2021-2022学年广东省广州市海珠外国语实验学校九年级（上）期末数学模拟练习试卷（含答案）.docx

2021-2022 学年广东省广州市海珠外国语实验学校九年级（上） 期末数学模拟练习试卷
一、选择题（共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．（3 分）下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．
2．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知DABC 与DDEF 是位似图形，原点O 是它们的位似中心，且OF = 3OC ，则DABC 与DDEF 的面积之比是( )

A．1: 2 B．1: 4 C．1: 3 D．1: 9
3．（3 分）已知圆锥的高为 12，底面圆的半径为 5，则该圆锥的侧面展开图的面积为( )

A． 65p B． 60p C． 75p D． 70p
4．（3 分）男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了 6 场比赛，设该小组有 x 支球队，则可列方程为( )

第 9页（共 33页）

A． x(x -1) = 6
B． x(x + 1) = 6
C． 1 x(x - 1) = 6
2
D． 1 x(x + 1) = 6
2

5．（3 分）圆的直径是13cm ，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么该直线和圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切

6．（3 分）如图，在边长为 2 的等边DABC 中，D 是 BC 边上的中点，以点 A 为圆心， AD 为半径作圆与 AB ， AC 分别交于 E ， F 两点，则图中阴影部分的面积为( )

A． p B． p C． p D． 2p
6 3 2 3
7．（3 分）如图，在DABC 中，ÐCAB = 70° ，ÐB = 30° ，在同一平面内，将DABC 绕点 A 逆
时针旋转 40° 到△ A¢B¢C¢ 的位置，则ÐCC¢B¢ = ( )

A．10° B．15° C． 20° D． 30°

8．（3 分）若关于 x 的一元二次方程(m + 1)x2 - x + m2 - m - 2 = 0 有一根为 0，则 m 的的值为

( )

A．2 B． -1


C．2 或-1


D.1 或-2

9．（3 分）已知两点 A(-6, y ) ， B(2, y ) 均在抛物线 y = ax2 + bx + c(a > 0) 上，若 y > y ，则
1 2 1 2

抛物线顶点横坐标 m 的值可以是( )

A. -6
B. -5
C. -2
D．1

10．（3 分）如图，在 DABC 中，ÐACB = 90° ，AC = 4 ，BC = 3 ，P 是 AB 边上一动点，PD ^ AC
于点 D ，点 E 在 P 的右侧，且 PE = 1，连接CE ， P 从点 A 出发，沿 AB 方向运动，当 E 到达点 B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积 S1 + S2 的大小变化的情况是( )

A．一直减小 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大

二、填空题（共 6 题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（3 分）坐标平面内的点 P(m, -2) 与点Q(3, n) 关于原点对称，则 m + n = ．

12．（3 分）已知 x ， x 是方程 x2 - 3x = 2 的两根，则 x × x
的值为 ．

1 2 1 2

13．（3 分）已知正三角形 ABC 的边心距为 3cm ，则正三角形的边长为 cm ．

14．（3 分）如图，PA 、PB 是eO 的切线，其中 A 、B 为切点，点C 在eO 上，ÐACB = 52° ，则ÐAPB = ° ．
15．（3 分）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距离为 20cm ，到屏幕的距离为 40cm ，且幻灯片中图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为 cm ．

16．（3 分）如图， AB 为eO 的直径，C 为eO 上一动点，将 AC 绕点 A 逆时针旋转120° 得
AD ，若 AB = 2 ，则 BD 的最大值为 ．

三、解答题（共 9 题，满分 72 分）

17．（4 分）解方程： x2 - 6x - 7 = 0 ．

18．（4 分）如图，已知DABO ，点 A 、 B 坐标分别为(2, 4) 、(2,1) ．

（1） 把DABO 绕着原点O 顺时针旋转90° 得△ A1 B1O ，画出旋转后的△ A1 B1O ；

（2） 在（1）的条件下，求点 B 旋转到点 B1 经过的路径的长．（结果保留p)

