2022-2023学年广东省广州二中九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州二中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共 11 小题，每小题 3 分，满分 33 分）
1．（3 分）如图图案中，不是中心对称图形的是( )

A． B． C． D． 2．（3 分）从拼音“ shuxue ”中随机抽取一个字母，抽中字母u 的概率为( )

第 9页（共 20页）

A. 1
3
B. 1
4
C. 1
5
D. 1
6

3．（3 分）正十边形的中心角是( )

A．18° B． 36° C． 72° D．144°
4．（3 分）已知eO 半径为 4，圆心O 在坐标原点上，点 P 的坐标为(3, 4) ，则点 P 与eO 的位置关系是( )
A．点 P 在eO 内 B．点 P 在eO 上 C．点 P 在eO 外 D．不能确定
5．（3 分）某超市销售一种饮料．平均每天可售出 100 箱，每箱利润 12 元．为了扩大销售，

增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价 1 元，每天可多售出 20 箱．若要使每天销售饮料获利 1400 元，设每箱降价的价钱为 x 元，则根据题意可列方程( )

A． (12 - x)(100 + 20x) = 1400
C． (12 - x)(100 - 20x) = 1400
B． (12 + x)(100 + 20x) = 1400
D． (12 + x)(100 - 20x) = 1400

6．（3 分）当 a ¹ 0 时，函数 y = ax + 1 与函数 y = a 在同一坐标系中的图象可能是( )
x

A． B．
C． D．

7．（3 分）如图， DABC 中， ÐCAB = 65° ，在同一平面内，将DABC 绕点 A 旋转到DAED 的位置，使得 DC / / AB ，则ÐBAE 等于( )
A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°
8．（3 分）如图，正三角形 ABC 内接于圆 O，动点 P 在圆周的劣弧 AB 上，且不与 A，B 重合，则∠BPC 等于（ ）

A．30° B．60° C．90° D．45°
9．（3 分）如图， eO 的半径为 3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连接OP ，若OP = 4 ，
ÐP = 30° ，则弦 AB 的长为( )

5
A. 2
B. 2 C．
D．2

3
5
10．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中， A 为双曲线 y = - 6 上一点，点 B 的坐标为(4, 0) ．若
x
DAOB 的面积为 6，则点 A 的坐标为( )

A． (-
3
4, )
2
B． (4, - 3)
2

C． (-2, 3) 或(2, -3) D． (-3, 2) 或(3, -2)

11．（3 分）已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 的图象如图所示，有下列 5 个结论：

① abc > 0 ；② b < a + c ；③ 4a + 2b + c > 0 ；④ 2c < 3b ；⑤ a + b > m(am + b)(m ¹ 1 的实数）．其中正确的结论有( )

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个二、填空题（本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 18 分）
12．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ．
13．（3 分）若反比例函数 y = k - 1 的图象在其每个象限内， y 随 x 的增大而减小，则 k 的取
x
值范围为 ．

14．（3 分）如图，四边形 ABCD 与四边形 A¢B¢C¢D¢ 位似，位似中心为点O ，OC = 6 ，CC¢ = 4 ，
AB = 3 ，则 A¢B¢ = ．
15．（3 分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB ．他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边 DE = 40cm ， EF = 20cm ，测得边 DF 离地面的高度 AC = 1m ． CD = 8m ．则树高 AB = m ．

16．（3 分）如图，在DABC 中，ÐBAC = 90° ，AD ^ BC ，若 AD = 3 ，则 BD × DC 的值为 ．
17．（3 分）正比例函数 y = k x 与反比例函数 y = k2 的图象交于 A 、 B 两点，若点 A 的坐标

1 x
是(1, 2) ，则点 B 的坐标是 ．

18．（3 分）已知抛物线 y = x2 + mx + n 的图象经过(-3, 0) ， (1, 0) ．则此抛物线的顶点坐标

是 ．

19．（3 分）如图所示，矩形纸片 ABCD 中， AD = 12cm ，把它分割成正方形纸片 ABFE 和矩形纸片 EFCD 后，分别裁出扇形 ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧
面，则圆锥的表面积为 cm2 ．（结果保留p)

20．（3 分）如图，RtDABC 中， AB ^ BC ， AB = 6 ， BC = 4 ， P 是DABC 内部的一个动点，且满足ÐPAB = ÐPBC ，则线段CP 长的最小值为 ．

