2020-2021学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2020-2021 学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）如果两个相似三角形的面积比是 1：4，那么它们的周长比是（ ）

A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2 2．（3 分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放新闻
C．射击运动员射击一次，命中十环D．方程 x2﹣kx﹣1＝0 有实数根
3．（3 分）已知点 P（﹣3，2）是反比例函数图象上的一点，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
4．（3 分）一个不透明的袋中，装有 2 个黄球、3 个红球和 5 个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D． 5．（3 分）抛物线 y＝（x﹣2）2+1 的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）

6．（3 分）如图，△ABC 中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC 绕点 A 旋转到△AED的位置，使得 DC∥AB，则∠BAE 等于（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

7．（3 分）如图，正三角形 ABC 内接于圆 O，动点 P 在圆周的劣弧 AB 上，且不与 A，B 重合，则∠BPC 等于（ ）

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A．30° B．60° C．90° D．45°
8．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为双曲线上一点，点 B 的坐标为（4，0）．若
△AOB 的面积为 6，则点 A 的坐标为（ ）
A．（﹣4，） B．（4， ）
C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）

9．（3 分）如图，⊙O 的半径为 3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连接 OP，若 OP＝4，∠ P＝30°，则弦 AB 的长为（ ）

A．2 B．2 C． D．2
10．（3 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1 的实数）．其中正确的结论有（ ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．）
11．（3 分）若点（a，1）与点（﹣2，b）关于原点对称，则 ab＝ ．
12．（3 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC， ，DE＝6，则 BC 的长是 ．

13．（3 分）将二次函数 y＝x2﹣4x+5 化成 y＝（x﹣h）2+k 的形式，则 y＝ ．
14．（3 分）正比例函数 y＝k1x 与反比例函数 y＝的图象交于 A、B 两点，若点 A 的坐标是（1，2），则点 B 的坐标是 ．
15 ．（ 3 分） 如图， 弦 AB 的长等于⊙O 的半径， 那么弦 AB 所对的圆周角的度数是 ．

16．（3 分）如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段 CP 长的最小值为 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
请画出△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A1B1C1．（不要求写作法）
18．（4 分）如图，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ABC∽△ADE．

19．（6 分）为了提高足球基本功，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1） 请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；

（2） 三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
20．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y＝2x 与反比例函数 y＝的图象交于 A，B 两点，A 点的横坐标为 2，AC⊥x 轴于点 C，连接 BC．
（1） 求反比例函数的解析式；

（2） 若点 P 是反比例函数 y＝图象上的一点，且满足△OPC 与△ABC 的面积相等， 请直接写出点 P 的坐标．

21．（8 分）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，BD 是角平分线，以点 D 为圆心，DA 为半径的⊙D 与 AC 相交于点 E
（1） 求证：BC 是⊙D 的切线；
（2） 若 AB＝5，BC＝13，求 CE 的长．

22．（10 分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为 40 元，经市场预测，销售定价

为 50 元，可售出 400 个；定价每增加 1 元，销售量将减少 10 个，设每个定价增加 x 元．

（1） 商店若想获得利润 6000 元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（2） 用含 x 的代数式表示商店获得的利润 W 元，并计算商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少元？
23．（10 分）如图，一次函数 y＝﹣x+4 的图象与反比例 y＝（k 为常数，且 k≠0）的图象交于 A（1，a），B 两点．
（1） 求反比例函数的表达式及点 B 的坐标；

（2） ①在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标；

②在 x 轴上找一点 M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出 M 点的坐标．

24．（12 分）已知△ABC 内接于⊙O，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 DB，DC．
（1） 如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段 AB，AC，AD 之间满足的等量关系式 ；
（2） 如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段 AB，AC，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3） 如图③，若 BC＝m，BD＝n，求的值（用含 m，n 的式子表示）．

25．（12 分）如图，抛物线 L：y＝x2﹣x﹣3 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．
（1） 求直线 AB 的解析式及抛物线顶点坐标；