19．（6 分）如图， AC 平分ÐBAD ， ÐB = ÐACD ．
（1） 求证： DABC∽DACD ；
（2） 若 AB = 2 ， AC = 3 ，求 AD 的长．

20．（6 分）如图，抛物线 y = -x2 + mx 的对称轴为直线 x = 2

（1） 求抛物线解析式；
（2） 若关于 x 的一元二次方程-x2 + mx - t = 0(t 为实数）在1 < x < 3 的范围内有解，则t 的取值范围是 ．

2
21．（8 分）如图，四边形 ABCD 内接于eO ， OC = 4 ， AC = 4 ．

（1） 求点O 到 AC 的距离；

（2） 直接写出弦 AC 所对的圆周角的度数．

22．（10 分）脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在 2020 年取得的最重要成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m ， 另外三面用 27m 长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m 宽的门（不包括建筑材料）．
（1） 所围矩形猪舍的 AB 边为多少时，猪舍面积为90m2 ？
（2） 所围矩形猪舍的 AB 边为多少时( AB 为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？

23．（10 分）如图，在RtDABC 中，ÐC = 90° ，以 AC 为直径作eO 交 AB 于点 D ，线段 BC
上有一点 P ．
（1） 当点 P 在什么位置时，直线 DP 与eO 有且只有一个公共点，补全图形并说明理由．

（2） 在（1）的条件下，当 BP =
10 ， AD = 3 时，求eO 半径．
2

í
ì- 1 x2 + 1 x + m(x < m)

24．（12 分）已知函数 y = ï 2 2
，记该函数图象为G ．

（1） 当 m = 2 时，
ïîx2 - mx + m(x…m)

①已知 M (4, n) 在该函数图象上，求 n 的值；

②当0„x„2 时，求函数G 的最大值．
（2） 当 m > 0 时，作直线 x = 1 m 与 x 轴交于点 P ，与函数G 交于点Q ，若ÐPOQ = 45° 时，
2
求 m 的值；
（3） 当 m„3 时，设图象与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，过点 B 作 BC ^ BA 交直线 x = m
于点C ，设点 A 的横坐标为 a ， C 点的纵坐标为 c ，若 a = -3c ，求 m 的值．

25．（12 分）已知抛物线 y = ax2 + bx + 3 与 x 轴分别交于点 A(-3, 0) ， B(1, 0) ，与 y 轴交于点

C ，对称轴 DE 与 x 轴交于点 D ，顶点为 E ．
（1） 求抛物线的解析式；

（2） 若点 P 为对称轴右侧且位于 x 轴上方的抛物线上一动点（点 P 与顶点 E 不重合），
PQ ^ AE 于点Q ，当DPQE 与DADE 相似时，求点 P 的坐标；
（3） 对称轴 DE 上是否存在一点 M 使得ÐACB = 2ÐAMD ，若存在求出点 M 的坐标，若不存在请说明理由．

2021-2022 学年广东省广州市海珠外国语实验学校九年级（上） 期末数学模拟练习试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．（3 分）下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．
【分析】利用中心对称图形的定义进行解答即可．

【解答】解： A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B 、是中心对称图形，故此选项符合题意； C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选： B ．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知DABC 与DDEF 是位似图形，原点O 是它们的位似中心，且OF = 3OC ，则DABC 与DDEF 的面积之比是( )
A．1: 2 B．1: 4 C．1: 3 D．1: 9
【分析】根据位似图形的概念得到 AC / / DF ，证明 DOAC∽DODF ，根据相似三角形的性质
求出 AC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
DF
【解答】解：QDABC 与DDEF 是位似图形，原点O 是它们的位似中心，

\ AC / / DF ，
\DOAC∽DODF ，
\ AC = OC = 1 ，
DF OF 3
\DABC 与DDEF 的面积比等于1: 9 ， 故选： D ．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是 解题的关键．
3．（3 分）已知圆锥的高为 12，底面圆的半径为 5，则该圆锥的侧面展开图的面积为( )

A． 65p B． 60p C． 75p D． 70p
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积= p´ 底面半径´ 母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：Q圆锥的高为 12，底面圆的半径为 5，