三、解答题：（每小题 10 分，共 40 分）

21．（10 分）解方程：

（1） x2 - 2x - 3 = 0 （2） (2x + 1)2 = 3(2x + 1) ．

发言次数 n
A
0„n < 3
B
3„n < 6
c
6„n < 9
p
9„n < 12
E
12„n < 15
F
15„n < 18

22．（10 分）某会议期间，记者随机抽取参会的部分代表，对他们某天发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据回答下列 问题：

（1） 样本容量为 ，并补全直方图；

（2） 已知 A 组发表提议的代表中恰有 1 位女士， E 组发表提议的代表中只有 2 位男士，现从 A 组与 E 组中分别抽一位代表写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位代表恰好都是男士的概率．

23．（10 分）如图，已知一次函数 y = -x + 2 与反比例函数 y = k 的图象交于 A ， B 两点，与
x
x 轴交于点 M ，且点 A 的横坐标是-2 ， B 点的横坐标是 4．
（1） 求反比例函数的解析式；

（2） 求DAOM 的面积；
（3） 根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时 x 的取值范围．

24．（10 分）如图， A ， B ， C 三点在eO 上，直径 BD 平分ÐABC ，过点 D 作 DE / / AB 交弦 BC 于点 E ，在 BC 的延长线上取一点 F ，使得 EF = DE ．
（1） 求证： DF 是eO 的切线；
（2） 连接 AF 交 DE 于点 M ，若 AD = 4 ， DE = 5 ，求 DM 的长．

2022-2023 学年广东省广州二中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共 11 小题，每小题 3 分，满分 33 分）
1．（3 分）如图图案中，不是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．
【解答】解： A 、是中心对称图形，故 A 选项错误；

B 、是中心对称图形，故 B 选项错误；

C 、是中心对称图形，故C 选项错误； D 、不是中心对称图形，故 D 选项正确； 故选： D ．
2．（3 分）从拼音“ shuxue ”中随机抽取一个字母，抽中字母u 的概率为( )

A. 1
3
B. 1
4
C. 1
5
D. 1
6

【解答】解：Q单词“ shuxue ”，共 6 个字母， u 有 2 个，
\抽中l 的概率为 2 = 1 ，
6 3
故选： A ．
3．（3 分）正十边形的中心角是( )

A．18° B． 36° C． 72° D．144°
【解答】解：正十边形的中心角为： 360° = 36° ．
10
故选： B ．
4．（3 分）已知eO 半径为 4，圆心O 在坐标原点上，点 P 的坐标为(3, 4) ，则点 P 与eO 的位置关系是( )
A．点 P 在eO 内 B．点 P 在eO 上 C．点 P 在eO 外 D．不能确定
【解答】解：Q P 的坐标为(3, 4) ，

32 + 42
\OP = = 5 ．

QeO 的半径为 4， 5 > 4 ，
\点 P 在eO 外． 故选： C ．

5．（3 分）某超市销售一种饮料．平均每天可售出 100 箱，每箱利润 12 元．为了扩大销售，

增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价 1 元，每天可多售出 20 箱．若要使每天销售饮料获利 1400 元，设每箱降价的价钱为 x 元，则根据题意可列方程( )

A． (12 - x)(100 + 20x) = 1400
C． (12 - x)(100 - 20x) = 1400
B． (12 + x)(100 + 20x) = 1400
D． (12 + x)(100 - 20x) = 1400

【解答】解：设每箱降价的价钱为 x 元，则每箱的利润为(12 - x) 元，每天的销售量为
(100 + 20x) 箱，
依题意，得(12 - x)(100 + 20x) = 1400 ． 故选： A ．
6．（3 分）当 a ¹ 0 时，函数 y = ax + 1 与函数 y = a 在同一坐标系中的图象可能是( )
x

A． B．
C． D．
【解答】解：当 a > 0 时， y = ax + 1 过一、二、三象限， y = a 在一、三象限；
x
当 a < 0 时， y = ax + 1 过一、二、四象限， y = a 在二、四象限；
x
故选： A ．

7．（3 分）如图， DABC 中， ÐCAB = 65° ，在同一平面内，将DABC 绕点 A 旋转到DAED 的位置，使得 DC / / AB ，则ÐBAE 等于( )
A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°

