2021-2022学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2021-2022 学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）下列关于防范“新冠肺炎”的宣传标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． 戴口罩讲卫生 B． 有症状早就医
C． 勤洗手勤通风 D． 少出门少聚集
2．（3 分）下列事件是必然事件的是( )

A. 同圆中，圆周角等于圆心角的一半

B. 投掷一枚均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数为 50 次

C. 参加社会实践活动的 367 个同学中至少有两个同学的生日是同一天

D. 把一粒种子种在花盆中，一定会发芽

3．（3 分）抛物线 y = 2(x +1)2 不经过的象限是( )

A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限4．（3 分）抛物线 y = (x + 2)2 + 1可由抛物线 y = x2 平移得到，下列平移正确的是( )
A. 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位

B. 先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位

C. 先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位

D. 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位

5．（3 分）在一只暗箱里放有 a 个除颜色外其他完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现， 摸到红球的频率稳定在 20% ，那么可以推算 a 大约是( )
5
3
5
A．15 B．12 C．9 D．4 6．（3 分）半径等于 4 的圆中，垂直平分半径的弦长为( )

第 9页（共 25页）

3
A. 4
B. 4
C. 2
D. 2

7．（3 分）若 x = -1 是关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx - 2 = 0(a ¹ 0) 的一个根，则2021 - 2a + 2b

的值等于( )

A．2015 B．2017 C．2019 D．2022

8．（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6，以顶点 A 为圆心， AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为( )

A． 2p B． 4p C． 2p+ 12 D． 4p+ 12

9．（3 分）在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a ， e A 的半径为 2．下列说法中不正确的是( )
A．当 a < 5 时，点 B 在e A 内 B．当1 < a < 5 时，点 B 在e A 内
C．当 a < 1 时，点 B 在e A 外 D．当 a > 5 时，点 B 在e A 外
10．（3 分）如图，在 RtDABC 中，ÐACB = 90° ，将 DABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△ A¢B¢C ， M 是 BC 的中点， P 是 A¢B¢ 的中点，连接 PM ．若 BC = 2 ，ÐBAC = 30° ，则线段 PM 的最 大值是( )

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）从一副没有“大小王”的 52 张普通扑克牌中随机抽取一张，牌面上数为“5”的概率是 ．

12．（3 分）如图，在eO 中， AC = BD ，若ÐAOC = 120° ，则ÐBOD = ．

13．（3 分）已知圆锥的底面半径为 5cm ，它的侧面积是 35pcm2 ，则这个圆锥的母线长为
cm ．

14．（3 分）已知二次函数 y = 3(x - 5)2 ，当 x 分别取 x ， x (x ¹ x ) 时，函数值相等，则当
1 2 1 2

x = x1 + x2 时，函数值为 ．
2

15．（3 分）已知(x + 3)(x - 2) + m = x2 + x ，则一元二次方程 x2 + x - m = 0 的根是 ．

16．（3 分）如图，将半径为 4，圆心角为120° 的扇形OAB 绕点 A 逆时针旋转60° ，点O ，B的对应点分别为O¢ ， B¢ ，连接 BB¢ ，则图中阴影部分的面积是 ．

三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）

17．（4 分）解方程： x2 + 6x - 7 = 0 ．

18．（4 分）如图，在DABC 中，ÐCAB = 70° ，在同一平面内，将 DABC 绕点 A 旋转到△ AB¢C¢
的位置，使得CC¢ / / AB ，求ÐCC¢A 的度数．

19．（6 分）在“双减”政策下，某学校自主开设了 A 书法、 B 篮球、C 足球、 D 器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．若小明和小刚两位同学各计划选修一门 课程，请用列表或树状图求他们两人恰好同时选修球类的概率．

20．（6 分）如图，在DABC 中， ÐA = ÐB = 30° ．
（1） 尺规作图：在线段 AB 上找一点O ，以O 为圆心作圆，使eO 经过 B 、C 两点；
（2） 在（1）中所作图中，求证： AC 与eO 的相切．

21．（8 分）在DABC 中， AB = BC = 4 ， ÐABC = 90° ， M 是 AC 的中点，点 N 在边 AB 上
（不与点 A ， B 重合），将 DANM 绕点 M 逆时针旋转90° 得到DBPM ．问： DBPN 的面积能否等于 3，请说明理由．