（2） 如图 1，点 P 为第四象限抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴，垂足为 C，PC 交
AB 于点 D，求 PD+AD 的最大值，并求出此时点 P 的坐标；
（3） 如图 2，将抛物线 L：y＝x﹣3 向右平移得到抛物线 L′，直线 AB 与抛物线 L′交于 M，N 两点，若点 A 是线段 MN 的中点，求抛物线 L′的解析式．

2020-2021 学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）如果两个相似三角形的面积比是 1：4，那么它们的周长比是（ ）

A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是 1：4，

∴两个相似三角形的相似比是 1：2，

∴两个相似三角形的周长比是 1：2， 故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
2．（3 分）下列事件是必然事件的是（ ） A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放新闻
C．射击运动员射击一次，命中十环D．方程 x2﹣kx﹣1＝0 有实数根
【分析】根据事件发生的可能性大小判断，得到答案．

【解答】解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，是随机事件；

B、打开电视频道，正在播放新闻，是随机事件； C、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件；
D、方程 x2﹣kx﹣1＝0 的判别式Δ＝k2+4＞0，则方程有实数根，是必然事件； 故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3．（3 分）已知点 P（﹣3，2）是反比例函数图象上的一点，则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
【分析】把点 P（﹣3，2）代入函数 y＝中可先求出 k 的值，那么就可求出函数解析式．
【解答】解：设反比例函数的解析式为 y＝（k≠0），
∵点 P（﹣3，2）是反比例函数图象上的一 点，

∴2＝，得 k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为 y＝﹣． 故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，此为近几年中考的热点问题， 同学们要熟练掌握．
4．（3 分）一个不透明的袋中，装有 2 个黄球、3 个红球和 5 个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得，共有 10 可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有 5

情况，利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：∵从装有 2 个黄球、3 个红球和 5 个白球的袋中任意摸出一个球有 10 种等可能结果，
其中摸出的球是白球的结果有 5 种，
∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是 ＝， 故选：A．
【点评】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为： 概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（3 分）抛物线 y＝（x﹣2）2+1 的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）

【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．

【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1 是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，

对称轴为直线 x＝2， 故选：D．
【点评】考查了二次函数的性质，顶点式 y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线 x＝h．
6．（3 分）如图，△ABC 中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC 绕点 A 旋转到△AED的位置，使得 DC∥AB，则∠BAE 等于（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【分析】先根据平行线的性质得∠DCA＝∠CAB＝65°，再根据旋转的性质得∠BAE＝∠ CAD，AC＝AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC＝∠DCA＝65°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠DCA＝50°，于是有∠BAE＝50°．
【解答】解：∵DC∥AB，

∴∠DCA＝∠CAB＝65°，

∵△ABC 绕点 A 旋转到△AED 的位置，

∴∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，

∴∠ADC＝∠DCA＝65°，

∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠DCA＝50°，

∴∠BAE＝50°． 故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
7．（3 分）如图，正三角形 ABC 内接于圆 O，动点 P 在圆周的劣弧 AB 上，且不与 A，B 重合，则∠BPC 等于（ ）

A．30° B．60° C．90° D．45°

【分析】由等边三角形的性质知，∠A＝60°，即弧 BC 的度数为 60°，可求∠BPC＝60°．

【解答】解：∵△ABC 正三角形，

∴∠A＝60°，

∴∠BPC＝60°． 故选：B．
【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．和等边三角形的性质求解．
8．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为双曲线上一点，点 B 的坐标为（4，0）．若
△AOB 的面积为 6，则点 A 的坐标为（ ）
A．（﹣4，） B．（4， ）
C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）
【分析】设点 A 的坐标为（﹣，a），根据点 B 的坐标为（4，0），△AOB 的面积为 6，列方程即可得到结论．
【解答】解：设点 A 的坐标为（﹣，a），
∵点 B 的坐标为（4，0）．若△AOB 的面积为 6，
∴S△AOB＝ 4×|a|＝6， 解得：a＝±3，
∴点 A 的坐标为（﹣2，3）（2，﹣3）．故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，三角形的面积的计算，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面
积是 ，且保持不变．
9．（3 分）如图，⊙O 的半径为 3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连接 OP，若 OP＝4，∠