【解答】解：Q DC / / AB ，
\ÐDCA = ÐCAB = 65° ，
QDABC 绕点 A 旋转到DAED 的位置，
\ÐBAE = ÐCAD ， AC = AD ，
\ÐADC = ÐDCA = 65° ，
\ÐCAD = 180° - ÐADC - ÐDCA = 50° ，
\ÐBAE = 50° ． 故选： C ．
8．（3 分）如图，正三角形 ABC 内接于圆 O，动点 P 在圆周的劣弧 AB 上，且不与 A，B 重合，则∠BPC 等于（ ）

A．30° B．60° C．90° D．45°

【解答】解：∵△ABC 正三角形，

∴∠A＝60°，

∴∠BPC＝60°． 故选：B．
9．（3 分）如图， eO 的半径为 3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连接OP ，若OP = 4 ，
ÐP = 30° ，则弦 AB 的长为( )

第 20页（共 20页）

5
A. 2
B. 2 C．
D．2

3
5
【解答】解：连接OA ，作OC ^ AB 于C ， 则 AC = BC ，
Q OP = 4 ， ÐP = 30° ，

\OC = 2 ，

OA2 - OC2
5
\ AC = = ，

5
\ AB = 2 AC = 2 ，

故选： A ．

10．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中， A 为双曲线 y = - 6 上一点，点 B 的坐标为(4, 0) ．若
x
DAOB 的面积为 6，则点 A 的坐标为( )

A． (-
3
4, )
2
B． (4, - 3)
2

C． (-2, 3) 或(2, -3)
【解答】解：设点 A 的坐标为(- 6 ， a) ，
a
Q点 B 的坐标为(4, 0) ．若DAOB 的面积为 6，
D． (-3, 2) 或(3, -2)

\ SDAOB
= 1 ´ 4´ | a |= 6 ，
2

解得： a = ±3 ，
\点 A 的坐标为(-2 ， 3)(2 ， -3) ． 故选： C ．
11．（3 分）已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 的图象如图所示，有下列 5 个结论：

① abc > 0 ；② b < a + c ；③ 4a + 2b + c > 0 ；④ 2c < 3b ；⑤ a + b > m(am + b)(m ¹ 1 的实数）．其中正确的结论有( )

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个

【解答】解：开口向下，a < 0 ；对称轴在 y 轴的右侧， a 、b 异号，则b > 0 ；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方， c > 0 ，则 abc < 0 ，所以①不正确；
当 x = -1 时图象在 x 轴上，则 y = a - b + c = 0 ，即 a + c = b ，所以②不正确；
对称轴为直线 x = 1 ，则 x = 2 时图象在 x 轴上方，则 y = 4a + 2b + c > 0 ，所以③正确；
x = - b = 1，则 a = - 1 b ，而 a - b + c = 0 ，则- 1 b - b + c = 0 ， 2c = 3b ，所以④不正确；
2a 2 2
开口向下， 当 x = 1 ， y 有最大值 a + b + c ； 当 x = m(m ¹ 1) 时， y = am2 + bm + c ， 则
a + b + c > am2 + bm + c ，即 a + b > m(am + b)(m ¹ 1) ，所以⑤正确． 故选： A ．

二、填空题（本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 18 分）

12．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k < 1 ．
【解答】解：根据题意得△ = (-2)2 - 4 ´ k > 0 ，

解得 k < 1 ．
故答案为： k < 1 ．
13．（3 分）若反比例函数 y = k - 1 的图象在其每个象限内， y 随 x 的增大而减小，则 k 的取
x
值范围为 k > 1 ．
【解答】解：Q反比例函数 y = k - 1 的图象在其每个象限内， y 随 x 的增大而减小，
x
\ k - 1 > 0 ， 解得： k > 1，
故答案为： k > 1．
14．（3 分）如图，四边形 ABCD 与四边形 A¢B¢C¢D¢ 位似，位似中心为点O ，OC = 6 ，CC¢ = 4 ，
AB = 3 ，则 A¢B¢ = 5 ．

【解答】解：Q四边形 ABCD 与四边形 A¢B¢C¢D¢ 位似，其位似中心为点O ，OC = 6 ，CC¢ = 4 ，

\ OC = 6

= 3 ，

OC¢
\ AB A¢B¢
10 5
= 3 ，
5

Q AB = 3 ，
\ A¢B¢ = 5 ． 故答案为：5．
15．（3 分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB ．他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边 DE = 40cm ，EF = 20cm ，测得边 DF 离地面的高度 AC = 1m ．CD = 8m ．则树高 AB = 5
m ．
【解答】解：QÐDEF = ÐBCD = 90° ，
ÐD = ÐD ，
\DDEF∽DDCB ，
\ BC = DC ，
EF DE
Q DE = 40cm = 0.4m ， EF = 20cm = 0.2m ， AC = 1m ， CD = 8m ，
\ BC = 8 ，
0.2 0.4
\ BC = 4 米，
\ AB = AC + BC = 1 + 4 = 5 米， 故答案为：5．
16．（3 分）如图，在 DABC 中，ÐBAC = 90° ，AD ^ BC ，若 AD = 3 ，则 BD × DC 的值为 9 ．
【解答】解：QÐBAC = 90° ，
\ÐBAD + ÐCAD = 90° ，