22．（10 分）如图， PA ， PB 与eO 相切，切点为 A ， B ， CD 与eO 相切于点 E ，分别交
PA ， PB 于点 D ， C ．若 PA ， PB 的长是关于 x 的一元二次方程 x2 - mx + m - 1 = 0 的两个根．
（1） 求 m 的值；
（2） 求DPCD 的周长．

23．（10 分）某企业投资 100 万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利 33 万元，但使用 8 年后生产线报废该生产线投产后，从第 1 年到第 x 年
的维修、保养费用累计为 y 万元，且 y = ax2 + bx ，若第 1 年的维修、保养费为 2 万元，第 2

年的为 4 万元．

（1） 求 a 的值；
（2） 小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能赢利 100 万元．你认为这个判断正确吗？请说明理由．

24．（12 分）已知， P 是直线 AB 上一动点（不与 A ， B 重合），以 P 为直角顶点作等腰直角三角形 PBD ，点 E 是直线 AD 与DPBD 的外接圆除点 D 以外的另一个交点，直线 BE 与直线 PD 相交于点 F ．
（1） 如图，当点 P 在线段 AB 上运动时，若ÐDBE = 30° ， PB = 2 ，求 DE 的长；
（2） 当点 P 在射线 AB 上运动时，试探求线段 AB ， PB ， PF 之间的数量关系，并给出证明．

25．（12 分）已知二次函数 y = -9x2 - 6ax - a2 + 2a ．

（1） 当 a = 1 时，求该二次函数的最大值；
（2） 若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数 a 的值；
（3） 若该二次函数在- 1 „x„ 1 有最大值-3 ，求实数 a 的值．
3 3

2021-2022 学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）下列关于防范“新冠肺炎”的宣传标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
．
A． 戴口罩讲卫生 B． 有症状早就医 C
勤洗手勤通风 D． 少出门少聚集
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．

【解答】解： A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选： B ．
【点评】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 2．（3 分）下列事件是必然事件的是( )
A. 同圆中，圆周角等于圆心角的一半

B. 投掷一枚均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数为 50 次

C. 参加社会实践活动的 367 个同学中至少有两个同学的生日是同一天

D. 把一粒种子种在花盆中，一定会发芽

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．

【解答】解： A ．同圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是必然事件；

B ．投掷一枚均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数为 50 次是随机事件；

C ．参加社会实践活动的 367 个同学中至少有两个同学的生日是同一天是必然事件；
D ．把一粒种子种在花盆中，一定会发芽是随机事件； 故选： C ．

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下， 一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3 分）抛物线 y = 2(x +1)2 不经过的象限是( )

A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限

【分析】由解析式可求得其对称轴及顶点坐标，结合开口方向可求得图象所在的象限，可求 得答案．
【解答】解：Q y = 2(x +1)2 ，
\抛物线开口向上，对称轴为 x = -1 ，顶点坐标为(-1, 0) ，
\抛物线经过第一、二象限，
\不经过第三、四象限， 故选： C ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在

y = a(x - h)2 + k 中，对称轴为 x = h ，顶点坐标为(h, k ) ．

4．（3 分）抛物线 y = (x + 2)2 + 1可由抛物线 y = x2 平移得到，下列平移正确的是( )

A. 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位

B. 先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位

C. 先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位

D. 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位

【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．

【解答】解：抛物线 y = x2 向左平移 2 个单位可得到抛物线 y = (x + 2)2 ，

抛物线 y = (x + 2)2 ，再向上平移 1 个单位即可得到抛物线 y = (x + 2)2 + 1． 故平移过程为：先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位．
故选： C ．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减， 上加下减．
5．（3 分）在一只暗箱里放有 a 个除颜色外其他完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个，
每次将球搅拌均匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，

摸到红球的频率稳定在 20% ，那么可以推算 a 大约是( )

A．15 B．12 C．9 D．4

【分析】红球的个数为 3，而摸到红球的频率稳定在 20% ，据此即可求得 a 的值．
【解答】解：根据题意，球的总个数 a 约为3 ¸ 20% = 15 （个) ， 故选： A ．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位

置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势 来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．（3 分）半径等于 4 的圆中，垂直平分半径的弦长为( )

第 25页（共 25页）

3
A. 4
B. 4
C. 2
D. 2

5
3
5
3
【分析】由题意和垂径定理得OC = 1 OD = 2 ， AC = BC ，再根据勾股定理可得 AC = 2 ，
2
即可得出答案．

【解答】解：如图，由题意得： OA = OD = 4 ，弦 AB 垂直平分半径OD ，
则OC = 1 OD = 2 ， AC = BC ， ÐOCA = 90° ，
2