P＝30°，则弦 AB 的长为（ ）

A．2 B．2 C． D．2
【分析】连接 OA，作 OC⊥AB 于 C，根据垂直定理得到 AC＝BC，根据直角三角形的性质得到 OC＝2，根据勾股定理求出 AC 的长即可得到答案．
【解答】解：连接 OA，作 OC⊥AB 于 C， 则 AC＝BC，
∵OP＝4，∠P＝30°，

∴OC＝2，

∴AC＝ ＝，
∴AB＝2AC＝2 ， 故选：A．

【点评】本题考查的是垂直定理和直角三角形的性质，掌握垂直弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
10．（3 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1 的实数）．其中正确的结论有（ ）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个

【分析】观察图象：开口向下得到 a＜0；对称轴在 y 轴的右侧得到 a、b 异号，则 b＞0； 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方得到 c＞0，所以 abc＜0；当 x＝﹣1 时图象在 x 轴上得到 y＝a﹣b+c＝0，即 a+c＝b；对称轴为直线 x＝1，可得 x＝2 时图象在 x 轴上方，则 y
＝4a+2b+c＞0；利用对称轴 x＝﹣＝1 得到 a＝﹣b，而 a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c
＜0，所以 2c＜3b；开口向下，当 x＝1，y 有最大值 a+b+c，得到 a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．
【解答】解：开口向下，a＜0；对称轴在 y 轴的右侧，a、b 异号，则 b＞0；抛物线与 y

轴的交点在 x 轴的上方，c＞0，则 abc＜0，所以①不正确；

当 x＝﹣1 时图象在 x 轴上，则 y＝a﹣b+c＝0，即 a+c＝b，所以②不正确；

对称轴为直线 x＝1，则 x＝2 时图象在 x 轴上方，则 y＝4a+2b+c＞0，所以③正确；
x＝﹣ ＝1，则 a＝﹣b，而 a﹣b+c＝0，则﹣b﹣b+c＝0，2c＝3b，所以④不正确； 开口向下，当 x＝1，y 有最大值 a+b+c；当 x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则 a+b+c
＞am2+bm+c，即 a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，当 a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为
直线 x＝﹣，a 与 b 同号，对称轴在 y 轴的左侧，a 与 b 异号，对称轴在 y 轴的右侧；
当 c＞0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方；当Δ＝b2﹣4ac＞0，抛物线与 x 轴有两个交点．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．）
11．（3 分）若点（a，1）与点（﹣2，b）关于原点对称，则 ab＝ ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得 a、b 的值，进而可得答案．

【解答】解：∵点（a，1）与点（﹣2，b）关于原点对称，

∴a＝2，b＝﹣1，
∴ab＝2﹣1＝ ， 故答案为：．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握：点 P（x，y）关于原点 O 的对称点是 P′（﹣x，﹣y）．
12．（3 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，，DE＝6，则 BC 的长是 18 ．

【分析】由平行可得到 DE：BC＝AD：AB，由 DE＝6 可求得 BC．

【解答】解：∵DE∥BC，
∴DE：BC＝AD：AB＝ ， 即 6：BC＝1：3，
∴BC＝18．

故答案为：18．

【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
13．（3 分）将二次函数 y＝x2﹣4x+5 化成 y＝（x﹣h）2+k 的形式，则 y＝ （x﹣2）2+1 ．
【分析】将二次函数 y＝x2﹣4x+5 的右边配方即可化成 y＝（x﹣h）2+k 的形式．
【解答】解：y＝x2﹣4x+5， y＝x2﹣4x+4﹣4+5， y＝x2﹣4x+4+1， y＝（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝（x﹣2）2+1．

