = k 的图象上，则下列说法正确的是( )
x
A． k = 6 B．函数的图象关于 y = x 对称

C．函数的图象经过点(6,1) D．函数的图象关于原点对称

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对 A 、C 进行判断；根据反比例函数的性质对 B 、 D 进行判断．
【解答】解： A 、点(3, -2) 在反比例函数 y = k 的图象上，则 k = 3´ (-2) = -6 ，故错误；
x
B 、函数的图象关于 y = -x 对称，故错误；
C 、函数图象经过点(6, -1) 或(-6,1) ，故错误； D 、函数图象关于原点成中心对称，故正确， 故选： D ．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数 y = k (k ¹ 0) 的图象是双曲线；当 k > 0 ，
x
双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k < 0 ，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大．
7．（3 分）如图， eO 的直径 AB 垂直于弦 CD ，垂足为 E ， ÐA = 22.5° ， OC = 4 ， CD 的长为( )

第 27页（共 27页）

2
A． 2
B．4 C． 4
D．8

2
【分析】根据圆周角定理得ÐBOC = 2ÐA = 45° ，由于eO 的直径 AB 垂直于弦CD ，根据垂

径定理得CE = DE ，且可判断DOCE 为等腰直角三角形，所以CE =

用CD = 2CE 进行计算．
【解答】解：QÐA = 22.5° ，
\ÐBOC = 2ÐA = 45° ，
QeO 的直径 AB 垂直于弦CD ，
\CE = DE ， DOCE 为等腰直角三角形，
2 OC = 2
2
2

，然后利

\CE =
2 OC = 2 ，
2
2

2
\CD = 2CE = 4 ．

故选： C ．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
8．（3 分）用一条长 40cm 的绳子围成一个面积为64cm2 的长方形．设长方形的长为 x cm ，则可列方程为( )

A． x(20 + x) = 64
B． x(20 - x) = 64
C． x(40 + x) = 64
D． x(40 - x) = 64

【分析】本题可根据长方形的周长可以用 x 表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．

【解答】解：设长为 xcm ，
Q长方形的周长为 40cm ，
\宽为= (20 - x)(cm) ，

得 x(20 - x) = 64 ． 故选： B ．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式 S = ab 来解题
的方法．

9．（3 分）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为 r ，扇形的圆心角等于120° ，则围成的圆锥模型的高为( )

C． 10r
A． 2 2r B． r D． 3r

【分析】首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可．
【解答】解：Q圆的半径为 r ，扇形的弧长等于底面圆的周长得出 2pr ． 设圆锥的母线长为 R ，则120pR = 2pr ，
180
解得： R = 3r ．

根据勾股定理得圆锥的高为 2 2r ， 故选： A ．
【点评】本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关

键．

10．（3 分）已知抛物线 y = ax2 - bx + c 如图，下列说法正确的有( )

① a + b + c = 0 ，② a - b + c > 0 ，③ b > 0 ，④ c = -1 ．

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】由抛物线经过(1, 0) 判断①，由 x = -1 时 y > 0 可判断②，根据抛物线开口方向及对

称轴位置可判断③，由抛物线与 y 轴交点判断④．
【解答】解：Q抛物线经过点(1, 0) ，
\ a - b + c = 0 ，②错误．
Q x = -1时， y > 0 ，
\ a + b + c > 0 ，②正错误，
Q抛物线开口向上，
\ a > 0 ，
Q抛物线对称轴在 y 轴右侧，
\- -b > 0 ，
2a
\b > 0 ，③正确．
Q抛物线与 y 轴交点坐标为(0, -1) ，
\ c = -1 ，④正确． 故选： B ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次 函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）抛物线 y = x2 - 2x + 3 有最 低 点（填写“高”或“低” ) ，这个点的坐标是 ．
【分析】根据二次函数的性质， a > 0 ，二次函数有最小值解答．

【解答】解：抛物线 y = x2 - 2x + 3 = (x -1)2 + 2 ，

Q a = 1 > 0 ，
\该抛物线有最小值， 即抛物线有最低点， 此点坐标为(1, 2) ，
故答案为：低， (1, 2) ．

【点评】本题考查了二次函数的最值问题，比较简单，熟记二次项系数与函数图象的关系是 解题的关键．
12．（3 分）点 A 是反比例函数 y = k (k ¹ 0) 在第一象限内的图象上一点，过点 A 作 AB ^ x 轴，
x

垂足为点 B ， DOAB 的面积是 1，则 k = 2 ．
【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义进行解答即可．
【解答】解：由题意得，