OA2 - OC2
42 - 22
3
根据勾股定理可得， AC = = = 2 ，

3
\ AB = 2 AC = 4 ，

故选： A ．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．

7．（3 分）若 x = -1 是关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx - 2 = 0(a ¹ 0) 的一个根，则2021 - 2a + 2b

的值等于( )

A．2015 B．2017 C．2019 D．2022

【分析】把 x = -1 代入方程 ax2 + bx - 2 = 0(a ¹ 0) 得 a - b = 2 ，再把 2021 - 2a + 2b 变形为

2021 - 2(a - b) ，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：把 x = -1 代入方程 ax2 + bx - 2 = 0(a ¹ 0) 得 a - b - 2 = 0 ，

\ a - b = 2 ，
\ 2021 - 2a + 2b
= 2021 - 2(a - b)
= 2021 - 2 ´ 2
= 2021 - 4
= 2017 ． 故选： B ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一 元二次方程的解．
8．（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6，以顶点 A 为圆心， AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为( )

A． 2p B． 4p C． 2p+ 12 D． 4p+ 12

【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：Q正六边形的外角和为360° ，
\每一个外角的度数为360° ¸ 6 = 60° ，
\正六边形的每个内角为180° - 60° = 120° ，
Q正六边形的边长为 6，
\图中阴影部分图形的周长为6 + 6 + 120 ×p´ 6 = 12 + 4p，
180
故选： D ．

【点评】考查了正多边形和圆，弧长的计算，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢 记弧长计算公式，难度不大．
9．（3 分）在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a ， e A 的半径为 2．下
列说法中不正确的是( )

A．当 a < 5 时，点 B 在e A 内 B．当1 < a < 5 时，点 B 在e A 内
C．当 a < 1 时，点 B 在e A 外 D．当 a > 5 时，点 B 在e A 外
【分析】先找出与点 A 的距离为 2 的点 1 和 5，再根据“点与圆的位置关系的判定方法”即可解．
【解答】解：由于圆心 A 在数轴上的坐标为 3，圆的半径为 2，
\当 d = r 时， e A 与数轴交于两点：1、5，故当 a = 1 、5 时点 B 在e A 上； 当 d < r 即当1 < a < 5 时，点 B 在e A 内；
当 d > r 即当 a < 1 或 a > 5 时，点 B 在e A 外．
由以上结论可知选项 B 、C 、 D 正确，选项 A 错误． 故选： A ．
【点评】本题考查点与圆的位置关系的判定方法．若用 d 、r 分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当 d > r 时，点在圆外；当 d = r 时，点在圆上；当 d < r 时，点在圆内．
10．（3 分）如图，在 RtDABC 中，ÐACB = 90° ，将 DABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△ A¢B¢C ， M 是 BC 的中点， P 是 A¢B¢ 的中点，连接 PM ．若 BC = 2 ，ÐBAC = 30° ，则线段 PM 的最 大值是( )

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】如图连接 PC ．思想求出 PC = 2 ，根据 PM„PC + CM ，可得 PM„3 ，由此即可解决问题．
【解答】解：如图连接 PC ．
在RtDABC 中，QÐA = 30° ， BC = 2 ，
\ AB = 4 ，
根据旋转不变性可知， A¢B¢ = AB = 4 ，
\ A¢P = PB¢ ，
\ PC = 1 A¢B¢ = 2 ，
2
Q CM = BM = 1 ，

又Q PM„PC + CM ，即 PM„3 ，
\ PM 的最大值为 3（此时 P 、C 、 M 共线）．故选： B ．

【点评】本题考查旋转变换、解直角三角形、直角三角形 30 度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形 的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）从一副没有“大小王”的 52 张普通扑克牌中随机抽取一张，牌面上数为“5”
的概率是 1 ．
13
【分析】因为一副扑克 52 张（没有大、小王），其中数为“5”的共 4 种情况，根据概率计算公式可以得出答案．
【解答】解：因为没有大、小王的扑克牌共有 52 张，其中数为“5”的共 4 种情况，
随机抽取一张，牌面上数为“5”的概率是 4 = 1 ．
52 13
故答案为： 1 ．
13
【点评】此题考查的是概率的求法，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P （A） = m ．
n
12．（3 分）如图，在eO 中， AC = BD ，若ÐAOC = 120° ，则ÐBOD = 120° ．