122 + 52
\圆锥的母线长为： = 13 ，

\圆锥的侧面展开图的面积为：p´13 ´ 5 = 65p， 故选： A ．
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键；注意圆锥的高，母线长，底面 半径组成直角三角形这个知识点．
4．（3 分）男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了 6 场比赛，设该小组有 x 支球队，则可列方程为( )

2
第 11页（共 33页）

A． x(x -1) = 6
B． x(x + 1) = 6
C． 1 x(x - 1) = 6
2
D． 1 x(x + 1) = 6
2

【分析】设该小组有 x 支球队，则每个队参加(x -1) 场比赛，则共有 1 x(x - 1) 场比赛，从而
2
可以列出一个一元二次方程．
【解答】解：设该小组有 x 支球队，则共有 1 x(x - 1) 场比赛，
2
由题意得： 1 x(x - 1) = 6 ，
2
故选： C ．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有 n
支球队参加，那么就有 1 n(n - 1) 场比赛，此类虽然不难求出 x 的值，但要注意舍去不合题意

的解．

5．（3 分）圆的直径是13cm ，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么该直线和圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切

【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离 d ，再与半径 r 进行比较．若 d < r ，则直线与圆相交；若 d = r ，则直线于圆相切；若 d > r ，则直线与圆相离．
【解答】解：Q圆的直径为 13 cm ，
\圆的半径为 6.5 cm ，
Q圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，
\圆的半径… 圆心到直线的距离，
\直线于圆相切或相交， 故选： D ．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半径大小关系完成判定．
6．（3 分）如图，在边长为 2 的等边DABC 中，D 是 BC 边上的中点，以点 A 为圆心， AD 为半径作圆与 AB ， AC 分别交于 E ， F 两点，则图中阴影部分的面积为( )
A． p B． p C． p D． 2p
6 3 2 3
【分析】首先求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式即可求解．

【解答】解：连接 AD ，如图所示：

Q D 是 BC 边上的中点，
\ AD ^ BC ，
QDABC 是等边三角形，
\ÐB = 60° ， BC = AB = 2 ，

3
3
\ AD = AB × sin 60° = 2 ´ = ，

60p´ ( 3)2
\阴影部分的面积= = 1 p．
360 2
故选： C ．

【点评】本题主要考查了扇形的面积的计算、三角函数、切线的性质、等边三角形的性质； 由三角函数求出 AD 是解决问题的关键．
7．（3 分）如图，在DABC 中，ÐCAB = 70° ，ÐB = 30° ，在同一平面内，将DABC 绕点 A 逆
时针旋转 40° 到△ A¢B¢C¢ 的位置，则ÐCC¢B¢ = ( )

A．10° B．15° C． 20° D． 30°
【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角进行解答．
【解答】解：Q在DABC 中， ÐCAB = 70° ， ÐB = 30° ，
\ÐACB = 180° - 70° - 30° = 80° ，
QDABC 绕点 A 逆时针旋转40° 得到△ AB¢C¢ ，
\ÐCAC¢ = 40° ， ÐAC¢B¢ = ÐACB = 80° ， AC = AC¢ ，
\ÐAC¢C = 1 (180° - 40°) = 70° ，
2
\ÐCC¢B¢ = ÐAC¢B¢ - ÐAC¢C = 10° ， 故选： A ．
【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、 形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点- - 旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
8．（3 分）若关于 x 的一元二次方程(m + 1)x2 - x + m2 - m - 2 = 0 有一根为 0，则 m 的的值为

( )

第 33页（共 33页）

A．2 B． -1
C．2 或-1
D．1 或-2

【分析】把 x = 0 代入方程得到一个关于 m 的方程，再结合一元二次方程的定义即可确定 m
的值．

【解答】解：把 x = 0 代入方程，得(m + 1) ´ 02 - x + m2 - m - 2 = 0 ， 整理，得(m - 2)(m + 1) = 0 ．
解得 m1 = 2 ， m2 = -1．