【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）
2+k；两根式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
14．（3 分）正比例函数 y＝k1x 与反比例函数 y＝的图象交于 A、B 两点，若点 A 的坐标是（1，2），则点 B 的坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【分析】由题意可知 A、B 两点关于原点对称，则根据对称性即可得到 B 点坐标．
【解答】解：∵正比例函数 y＝k1x 与反比例函数 y＝的两交点 A、B 关于原点对称，
∴点 A（1，2）关于原点对称点 B 的坐标为（﹣1，﹣2）．故答案为（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，熟知反比例函数的图象关于原点对称的特点是解答此题的关键．
15．（3 分）如图，弦 AB 的长等于⊙O 的半径，那么弦 AB 所对的圆周角的度数是 30°或
150° ．
【分析】首先在优弧上取点 C，连接 AC，BC，在劣弧 AB 上取点 D，连接 AD，BD，由弦 AB 的长等于⊙O 的半径，可得△OAB 是等边三角形，然后利用圆周角定理与圆的内接四边形的性质求得答案．
【解答】解：在优弧上取点 C，连接 AC，BC，在劣弧 AB 上取点 D，连接 AD，BD，

∵弦 AB 的长等于⊙O 的半径，
∴△OAB 是等边三角形，

∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝150°，

∴弦 AB 所对的圆周角的度数是：30°或 150°． 故答案为：30°或 150°．

【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定与性 质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
16．（3 分）如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段 CP 长的最小值为 2 ．

【分析】首先证明点 P 在以 AB 为直径的⊙O 上，连接 OC 与⊙O 交于点 P，此时 PC 最小，利用勾股定理求出 OC 即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，

∴∠ABP+∠PBC＝90°，

∵∠PAB＝∠PBC

∴∠BAP+∠ABP＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴点 P 在以 AB 为直径的⊙O 上，连接 OC 交⊙O 于点 P，此时 PC 最小， 在 RT△BCO 中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝ ＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．

∴PC 最小值为 2． 故答案为 2．

【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点 P 位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ABC 的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
请画出△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A1B1C1．（不要求写作法）
【分析】根据旋转的性质即可画出△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A1B1C1．
【解答】解：如图，△A1B1C1 即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

18．（4 分）如图，已知∠1＝∠2，∠AED＝∠C，求证：△ABC∽△ADE．

【分析】已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出∠DAE＝∠BAC， 即可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，

∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC，
∵∠AED＝∠C，

∴△ABC∽△ADE．

【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟记两角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
19．（6 分）为了提高足球基本功，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1） 请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；

（2） 三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？

【分析】（1）根据题意画出树状图即可；

（2）根据（1）的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解，分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
由树形图可知三次传球有 8 种等可能结果；

（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率＝ ＝ ；传到乙脚下的概率＝ ，

所以球回到乙脚下的概率大．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
20．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y＝2x 与反比例函数 y＝的图象
交于 A，B 两点，A 点的横坐标为 2，AC⊥x 轴于点 C，连接 BC．

（1） 求反比例函数的解析式；

（2） 若点 P 是反比例函数 y＝图象上的一点，且满足△OPC 与△ABC 的面积相等， 请直接写出点 P 的坐标．

【分析】（1）把 A 点横坐标代入正比例函数，可求得 A 点坐标，代入反比例函数解析式， 可求得反比例函数解析式；
（2）由条件可求得 B、C 的坐标，可先求得△ABC 的面积，再结合△OPC 与△ABC 的面积相等，求得 P 点坐标．
【解答】解：（1）∵A 点的横坐标为 2，AC⊥x 轴于点 C，

∴在正比例函数 y＝2x 中，当 x＝2 时，y＝4

∴A（2，4）

将 A（2，4）代入反比例函数 y＝，可得
4＝ ，即 k＝8
∴反比例函数的解析式为 y＝；

（2）∵AC⊥OC，

∴OC＝2，

∵A、B 关于原点对称，

∴B 点坐标为（﹣2，﹣4），

∴B 到 OC 的距离为 4，
∴S△ABC＝2S△ACO＝2× ×2×4＝8，
∴S△OPC＝8，
设 P 点坐标为（x，），则 P 到 OC 的距离为||，
∴×| |×2＝8， 解得 x＝1 或﹣1，
∴P 点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．

【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，在解题时注意：选择 OC 作为△OCP 的底，并根据面积的大小求得 P 点到 OC 的距离是解题的关键．
21．（8 分）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，BD 是角平分线，以点 D 为圆心，DA 为半径的⊙D 与 AC 相交于点 E
（1） 求证：BC 是⊙D 的切线；
（2） 若 AB＝5，BC＝13，求 CE 的长．