SDAOB
= 1 | k |= 1 ，
2

又Q k > 0 ，
\ k = 2 ，
故答案为：2．

【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，掌握反比例函数系数 k 的几何意义是正确解答的关键．
13．（3 分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成 3 个大小相同的扇形，标号分别为 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在 指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．指针指向扇形Ⅰ的
概率是 1 ．
3
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：

①符合条件的情况数目；

②全部情况的总数．

二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：Q转盘分成 3 个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字，
\指针指向扇形Ⅰ的概率是 1
3
故答案为： 1 ．
3
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事
件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P （A） = m ．
n
14．（3 分）如图， AB 是eO 的直径， AB = AC ， BC 交eO 于点 D ， AC 交eO 于点 E ，

ÐBAC = 45° ，则ÐEBC = 22.5 ° ．

【分析】先根据圆周角定理得到ÐAEB = 90° ，则ÐABE = 45° ，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出ÐABC = 67.5° ，再计算ÐABC - ÐABE 即可．
【解答】解：Q AB 是eO 的直径，
\ÐAEB = 90° ，
QÐBAC = 45° ，
\ÐABE = 45° ，
Q AB = AC ，
\ÐABC = ÐC = 1 ´ (180° - 45°) = 67.5° ，
2
\ÐEBC = ÐABC - ÐABE = 67.5° - 45° = 22.5° ． 故答案为：22.5．
【点评】本题考查了圆周角定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90° 的圆周角所对的弦是直径．
15．（3 分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞 100 条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞 10 条鱼．如果在这 10 条鱼中有 1 条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为 1000 条．
【分析】根据样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼

的总条数．
【解答】解：估计鱼塘中鱼的条数为100 ¸ 1
10


= 1000 （条) ，

故答案为：1000．

【点评】本题考查了统计中用样本估计总体的思想，关键是根据用样本中有记号的鱼所占的 比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例解答．
16．（3 分）如图，在锐角DABC 中， ÐBAC = 60° ， AE 是中线， BF 和CD 是高，则下列结论中，正确的是 ①②③④ （填序号）．

① BC = 2DF ；
② ÐCEF = 2ÐCDF ；
③ DDEF 是等边三角形；
④ (CF + CD) : (BD + BF ) = (BD - BF ) : (CF - CD) ．

【分析】通过证明点 B ，点C ，点 F ，点 D 四点在以 BC 为直径的圆上，由圆周角定理可得ÐCEF = 2ÐCDF ，故②正确，通过证明DABC∽DAFD ，可得 DF = AD ，由直角三角形
BC AC

的性质可得 AC = 2 AD ， 可得 BC = 2DF
， 故① 正确； 由直角三角形的性质可得

DE = EF = DF

， 可 证
DDEF

是 等 边 三 角 形 ， 故 ③ 正 确 ； 由 勾 股 定 理 可 得

BD2 + CD2 = BC 2 = CF 2 + BF 2 ，可判断④正确，即可求解．
【解答】解：Q AE 是中线，
\ BE = EC ，
Q BF ^ AC ， CD ^ AB ，
\ÐBFC = ÐBDC = 90° ，
\点 B ，点C ，点 F ，点 D 四点在以 BC 为直径的圆上，
\点 E 是圆心，
\ÐCEF = 2ÐCDF ，故②正确，
Q四边形 BDFC 是圆内接四边形，
\ÐADF = ÐACB ， ÐAFD = ÐABC ，
\DABC∽DAFD ，
\ DF = AD ，
BC AC
QÐBAC = 60° ， CD ^ AB ，
\ÐACD = 30° ，
\ AC = 2 AD ，
\ DF = 1 ，
BC 2

\ BC = 2DF ，故①正确；
QÐBFC = ÐBDC = 90° ， BE = EC ，
\ DE = EF = 1 BC ，
2
\ DE = EF = DF ，
\DDEF 是等边三角形，故③正确；
QÐBFC = ÐBDC = 90° ，
\ BD2 + CD2 = BC 2 = CF 2 + BF 2 ，
\CF 2 - CD2 = BD2 - BF 2 ，
\(CF + CD)(CF - CD) = (BD + BF )(BD - BF ) ，
\(CF + CD) : (BD + BF ) = (BD - BF ) : (CF - CD) ，故④正确， 故答案为①②③④．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，

直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关知识，证明相似是解题的关键．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（4 分）解方程： (x + 3)2 - 25 = 0 ．