又Q方程(m + 1)x2 - x + m2 - m - 2 = 0 是关于 x 的一元二次方程，

\ m + 1 ¹ 0 ，
\ m ¹ -1 ，即 m = 2 ． 故选： A ．
【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，一元二次方程的定义等知识点的理解和掌握， 能理解一元二次方程的解的含义是解此题的关键．
9．（3 分）已知两点 A(-6, y ) ， B(2, y ) 均在抛物线 y = ax2 + bx + c(a > 0) 上，若 y > y ，则
1 2 1 2

抛物线顶点横坐标 m 的值可以是( )

A. -6
B. -5
C. -2
D．1

【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以得到 m 的取值范围，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：当抛物线 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的顶点横坐标 m…2 时，两点 A(-6, y ) ，B(2, y )
1 2

均在抛物线 y = ax2 + bx + c(a > 0) 上，则 y > y ；
1 2

当-6 < m < 2 时，

Q两点 A(-6, y ) ， B(2, y ) 均在抛物线 y = ax2 + bx + c(a > 0) 上， y > y ，
1 2 1 2

\ m > -6 + 2 = -2 ；
2
当 m„- 6 时， y1 < y2 ，不符合题意；

由上可得， m 的值可以是 1， 故选： D ．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确

题意，利用二次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．

10．（3 分）如图，在 DABC 中，ÐACB = 90° ，AC = 4 ，BC = 3 ，P 是 AB 边上一动点，PD ^ AC
于点 D ，点 E 在 P 的右侧，且 PE = 1，连接CE ， P 从点 A 出发，沿 AB 方向运动，当 E 到达点 B 时， P 停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积 S1 + S2 的大小变化的情况是(
)

A．一直减小 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大

【分析】设 PD = x ， AB 边上的高为 h ，想办法求出 AD 、 h ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：在RtDABC 中，QÐACB = 90° ， AC = 4 ， BC = 3 ，

AC2 + BC2
32 + 42
\ AB = =
h = AC × BC = 12 ，
= 5 ，设 PD = x ， AB 边上的高为 h ，

AB 5
Q PD / / BC ，
\DADP∽DACB ，
\ PD = AD ，
BC AC
\ AD = 4 x ， PA = 5 x ，
3 3
\ S + S = 1 × 4 x × x + 1 (5 - 5 x) × 12 = 2 x2 - 2x + 6 = 2 (x - 3)2 + 16 ，

1 2 2 3 2 3 5 3 3 2 3

\当0 < x < 3 时， S + S


的值随 x 的增大而减小，

2 1 2

当 3 „x„12 时， S + S


的值随 x 的增大而增大．

2 5 1 2
故选： D ．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理 等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考 题型．
二、填空题（共 6 题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（3 分）坐标平面内的点 P(m, -2) 与点Q(3, n) 关于原点对称，则 m + n = -1 ．
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”求出 m 、n 的值，然后

相加计算即可得解．
【解答】解：Q点 P(m, -2) 与点Q(3, n) 关于原点对称，
\ m = -3 ， n = 2 ，
所以， m + n = -3 + 2 = -1． 故答案为： -1 ．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为 相反数．
12．（3 分）已知 x ， x 是方程 x2 - 3x = 2 的两根，则 x × x 的值为 -2 ．
1 2 1 2

【分析】先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．

【解答】解：方程化为一般式得 x2 - 3x - 2 = 0 ，

根据根与系数的关系得 x1 × x2
= -2 = -2 ．
1

故答案为： -2 ．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ， x 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 的两
1 2