Q AD ^ BC ，
\ÐADB = ÐCDA = 90° ，
\ÐB + ÐBAD = 90° ，
\ÐB = ÐCAD ，
\DADB∽DCDA ，
\ AD = BD ，
CD AD
即 BD × CD = AD 2 = 32 = 9 ， 故答案为：9．
17．（3 分）正比例函数 y = k x 与反比例函数 y = k2 的图象交于 A 、 B 两点，若点 A 的坐标

1 x
是(1, 2) ，则点 B 的坐标是 (-1, -2) ．
【解答】解：Q正比例函数 y = k x 与反比例函数 y = k2 的两交点 A 、 B 关于原点对称，

1 x
\点 A(1, 2) 关于原点对称点 B 的坐标为(-1, -2) ． 故答案为(-1, -2) ．
18．（3 分）已知抛物线 y = x2 + mx + n 的图象经过(-3, 0) ，(1, 0) ．则此抛物线的顶点坐标是

(-1, -4) ．

【解答】解：Q二次函数 y = x2 + mx + n 过点(-3, 0) ， C(1, 0) ，

ì0 = (?3)2 + (?3)m + n
î
\ í0 = 12 + m + n ．

ín = -3
解得： ìm = 2 ，
î

\二次函数的解析式为 y = x2 + 2x - 3 ；

\ y = x2 + 2x - 3 = (x + 1)2 - 4 ，

\抛物线的顶点坐标为： (-1, -4) ． 故答案为： (-1, -4) ．
19．（3 分）如图所示，矩形纸片 ABCD 中， AD = 12cm ，把它分割成正方形纸片 ABFE 和矩形纸片 EFCD 后，分别裁出扇形 ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧
面，则圆锥的表面积为 20p cm2 ．（结果保留p)

【解答】解：设圆锥的底面半径为 xcm ，则扇形 ABF 的半径为(12 - 2 x)cm ， 由题意得，
2px = 90p(12 - 2x) ，
180
解得 x = 2 ，
即圆锥的底面半径为 2cm ， AB = BF = 12 - 4 = 8cm ，
\圆锥的底面积为p´ 22 = 4p(cm2 ) ，侧面积为 1p´ 82 = 16p(cm2 ) ，
4

\圆锥的表面积为 4p+16p= 20p(cm2 ) ， 故答案为： 20p．
20．（3 分）如图，RtDABC 中， AB ^ BC ， AB = 6 ， BC = 4 ， P 是DABC 内部的一个动点，
且满足ÐPAB = ÐPBC ，则线段CP 长的最小值为 2 ．

【解答】解：QÐABC = 90° ，
\ÐABP + ÐPBC = 90° ，
QÐPAB = ÐPBC
\ÐBAP + ÐABP = 90° ，
\ÐAPB = 90° ，
\点 P 在以 AB 为直径的eO 上，连接OC 交eO 于点 P ，此时 PC 最小， 在RtDBCO 中，QÐOBC = 90° ， BC = 4 ， OB = 3 ，
OB2 + BC2
\OC = = 5 ，

\ PC = OC - OP = 5 - 3 = 2 ．

\ PC 最小值为 2． 故答案为 2．

三、解答题：（每小题 10 分，共 40 分）

21．（10 分）解方程：

（1） x2 - 2x - 3 = 0 ；

（2） (2x + 1)2 = 3(2x + 1) ．

【解答】解：（1） x2 - 2x - 3 = 0 ，
(x - 3)(x + 1) = 0

\ x1 = 3 ， x2 = -1 ；

（2） (2x + 1)2 = 3(2x + 1) ，

(2x + 1)2 - 3(2x + 1) = 0 ，

(2x + 1)(2x + 1 - 3) = 0 ，
2x + 1 = 0 或2x + 1 - 3 = 0 ，
x = - 1 ， x = 1 ．

1 2 2

发言次数 n
A
0„n < 3
B
3„n < 6
c
6„n < 9
p
9„n < 12

22．（10 分）某会议期间，记者随机抽取参会的部分代表，对他们某天发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据回答下列 问题：