【分析】先把方程变形为解(x + 3)2 = 25 ，然后利用直接开平方法解方程．

【解答】解： (x + 3)2 = 25 ，

x + 3 = ±5 ，

所以 x1 = 2 ， x2 = -8 ．
【点评】本题考查了解一元二次方程- 直接开平方法：形如 x2 = p 或(nx + m)2 = p( p…0) 的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

18．（4 分）一个二次函数的图象经过(-1, 0) ， (0, 6) ， (3, 0) 三点．求：这个二次函数的解析式．
【分析】设一般式 y = ax2 + bx + c ，再把三个点的坐标代入得到关于 a 、b 、 c 的方程组， 然后解方程组求出 a 、b 、 c 即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为 y = ax2 + bx + c ，

ìa - b + c = 0
í
根据题意得： ï9a + 3b + c = 0 ，
î
ïc = 6

ìa = -2
í
解得： ïb = 4 ，
î
ïc = 6

所以抛物线的解析式为 y = -2x2 + 4x + 6 ．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地， 当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时， 可选择设其解析式为交点式来求解．
19．（6 分）如图， AB 为eO 的直径， AC 平分ÐBAD 交eO 于点C ，CD ^ AD ，垂足为点
D ．
求证： CD 是eO 的切线．

【分析】连接OC ，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出ÐDAC = ÐACO ，根据平行线的判定得出OC / / AD ，根据平行线的性质得出OC ^ DC ，再根据切线的判定得出即可．
【解答】证明：连接OC ，

Q AC 平分ÐDAB ，
\ÐDAC = ÐBAC ，
Q OC = OA ，
\ÐBAC = ÐACO ，
\ÐDAC = ÐACO ，
\OC / / AD ，
Q CD ^ AD ，
\OC ^ DC ，

Q OC 过圆心O ，
\CD 是eO 的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，能熟 记经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线是解此题的关键．
20．（6 分）已知函数 y = (k - 2)xk+2 为反比例函数．

（1） 求这个反比例函数的解析式；
（2） 这个函数的图象位于第 二、四 象限；在每一个象限内， y 随 x 的增大而 ；
（3） 当-3„x„ - 1 时，函数的最大值为 ，最小值为 ．

2
【分析】（1）首先根据反比例函数的定义可得 k + 2 = -1，且 k - 2 ¹ 0 ，解出 k 的值即可；
（2） 根据 k - 2 < 0 ，结合反比例函数的性质可得答案；
（3） 根据 y 随 x 增大而增大可得当 x = -3 时， y 最小，当 x = - 1 时， y 最大，代入求值即
2
可．

【解答】解：（1）由题意得： k + 2 = -1，且 k - 2 ¹ 0 ，解得： k = -3 ，
\ k - 2 = -5 ，
\这个反比例函数的解析式为 y = -5 ；
x
（2）Q-5 < 0 ，
\图象在第二、四象限，在各象限内， y 随 x 增大而增大；

故答案为：二、四；增大；

（3）当 x = -3 时， y最小
= -5 = 5 ；
-3 3

当 x = - 1 时， y = -5 = 10 ；

2 最大 - 1

2
故答案为：10 5
； ．
3
【点评】本题主要考查了反比例函数的定义和性质，关键是掌握反比例函数的形式为
y = k (k 为常数， k ¹ 0) 或 y = kx-1(k 为常数， k ¹ 0) ．
x
21．（8 分）如图，DABC 是以 AB = a 为斜边的等腰直角三角形．其内部的 4 段弧均等于以 BC
为直径的 1 圆周．求图中阴影部分的面积．
4
【分析】根据题意得出阴影部分的面积等于半圆的面积- 正方形CEDF 的面积的 2 倍．
【解答】解：连接 AC 的中点 F 与弧的交点 D ， BC 的中点 E 与弧的交点 D ，如图，

QDABC 是等腰直角三角形， AB = a ，

\ AC = BC =

\CE = CF =
2 a ，
2
2 a ，
4

S阴影 = 2 (S半圆 - S正方形CEDF )

= 2 ´[ 1p´ ( 2 a)2 - 2 a ´ 2 a]
2 4 4 4
= 2 ´ ( p a2 - 1 a2 )
16 8
(
= p - 1 )a2 ．
8 4
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形面积的计算，明确阴影部分的面积等于半

圆的面积- 正方形CEDF 的面积的 2 倍是解题的关键．
22．（10 分）为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，

2021 年 12 月 3 日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；①24 点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统 计图，如图．
（1） 木次随机抽查的学生人数为 60 人，补全图（Ⅰ）；