根，则 x + x = - b ， x x = c ．

1 2 a 1 2 a

13．（3 分）已知正三角形 ABC 的边心距为 3cm ，则正三角形的边长为 6 cm ．

【分析】直接利用正三角形的性质得出 BO = 2DO = 2 3cm ，然后利用勾股定理求得 BD ， 从而求得边长．
【解答】解：如图所示：连接 BO ，

由题意可得， OD ^ BC ， OD = 3cm ， ÐOBD = 30° ，

故 BO = 2DO = 2 3(cm) ，

OB2 - OD2
\ BD = = 3 ，

\ BC = 2BD = 2 ´ 3 = 6 ， 故答案为：6．

【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正三角形的性质是解题关键．
14．（3 分）如图，PA 、PB 是eO 的切线，其中 A 、B 为切点，点C 在eO 上，ÐACB = 52° ，则ÐAPB = 76 ° ．
【 分析】 先根据切线的性质得到 ÐOAP = ÐOBP = 90° ， 再根据圆周角定理得到
ÐAOB = 2ÐACB = 104° ，然后根据四边形内角和计算ÐAPB 的度数．
【解答】解：Q PA 、 PB 是eO 的切线，
\ OA ^ PA ， OB ^ PB ，
\ÐOAP = ÐOBP = 90° ，
QÐOAP + ÐOBP + ÐAPB + ÐAOB = 360° ，
\ÐAPB + ÐAOB = 180° ，
QÐAOB = 2ÐACB = 2 ´ 52° = 104° ，
\ÐAPB = 180° - 104° = 76° ． 故答案为：76．
【点评】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是 解决问题的关键．
15．（3 分）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距离为 20cm ，到屏幕的距离为 40cm ，且幻灯片中图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为 18 cm ．

【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【解答】解：Q DE / / BC ，
\DAED∽DABC ，
\ AE = DE ，
AC BC

设屏幕上的小树高是 x ，
20 = 6 ，

20 + 40 x
解得 x = 18cm ． 故答案为：18．

【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应 边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
16．（3 分）如图， AB 为eO 的直径，C 为eO 上一动点，将 AC 绕点 A 逆时针旋转120° 得

7
AD ，若 AB = 2 ，则 BD 的最大值为 + 1 ．

【分析】解法一：将DABD 绕点 A 顺时针旋转120° ，则 D 与C 重合， B¢ 是定点， BD 的最大值即 B¢C 的最大值，根据圆的性质，可知： B¢ 、O 、 C 三点共线时， BD 最大，根据勾股定理可得结论．
解法二：如图 1，连接OC ，将DAOC 绕点 A 逆时针旋转120° 得到DAGD ，确定点 D 的运动轨迹是：以G 为圆心，以 AG 为半径的圆，所以当 B 、G 、D 三点共线时，BD 的值最大， 同理可得结论．
【解答】解：解法一：如图，将DABD 绕点 A 顺时针旋转120° ，则 D 与C 重合， B¢ 是定点，
BD 的最大值即 B¢C 的最大值，即 B¢ 、O 、C 三点共线时， BD 最大，过 B¢ 作 B¢E ^ AB 于点 E ，

由题意得： AB = AB¢ = 2 ， ÐBAB¢ = 120° ，
\ÐEAB¢ = 60° ，
RtDAEB¢ 中， ÐAB¢E = 30° ，

\ AE = 1 AB¢ = 1， EB¢ =
2

OE 2 + B¢E 2
由勾股定理得： OB¢ =

= ，

22 -12
3
22 + ( 3)2
7
= = ，

7
\ B¢C = OB¢ + OC = + 1 ．

解法二：如图 1，连接OC ，将DAOC 绕点 A 逆时针旋转120° 得到DAGD ，发现点 D 的运动轨迹是：以G 为圆心，以 AG 为半径的圆，所以当 B 、G 、D 三点共线时，BD 的值最大， 如图 2，过点G 作GH ^ AB ，交 BA 的延长线于 H ，

由旋转得： AO = AG = 1 ， ÐOAG = 120° ，
\ÐHAG = 60° ，
\ÐAGH = 30° ，
\ AH = 1 ， GH = 3 ，
2 2

GH 2 + BH 2
( 3 )2 + (2 + 1 )2
2
2
7
由勾股定理得： BG = = = ，

7
\ BD 的最大值是 + 1．

7
故答案为：
+ 1．

【点评】本题考查了旋转的性质，含30° 角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，有一定的难度，掌握圆外一点与圆上一点的最大距离过圆心这一性质且正确作出辅助线是本题的关 键．
三、解答题（共 9 题，满分 72 分）

17．（4 分）解方程： x2 - 6x - 7 = 0 ．
【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．