E
12„n < 15
F
15„n < 18
（1） 样本容量为 50 ，并补全直方图；

（2） 已知 A 组发表提议的代表中恰有 1 位女士， E 组发表提议的代表中只有 2 位男士，现从 A 组与 E 组中分别抽一位代表写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位代表恰好都是男士的概率．

【解答】解：（1）样本容量为：10 ¸ 20% = 50 ，
则 A 组的人数为：50 ´ 6% = 3 （人) ， C 组的人数为： 50 ´ 30% = 15 （人) ， D 组的人数为：
50 ´ 26% = 13 （人) ， E 组的人数为： 50 ´ 8% = 4 （人) ，
\ F 组的人数为： 50 - 3 - 10 - 15 - 13 - 4 = 5 （人) ， 故答案为：50，
补全直方图如下：

（2）Q A 组发表提议的代表中恰有 1 位女士， E 组发表提议的代表中只有 2 位男士，
\ A 组有 1 位女士、2 位男士， E 组有 2 位男士，2 位女士， 画树状图如下：

共有 12 种等可能的结果，其中所抽的两位代表恰好都是男士的结果有 4 种，
\所抽的两位代表恰好都是男士的概率为 4 = 1 ．
12 3
23．（10 分）如图，已知一次函数 y = -x + 2 与反比例函数 y = k 的图象交于 A ， B 两点，与
x
x 轴交于点 M ，且点 A 的横坐标是-2 ， B 点的横坐标是 4．
（1） 求反比例函数的解析式；

（2） 求DAOM 的面积；
（3） 根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时 x 的取值范围．

【解答】解：（1）Q点 A 的横坐标是-2 ， B 点的横坐标是 4，
\当 x = -2 时， y = -(-2) + 2 = 4 ， 当 x = 4 时， y = -4 + 2 = -2 ，
\ A(-2, 4) ， B(4, -2) ，
Q反比例函数 y = k 的图象经过 A ， B 两点，
x
\ k = -2 ´ 4 = -8 ，
\反比例函数的解析式为 y = - 8 ；
x
（2）一次函数 y = -x + 2 中，令 y = 0 ，则 x = 2 ，
\ M (2, 0) ，即 MO = 2 ，

\DAOM 的面积= 1 ´ OM ´ | y
2 A
|= 1 ´ 2 ´ 4 = 4 ；
2

（3）Q A(-2, 4) ， B(4, -2) ，
\由图象可得，反比例函数值大于一次函数值时 x 的取值范围为： -2 < x < 0 或 x > 4 ．
24．（10 分）如图， A ， B ， C 三点在eO 上，直径 BD 平分ÐABC ，过点 D 作 DE / / AB 交弦 BC 于点 E ，在 BC 的延长线上取一点 F ，使得 EF = DE ．
（1） 求证： DF 是eO 的切线；
（2） 连接 AF 交 DE 于点 M ，若 AD = 4 ， DE = 5 ，求 DM 的长．

【解答】（1）证明：Q BD 平分ÐABC ，
\ÐABD = ÐCBD ．

Q DE / / AB ，
\ÐABD = ÐBDE ．
\ÐCBD = ÐBDE ．
Q ED = EF ，
\ÐEDF = ÐEFD ．
QÐEDF + ÐEFD + ÐEDB + ÐEBD = 180° ，
\ÐBDF = ÐBDE + ÐEDF = 90° ．
\OD ^ DF ．

Q OD 是半径，
\ DF 是eO 的切线．
（2）解：连接 DC ，
Q BD 是eO 的直径，

\ÐBAD = ÐBCD = 90° ．
QÐABD = ÐCBD ， BD = BD ，
\DABD @ DCBD ．
\CD = AD = 4 ， AB = BC ．
Q DE = 5 ，

DE2 - DC2
\ CE =
QÐCBD = ÐBDE ，
\ BE = DE = 5 ．
= 3 ， EF = DE = 5 ．

\ BF = BE + EF = 10 ， BC = BE + EC = 8 ．
\ AB = 8 ．

Q DE / / AB ，
\DABF∽DMEF ．
\ AB = BF ．
ME EF
\ ME = 4 ．
\ DM = DE - EM = 1 ．