【分析】证明 ¶AC = B¶D 可得结论．
【解答】解：Q AC = BD ，

\ ¶AC = B¶D ，

\ÐBOD = ÐAOC = 120° ， 故答案为：120° ．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，① 圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
13．（3 分）已知圆锥的底面半径为5cm ，它的侧面积是35pcm2 ，则这个圆锥的母线长为 7
cm ．
【分析】根据扇形面积公式计算，得到答案．

【解答】解：设圆锥的母线的长为 x cm ，

则 1 ´ 2p´ 5 ´ x = 35p， 2
解得， x = 7 ， 故答案为：7．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决 本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．（3 分）已知二次函数 y = 3(x - 5)2 ，当 x 分别取 x ， x (x ¹ x ) 时，函数值相等，则当
1 2 1 2

x = x1 + x2 时，函数值为 0 ．
2
【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可知 x = x1 + x2 = 5 ，从而可以得到当 x = x1 + x2
2 2
时的函数值．

【解答】解：Q二次函数 y = 3(x - 5)2 ，
\该函数图象开口向上，对称轴为直线 x = 5 ，
Q当 x 分别取 x1 ， x2 (x1 ¹ x2 ) 时，函数值相等，
\当 x = x1 + x2 = 5 时，此时函数值为 0，
2
故答案为：0．

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确 题意，利用二次函数图象具有对称性解答．
1
15．（3 分）已知(x + 3)(x - 2) + m = x2 + x ，则一元二次方程 x2 + x - m = 0 的根是 x = -3 ，

x2 = 2 ．

【分析】由(x + 3)(x - 2) + m = x2 + x 得 x2 + x - 6 + m = x2 + x ，据此得出 m 的值，继而代入方程 x2 + x - m = 0 ，进一步求解即可．
【解答】解：由(x + 3)(x - 2) + m = x2 + x 得 x2 + x - 6 + m = x2 + x ，

\ m = 6 ，
\ x2 + x - m = 0 可变形为 x2 + x - 6 = 0 ， 则(x + 3)(x - 2) = 0 ，
\ x1 = -3 ， x2 = 2 ，

故答案为： x1 = -3 ， x2 = 2 ．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法： 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3
16．（3 分）如图，将半径为 4，圆心角为120° 的扇形OAB 绕点 A 逆时针旋转60° ，点O ，B

的对应点分别为O¢ ， B¢ ，连接 BB¢ ，则图中阴影部分的面积是
8 - 8p ．

3

【分析】连接OO¢ ， BO¢ ，根据旋转的性质得到ÐOAO¢ = 60° ，推出DOAO¢ 是等边三角形，

得 到 ÐAOO¢ = 60° ， 推 出 △ OO¢B

是 等 边 三 角 形 ， 得 到
ÐAO¢B = 120° ， 得 到

ÐO¢B¢B = ÐO¢BB¢ = 30° ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OO¢ ， BO¢ ，

Q将半径为 4，圆心角为120° 的扇形OAB 绕点 A 逆时针旋转60° ，

\ÐOAO¢ = 60° ，
\DOAO¢ 是等边三角形，
\ÐAOO¢ = 60° ， OO¢ = OA ，
\点O¢ 在eO 上，
Q ÐAOB = 120° ，
\ÐO¢OB = 60° ，
\△ OO¢B 是等边三角形，
\ÐAO¢B = 120°
QÐAO¢B¢ = 120° ，
\ÐB¢O¢B = 120° ，
\ÐO¢B¢B = ÐO¢BB¢ = 30° ，
\ 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为

3
3
ö
-
1 æ 60p´ 42 3 2 8

SV B¢O¢ B - (S扇形O¢OB - SVOO¢ B ) = ´ 2 ´ 4
2
ç 360
- ´ 4
4
÷ = 8
- p．
3

故答案为： 8
è ø

3
- 8p． 3

【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出 辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）

17．（4 分）解方程： x2 + 6x - 7 = 0 ．

【分析】首先把一元二次方程 x2 + 6x - 7 = 0 转化成两个一元一次方程的乘积，即

(x + 7)(x -1) = 0 ，然后解一元一次方程即可．

【解答】解：Q x2 + 6x - 7 = 0 ，

\(x + 7)(x -1) = 0 ，

\ x1 = -7 或 x2 = 1．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，此题难度不大．
18．（4 分）如图，在DABC 中，ÐCAB = 70° ，在同一平面内，将 DABC 绕点 A 旋转到△ AB¢C¢