（2） 参加活动的学生共有 500 名，可估计出其中最喜爱“①数独挑战”的学生人数为 人， 图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 度；
（3） 计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项作为重点直播项目，请用列表或 画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．

【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；

（2） 由该校人数乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数 独挑战”的人数，再用360° 乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例即可；
（3） 画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次随机抽查的学生人数为： 18 ¸ 30% = 60 （人) ，则喜爱⑤玩转魔方游戏的人数为： 60 - 15 - 18 - 9 - 6 = 12 （人) ，
补全图（Ⅰ）如下：

故答案为：60；

（2） 估计该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数为： 500 ´ 15 = 125 （人) ，
60
图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为： 360°´ 15 = 90° ，
60
故答案为：125，90；

（3） 画树状图如图：

共有 12 个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有 2 个，
\恰好选中“①，④”这两项活动的概率为 2 = 1 ．
12 6
【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法 展示所有等可能的结果求出 n ，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m ，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率．
23．（10 分）一个菱形两条对角线长的和是10cm ，面积是12cm2 ，求菱形的周长．
【分析】先设菱形的一条对角线为 xcm ，则另一条对角线为(10 - x)cm ，再利用菱形的面积
= 对角线乘积的一半，即可列方程，解出得到两条对角线长，再利用菱形的性质和勾股定理即可求得边长，从而得到周长．
【解答】解：如图设菱形的一条对角线为 xcm ，则另一条对角线为(10 - x)cm ，
1 x(10 - x) = 12 ，
2

解得 x1 = 4 ， x2 = 6 ，

即 BD = 4 ， AC = 6 ，

OA2 + OB2
32 + 22
13
在RtDAOB 中， AB = = = ，

13
所以菱形的周长为 4 ．

【点评】本题主要考查菱形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形性质和菱形的面积公式 是关键．
24．（12 分）已知抛物线 y = x2 + mx + n 与 x 轴的负、正半轴分别交于 A ， B 两点，与 y 轴

的负半轴交于点 D ，点C 是抛物线的顶点．

（1） 若OA - OB = 2 ，求该抛物线的对称轴；
（2） 在（1）的条件下，连接 AD ， CD ，若 AD ^ CD ，求该抛物线的解析式；
（3） 若OA - OB = 2 p ，点 D 的坐标为(0, - | p |) ，请判断点C 是否存在最高点或最低点，若存在，求该点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令 y = 0 ，则 x2 + mx + n = 0 ，则 x + x = -m ，再由OA - OB = -(x + x ) = m = 2 ，
1 2 1 2

即可求 m 的值；
（2）过点C 作CE ^ y 轴交于点 E ，求出 D(0, n) ，C(-1, n -1) ，则可求ÐCDE = ÐADO = 45° ， 得到 A(n, 0) ，再将 A 点代入解析式可得 n = -3 ，即可求 y = x2 + 2x - 3 ；
（3）由题意可得 y = x2 + mx + n = (x + p)2 - p2 - | p |，则C(- p, - p2 - | p |) ，所以当 p = 0 时，

- p2 - | p | 有最大值 0，此时抛物线为 y = x2 ，抛物线与 x 轴只有一个交点，不符合题意，故点C 不存在最高点或最低点．
【解答】解：（1）令 y = 0 ，则 x2 + mx + n = 0 ，

\ x1 + x2 = -m ，

Q OA - OB = 2 ，
\-(x1 + x2 ) = m = 2 ，

\ y = x2 + 2x + n = (x + 1)2 + -1 + n ，

\对称轴为直线 x = -1 ；
（2） 过点C 作CE ^ y 轴交于点 E ，

Q y = x2 + 2x + n ，
\ D(0, n) ， C(-1, n -1) ，
\ DE = n - n + 1 = 1 ，
\ÐCDE = 45° ，
Q AD ^ CD ，
\ÐADC = 90° ，
\ÐADO = 45° ，
\ AO = DO ，
\ A(n, 0) ，
\ n2 + 2n + n = 0 ，
\ n = 0 （舍) 或 n = -3 ，

\ y = x2 + 2x - 3 ；

（3） 不存在，理由如下：
Q OA - OB = 2 p ，
\ m = 2 p ，
Q点 D 的坐标为(0, - | p |) ，
\ n = - | p | ，

\ y = x2 + mx + n = x2 + 2 px- | p |= (x + p)2 - p2 - | p | ，

\C(- p, - p2 - | p |) ，

Q| p | …0 ，

\- p2 - | p |„0 ，

\当 p = 0 时， - p2 - | p | 有最大值 0，

此时抛物线为 y = x2 ，