【解答】解：原方程可化为： (x - 7)(x + 1) = 0 ，
x - 7 = 0 或 x + 1 = 0 ； 解得： x1 = 7 ， x2 = -1 ．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为 0 后方程

的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0 的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解 因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
18．（4 分）如图，已知DABO ，点 A 、 B 坐标分别为(2, 4) 、(2,1) ．

（1） 把DABO 绕着原点O 顺时针旋转90° 得△ A1 B1O ，画出旋转后的△ A1 B1O ；

（2） 在（1）的条件下，求点 B 旋转到点 B1 经过的路径的长．（结果保留p)

【分析】（1）分别作出 A ， B 的对应点 A1 ， B1 即可．

（2）利用弧长公式计算即可．

【解答】解：（1）如图，△ A1 B1O 即为所求作．

（2）点 B 旋转到点 B 经过的路径的长= 90 ×p× 5 = 5 p．
1 180 2
【点评】本题考查作图- 旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（6 分）如图， AC 平分ÐBAD ， ÐB = ÐACD ．
（1） 求证： DABC∽DACD ；
（2） 若 AB = 2 ， AC = 3 ，求 AD 的长．
【分析】（1）利用两角法证得结论；

（2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值计算．
【解答】（1）解：Q AC 平分ÐBAD ，
\ÐBAC = ÐCAD ．
QÐB = ÐACD ，
\DABC∽DACD ；

（2）QDABC∽DACD ，
\ AC = AD ．
AB AC

Q AB = 2 ， AC = 3 ，
\ AD = 9 ．
2
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用 相似三角形的性质求解．
20．（6 分）如图，抛物线 y = -x2 + mx 的对称轴为直线 x = 2

（1） 求抛物线解析式；

（2） 若关于 x 的一元二次方程-x2 + mx - t = 0(t 为实数）在1 < x < 3 的范围内有解，则t 的取值范围是 3 < t„4 ．

【分析】（1）先利用抛物线的对称轴方程求出 m 得到抛物线解析式为 y = -x2 + 4x ；

（2）配方得到抛物线的顶点坐标为(2, 4) ，再计算出当 x = 1 或 3 时， y = 3 ，结合函数图象， 利用抛物线 y = -x2 + 4x 与直线 y = t 在1 < x < 3 的范围内有公共点可确定t 的范围．
【解答】解：（1）Q抛物线 y = -x2 + mx 的对称轴为直线 x = 2 ，

\- m
2 ´ (-1)

= 2 ，解得 m = 4 ，

\抛物线解析式为 y = -x2 + 4x ；

（2）Q抛物线解析式为 y = -x2 + 4x ， 抛物线的顶点坐标为(2, 4) ，
当 x = 1 时， y = -x2 + 4x = 3 ；当 x = 3 时， y = -x2 + 4x = 3 ，

Q关于 x 的一元二次方程 x2 + mx - t = 0(t 为实数）在1 < x < 3 的范围内有解，

\抛物线 y = -x2 + 4x 与直线 y = t 在1 < x < 3 的范围内有公共点，

\3 < t„4 ．

故答案为： 3 < t„4 ．

【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y = ax2 + bx + c(a ， b ， c 是常数，

a ¹ 0) 与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

2
21．（8 分）如图，四边形 ABCD 内接于eO ， OC = 4 ， AC = 4 ．

（1） 求点O 到 AC 的距离；

（2） 直接写出弦 AC 所对的圆周角的度数．
【分析】（1）过点O 作OE ^ AC 于点 E ，利用勾股定理求解即可．
（2）连接OA ，利用圆周角定理求出ÐB ，再利用圆内接四边形的性质求出ÐADC 即可．
【解答】解：（1）过点O 作OE ^ AC 于点 E ，
则CE = 1 AC ．
2