的位置，使得CC¢ / / AB ，求ÐCC¢A 的度数．
【分析】由平行线性质可得： ÐACC¢ = ÐBAC = 70° ，根据旋转性质得 AC¢ = AC ，根据等腰三角形性质，求得结果．
【解答】解：Q CC¢ / / AB ，
\ÐACC¢ = ÐBAC = 70° ，
QDABC 绕点 A 旋转到△ AB¢C¢ 的位置，
\ AC¢ = AC ，
\ÐCC¢A = ÐACC¢ = 70° ，
【点评】本题考查了旋转性质，平行线性质，等腰三角形性质等知识，解决问题的关键是掌 握相关的基础知识．
19．（6 分）在“双减”政策下，某学校自主开设了 A 书法、 B 篮球、C 足球、 D 器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．若小明和小刚两位同学各计划选修一门 课程，请用列表或树状图求他们两人恰好同时选修球类的概率．
【分析】画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出小明和小刚两人恰好选球类的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如图：
共有 16 个等可能的结果数，其中两人恰好同时选修球类的有 4 种，
则两人恰好同时选修球类的概率是 4 = 1 ．
16 4
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结 果 n ，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m ，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．用到的知识点为：概率= 所求情况数与总情况数之比．
20．（6 分）如图，在DABC 中， ÐA = ÐB = 30° ．

（1） 尺规作图：在线段 AB 上找一点O ，以O 为圆心作圆，使eO 经过 B 、C 两点；
（2） 在（1）中所作图中，求证： AC 与eO 的相切．

【分析】（1）作线段 BC 的垂直平分线 MN ，交 AB 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作eO
即可．
（2）欲证明 AC 是eO 的切线，只要证明ÐACO = 90° 即可．
【解答】解：（1）如图， eO 即为所作．
（2）证明：连接OC
QDABC 中， ÐA = ÐB = 30°
\ÐACB = 120°
由（1）可知， OC = OB
\ÐOCB = ÐB = 30°
\ÐACO = 90°
\ AC 是eO 的相切．
【点评】本题考查作图- 复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8 分）在DABC 中， AB = BC = 4 ， ÐABC = 90° ， M 是 AC 的中点，点 N 在边 AB 上
（不与点 A ， B 重合），将 DANM 绕点 M 逆时针旋转90° 得到DBPM ．问： DBPN 的面积能否等于 3，请说明理由．
【分析】旋转可知， AN = BP ． 设 BP = AN = x ， 则 BN = 4 - x ， 则 DBPN 的面积为
- 1 (x - 2)2 + 2 ，当 x = 2 时， DBPN 的最大面积等于 2，因此DBPN 的面积不能等于 3．
2

【解答】解：如图，

由旋转可知， AN = BP ．
设 BP = AN = x ，则 BN = 4 - x ，

\ SDBPN
= 1 BP × BN = 1 x × (4 - x) = - 1 x2 + 2x = - 1 (x - 2)2 + 2 ，
2 2 2 2

\当 x = 2 时， DBPN 的最大面积等于 2，
\DBPN 的面积不能等于 3．

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质、二次函数最值求法，正确 得出函数关系式是解题关键．
22．（10 分）如图， PA ， PB 与eO 相切，切点为 A ， B ， CD 与eO 相切于点 E ，分别交
PA ， PB 于点 D ， C ．若 PA ， PB 的长是关于 x 的一元二次方程 x2 - mx + m - 1 = 0 的两个根．
（1） 求 m 的值；
（2） 求DPCD 的周长．

【分析】（1）根据切线的性质得到 PA = PB ，得到方程 x2 - mx + m - 1 = 0 有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式列式计算即可；
（2）根据切线长定理得到 DA = DE ， CE = CB ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）Q PA ， PB 与eO 相切，
\ PA = PB ，
Q PA ， PB 的长是关于 x 的一元二次方程 x2 - mx + m - 1 = 0 的两个根，

\方程 x2 - mx + m - 1 = 0 有两个相等的实数根，

\(-m)2 - 4 ´1´ (m -1) = 0 ， 整理得： m2 - 4m + 4 = 0 ， 解得： m1 = m2 = 2 ，
则 m 的值为 2；

（2）当 m = 2 时，原方程为 x2 - 2x + 1 = 0 ， 解得： x1 = x2 = 1 ，即 PA = PB = 1 ，
Q PA ， PB 与eO 相切， CD 与eO 相切，
\ DA = DE ， CE = CB ，
\DPCD 的周长= PD + DE + PC + EC = PD + DA + PC + CB = PA + PB = 2 ．
【点评】本题考查的是切线的性质、一元二次方程根的判别式，掌握切线长定理是解题的关 键．
23．（10 分）某企业投资 100 万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利 33 万元，但使用 8 年后生产线报废该生产线投产后，从第 1 年到第 x 年
的维修、保养费用累计为 y 万元，且 y = ax2 + bx ，若第 1 年的维修、保养费为 2 万元，第 2