【分析】（1）过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，根据角平分线的性质得到 AD＝DF．根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到 AB＝FB．根据和勾股定理列方程即可得到结论．

【解答】（1）证明：过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，

∵∠BAD＝90°，BD 平分∠ABC，

∴AD＝DF．

∵AD 是⊙D 的半径，DF⊥BC，
∴BC 是⊙D 的切线；

（2）解：∵∠BAC＝90°．

∴AB 与⊙D 相切，
∵BC 是⊙D 的切线，
∴AB＝FB．

∵AB＝5，BC＝13，

∴CF＝8，AC＝12． 在 Rt△DFC 中，
设 DF＝DE＝r，则r2+64＝（12﹣r）2，
解得：r＝ ．
∴CE＝12﹣2× ＝．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

22．（10 分）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为 40 元，经市场预测，销售定价

为 50 元，可售出 400 个；定价每增加 1 元，销售量将减少 10 个，设每个定价增加 x 元．

（1） 商店若想获得利润 6000 元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（2） 用含 x 的代数式表示商店获得的利润 W 元，并计算商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少元？
【分析】（1）总利润＝每个的利润×销售量，销售量为（400﹣10x）个，列方程求解， 根据题意取舍；
（2）利用函数的性质求最值．

【解答】解：（1）根据题意得：（50﹣40+x）（400﹣10x）＝6000，解得：x1＝10，x2＝20，
当 x＝10 时，400﹣10x＝400﹣100＝300， 当 x＝20 时，400﹣10x＝400﹣200＝200，
要使进货量较少，则每个定价为 50+20＝70 元，应进货 200 个． 答：每个定价为 70 元，应进货 200 个．
（2）根据题意得：W＝（50﹣40+x）（400﹣10x）＝﹣10x2+300x+4000＝﹣10（x﹣15）
2+6250，
当 x＝15 时，y 有最大值为 6250．

所以每个定价为 65 元时获得最大利润，可获得的最大利润是 6250 元．

【点评】本题主要考查的是二次函数的应用、一元二次方程的应用，明确总利润＝每个的利润×销售量是解题的关键．
23．（10 分）如图，一次函数 y＝﹣x+4 的图象与反比例 y＝（k 为常数，且 k≠0）的图象交于 A（1，a），B 两点．
（1） 求反比例函数的表达式及点 B 的坐标；

（2） ①在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标；

②在 x 轴上找一点 M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出 M 点的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2） 作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连接 AD，交 x 轴于点 P，此时 PA+PB 的值最小；

（3） 直线 y＝﹣x+4 与 x 轴的交点即为 M 点，此时|MA﹣MB|的值为最大，令 y＝0，求得 x 的值，即可求得 M 的坐标．
【解答】（1）把点 A（1，a）代入一次函数 y＝﹣x+4，得 a＝3，

∴A（1，3），

把点 A（1，3）代入反比例 y＝，得 k＝3，
∴反比例函数的表达式 y＝，
解 得 或 ， 故 B（3，1）．
（2） 作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连接 AD，交 x 轴于点 P，此时 PA+PB 的值最小

∴D（3，﹣1）
设直线 AD 的解析式为 y＝mx+n，则，解得 ，
∴直线 AD 的解析式为 y＝﹣2x+5，令 y＝0，则 x＝，
∴P 点坐标为（，0）；
（3） 直线 y＝﹣x+4 与 x 轴的交点即为 M 点，此时|MA﹣MB|的值为最大， 令 y＝0，则 x＝4，
∴M 点的坐标为（4，0）．

【点评】本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
24．（12 分）已知△ABC 内接于⊙O，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 DB，DC．
（1） 如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段 AB，AC，AD 之间满足的等量关系式 AB+AC＝AD ；
（2） 如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段 AB，AC，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3） 如图③，若 BC＝m，BD＝n，求 的值（用含 m，n 的式子表示）．