2
Q AC = 4 ，

2
\CE = 2 ，

在RtDOCE 中， OC = 4 ，

OC 2 - CE 2
42 - (2 2)2
2
\OE = = = 2 ．

2
\点O 到 AC 的距离为 2 ．

（2）连接OA ．
Q由（1）知，在RtDOCE 中， CE = OE ，
\ÐOCE = ÐEOC = 45° ．
Q OA = OC ，
\ÐOAC = ÐOCA = 45° ．
\ÐAOC = 90° ．
\ÐB = 45° ，

\ÐADC = 180° - ÐB = 180° - 45° = 135° ，
\弦 AC 所对的圆周角的度数为 45° 或135° ．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识 解决问题．
22．（10 分）脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在 2020 年取得的最重要成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m ， 另外三面用 27m 长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m 宽的门（不包括建筑材料）．
（1） 所围矩形猪舍的 AB 边为多少时，猪舍面积为90m2 ？
（2） 所围矩形猪舍的 AB 边为多少时( AB 为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？

【分析】（1）设 AB = x m ，则 BC = 27 + 1 - 2x = (28 - 2x)m ，利用矩形的面积计算公式，结合养鸡场的面积为90m2 ，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，再结合墙长13m ，即可确定 AB 的值；
（2）设 AB = x m ，则 BC = (28 - 2x)m ，猪舍面积为 S m2 ，根据矩形的面积公式列出函数

解析式，再根据函数的性质结合墙长求出面积最大值时猪舍的 AB 的值．
【解答】解：（1）设 AB = x m ，则 BC = 27 + 1 - 2x = (28 - 2x)m ，由题意得： x(28 - 2x) = 90 ，
整理得： x2 - 14x + 45 = 0 ， 解得： x1 = 5 ， x2 = 9 ，
当 x = 5 时， 28 - 2x = 28 - 10 = 18 > 13 ，不合题意舍去， 当 x = 9 时， 28 - 2x = 28 - 18 = 10 < 13 ，符合题意，
\ AB = 9m ，

\所围矩形猪舍的 AB 边为9m 时，猪舍面积为90m2 ；

（2）设 AB = x m ，则 BC = (28 - 2x)m ，猪舍面积为 S m2 ，由题意得：

S = x(28 - 2x) = -2x2 + 28x = -2(x - 7)2 + 98 ，

Q-2 < 0 ，
\当 x = 7 时， S 有最大值，最大值为 98， 此时 28 - 2x = 28 - 14 = 14 > 13 ，不合题意，
\当 X = 8 时， 28 - 2x = 28 - 16 = 12 < 13 ， 此时， S = -2(8 - 7)2 + 98 = -2 + 98 = 96(m2 ) ，
\所围矩形猪舍的 AB 边为8m 时，猪舍面积最大，最大面积是96m2 ．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解 析式和一元二次方程是解题的关键．
23．（10 分）如图，在RtDABC 中，ÐC = 90° ，以 AC 为直径作eO 交 AB 于点 D ，线段 BC
上有一点 P ．
（1） 当点 P 在什么位置时，直线 DP 与eO 有且只有一个公共点，补全图形并说明理由．

（2） 在（1）的条件下，当 BP =
10 ， AD = 3 时，求eO 半径．
2

【分析】（1）补全图形如图所示，情况一：点 P 在过点 D 与OD 垂直的直线与 BC 的交点处，
根据切线的定义即可得到结论；情况二：如图，当点 P 是 BC 的中点时，直线 DP 与eO 有且只有一个公共点，连接CD ，OD ，根据圆周角定理得到ÐADC = ÐBDC = 90° ，根据直角三角形的性质得到 DP = CP ，根据切线的判定定理即可得到结论；

10
（2）在RtDBCD 中，根据直角三角形的性质得到 BC = 2BP ，求得 BC = ，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）补全图形如图所示，

情况一：点 P 在过点 D 与OD 垂直的直线与 BC 的交点处，

理由：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
情况二：如图，当点 P 是 BC 的中点时，直线 DP 与eO 有且只有一个公共点， 证明：连接CD ， OD ，
Q AC 是eO 的直径，
\ÐADC = ÐBDC = 90° ，
Q点 P 是 BC 的中点，
\ DP = CP ，
\ÐPDC = ÐPCD ，
QÐACB = 90° ，
\ÐPCD + ÐDCO =