年的为 4 万元．

（1） 求 a 的值；
（2） 小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能赢利 100 万元．你认为这个判断正确吗？请说明理由．
【分析】（1）根据条件解方程组易得解析式；

（2）列出利润的表达式，分别代入 x = 4 ， x = 8 即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意， x = 1 时， y = 2 ，

x = 2 时， y = 2 + 4 = 6 ，分别代入 y = ax2 + bx ，

í4a + 2b = 6
得ìa + b = 2 ，
î

íb = 1
解得： ìa = 1 ，
î

\ y = x2 + x ；

（2）设 g = 33x -100 - x2 - x ，

则 g = -x2 + 32x -100 = -(x -16)2 + 156 ， 由于当1„x„16 时， g 随 x 的增大而增大，
故当 x = 3 时， g = -(x -16)2 + 156 = -13 < 0 ，

当 x = 4 时， g = -(x -16)2 + 156 = -(4 -16)2 + 156 = 12 > 0 ，即第 4 年可收回投资；

当 x = 8 时， g = -(x -16)2 + 156 = -(8 -16)2 + 156 = 92 < 100 ，即报废前不能赢利 100 万元．

\小敏同学判断错误．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解此类题的关键是根据题意确定出二 次函数的解析式，实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时．
24．（12 分）已知， P 是直线 AB 上一动点（不与 A ， B 重合），以 P 为直角顶点作等腰直角三角形 PBD ，点 E 是直线 AD 与DPBD 的外接圆除点 D 以外的另一个交点，直线 BE 与直线 PD 相交于点 F ．
（1） 如图，当点 P 在线段 AB 上运动时，若ÐDBE = 30° ， PB = 2 ，求 DE 的长；
（2） 当点 P 在射线 AB 上运动时，试探求线段 AB ， PB ， PF 之间的数量关系，并给出证明．

DP2 + BP2
2
【分析】（1）连接 EP ，首先利用勾股定理得 DB = = 2 ，再利用含30° 角的

直角三角形的性质解决问题；

（2）分点 P 在线段 AB 上或点 P 在线段 AB 的延长线上两种情形，当点 P 在线段 AB 上时， 利用 ASA 证明DAPD @ DFPB ，得 AP = FP ；点 P 在线段 AB 的延长线上时，同理利用 ASA 证明DAPD @ DFPB ， AP = FP ，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接 EP ，

QDPBD 是等腰直角三角形， eO 是DPBD 的外接圆，
\ÐDPB = ÐDEB = 90° ，
2
Q PB = 2 ，

DP2 + BP2
\ DB =
QÐDBE = 30° ，
= 2 ，

2
\ DE = 1 DB = ，
2
（2）当点 P 在线段 AB 上时， 由（1）知ÐADP = ÐFBP ，
QDPBD 是等腰直角三角形，
\ÐDPB = ÐAPD = 90° ， DP = BP ， 在DAPD 与DFPB 中，
ìÐADP = ÐFBP
í
ïDP = BP ，
î
ïÐDPB = ÐAPD

\DAPD @ DFPB(ASA) ，
\ AP = FP ，
Q AP + PB = AB ，
\ FP + PB = AB ，
\ FP = AB - PB ；
点 P 在线段 AB 的延长线上时，如图，

QDPBD 是等腰直角三角形，
\ÐDPB = ÐAPF = 90° ， DP = BP ，
QÐPBF + ÐEBP = 180° ， ÐPDA + ÐEBP = 180° ，
\ÐPBF = ÐPDA ， 在DAPD 与DFPB 中，
ìÐDPB = ÐAPF
í
ïDP = BP ，
î
ïÐPBF = ÐPDA

\DAPD @ DFPB(ASA) ，
\ AP = FP ，
\ AB + PB = AP ，
\ AB + PB = PF ，
\ PF = AB + PB ，
综上所述， 当点 P 在线段 AB 上时， FP = AB - PB ； 当点 P 在线段 AB 延长线上时，
PF = AB + PB ．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，含30° 角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明DAPD @ DFPB 是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．

25．（12 分）已知二次函数 y = -9x2 - 6ax - a2 + 2a ．

（1） 当 a = 1 时，求该二次函数