【分析】（1）在 AD 上截取 AE＝AB，连接 BE，由条件可知△ABE 和△BCD 都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得 DE＝AC，则 AB+AC＝AD；
（2） 延长 AB 至点 M，使 BM＝AC，连接 DM，证明△MBD≌△ACD，可得 MD＝AD， 证得 AB+AC＝AD；
（3） 延长 AB 至点 N，使 BN＝AC，连接 DN，证明△NBD≌△ACD，可得 ND＝AD，∠
N＝∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得，可由 AN＝AB+AC，求出的值．
【解答】解：（1）如图①在 AD 上截取 AE＝AB，连接 BE，

∵∠BAC＝120°，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，

∴△ABE 和△BCD 都是等边三角形，

∴∠ABE＝∠DBC＝60°，

∴∠DBE＝∠ABC，

又∵AB＝BE，BC＝BD，

∴△BED≌△BAC（SAS），

∴DE＝AC，

∴AD＝AE+DE＝AB+AC；

故答案为：AB+AC＝AD．

（2） AB+AC＝ AD．理由如下：
如图②，延长 AB 至点 M，使 BM＝AC，连接 DM，

∵四边形 ABDC 内接于⊙O，
∴∠MBD＝∠ACD，

∵∠BAD＝∠CAD＝45°，

∴BD＝CD，

∴△MBD≌△ACD（SAS），

∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，

∴MD⊥AD．
∴AM＝ AD，即 AB+BM＝AD，
∴AB+AC＝ AD；
（3） 如图③，延长 AB 至点 N，使 BN＝AC，连接 DN，

∵四边形 ABDC 内接于⊙O，
∴∠NBD＝∠ACD，

∵∠BAD＝∠CAD，

∴BD＝CD，

∴△NBD≌△ACD（SAS），

∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，

∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，

∴△NAD∽△CBD，
∴，
∴，
又 AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝m，BD＝n，
∴＝．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题．

25．（12 分）如图，抛物线 L：y＝x2﹣x﹣3 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．
（1） 求直线 AB 的解析式及抛物线顶点坐标；

（2） 如图 1，点 P 为第四象限抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴，垂足为 C，PC 交
AB 于点 D，求 PD+AD 的最大值，并求出此时点 P 的坐标；
（3） 如图 2，将抛物线 L：y＝x﹣3 向右平移得到抛物线 L′，直线 AB 与抛物线 L′交于 M，N 两点，若点 A 是线段 MN 的中点，求抛物线 L′的解析式．

【分析】（1）先求出点 A，点 B 坐标，利用待定系数法可求解析式，通过配方法可求顶点坐标；
（2） CD＝ADsin∠BAO＝ AD，则 PD+AD＝PD+DC＝PC 为最大，即可求解；
（3） 设点 M（x1，y1），点 N（x2，y2），则 x1+x2＝2（m+），而点 A 是 MN 的中点，故
x1+x2＝8，进而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线 L：y＝x2﹣x﹣3 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
∴点 A（4，0），点 B（0，﹣3），设直线 AB 解析式为：y＝kx﹣3，
∴0＝4k﹣3，
∴k＝ ，
∴直线 AB 解析式为：y＝x﹣3①，
∵y＝ x2﹣ x﹣3＝ （x﹣ ）2﹣ ，
∴抛物线顶点坐标为（，﹣ ）；

（2）∵点 A（4，0），点 B（0，﹣3），

∴OA＝4，OB＝3，

∴AB＝ ＝＝5，
则 sin∠BAO＝＝，则 CD＝ADsin∠BAO＝AD， 则 PD+AD＝PD+DC＝PC 为最大，
当点 P 为抛物线顶点时，PC 最大，
故点 P 的坐标为（，﹣ ），
则 PD+AD 的最大值＝PC 为最大，最大值为；

（3）设平移后的抛物线 L'解析式为 y＝（x﹣m）2﹣ ②， 联立①②并整理得：x2﹣2（m+ ）x+m2﹣ ＝0，

设点 M（x1，y1），点 N（x2，y2），
∵直线 AB 与抛物线 L'交于 M，N 两点，
∴x1，x2 是方程 x2﹣2（m+）x+m2﹣ ＝0 的两根，
∴x1+x2＝2（m+ ），
∵点 A 是 MN 的中点，