2022-2023学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 10 小题，满分 30 分）
1．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D． 2．（3 分）下列事件中，必然事件是( )
A．掷一枚硬币，正面朝上 B． a 是实数， | a |…0

C．购买一张彩票，中奖 D．打开电视，正在播放广告
3．（3 分）在直角坐标系中，如果eO 是以原点O(0, 0) 为圆心，以 10 为半径的圆，那么点
A(-8, 6) 的位置( )
A．在eO 内 B．在eO 外 C．在eO 上 D．不能确定4．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 - mx - 1 = 0 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定

5．（3 分）由二次函数 y = 2(x - 3)2 + 1 ，可知( )

A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 x = -3
C．其最小值为 1 D．当 x < 3 时， y 随 x 的增大而增大
6．（3 分）如图，已知eO 的弦 AB = 8 ，以 AB 为一边作正方形 ABCD ， CD 边与eO 相切，切点为 E ，则eO 的半径为( )

A．4 B．3 C．6 D．5

第 9页（共 32页）

7．（3 分）如图，将 DABC 绕点C 顺时针旋转，点 B 的对应点为点 E ，点 A 的对应点为点 D ，当点 E 恰好落在边 AC 上时，连接 AD ，若ÐACB = 30° ，则ÐDAC 的度数是( )

A． 60° B． 65° C． 70° D． 75°
8．（3 分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有 225 人感染，若设 1 人平均感染 x 人，依题意可列方程( )

A．1 + x = 225
B．1 + x2 = 225
C．1 + x + x2 = 225
D． (1 + x)2 = 225

9．（3 分）如图，由五个边长都是 1 的正方形纸片拼接而成的，过点 A1 的线段分别与 BC1 ，

BE 交于点 M ， N ，则 1 + 1 = ( )
MB NB

5
A． 5 - 1 B．
2
C． 2 2

D．1

10．（3 分）二次函数 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 的部分图象如图所示，图象过点(-1, 0) ，对称轴

1
为直线 x = 2 ，下列结论：（1）4a + b = 0 ；（2）9a + c > -3b ；（3）b2 - 4ac = 0 ；（4）若点 A(-3, y ) 、

点 B(- 1 ， y ) 、点C(7, y ) 在该函数图象上，则 y < y

< y ；（5）若方程 a(x + 1)(x - 5) = -3

2 2 3
1 2 3

的两根为 x1 和 x2 ，且 x1 < x2 ，则 x1 < -1 < 5 < x2 ．其中正确的结论有( )

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个

二、填空题（每小题 3 分，共 6 小题，满分 18 分）
11．（3 分）在平面直角坐标系中，已知点 P(-3, 5) 与点Q(3, m - 2) 关于原点对称，则 m = ．

12．（3 分）将抛物线 y = (x + 1)2 向右平移 2 个单位，得到新抛物线的表达式是 ．

13．（3 分）设 x 、 x 是方程 x2 - 4x + m = 0 的两个根，且 x + x - x x
= 1 ．则 m = ．

1 2 1 2 1 2

14．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(-3, 6) ，B(-9, -3) ，以原点O 为位似中心，
1

相似比为
，把DABO 缩小，则点 A 的对应点 A¢ 的坐标是 ．
3

15．（3 分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r = 2cm ，圆锥的母线长为6cm ，则侧面展开图的圆心角的度数为 °

16．（3 分）如图， RtDABC 中， ÐACB = 90° ， AC = BC = 4 ， D 为线段 AC 上一动点，连接 BD ，过点C 作CH ^ BD 于 H ，连接 AH ，则 AH 的最小值为 ．

三、填空题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4 分）解方程： x2 - 2x - 15 = 0 ．

18．（4 分）已知 AB / /CD ， AD 与 BC 相交于点 P ， AB = 4 ， CD = 7 ， AD = 10 ．求 AP 的长．

19．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将DCAB 绕点O 顺时针旋转90° 得到△ C ¢A¢B¢ ，点 A 旋转后的对应点为 A¢ ，点 B 旋转后的对应点为 B¢ ，点C 旋转后的对应点为C ¢ ，
（1） 画出旋转后的△ C¢A¢B¢ ，并写出点 A¢ 的坐标；
（2） 求点 B 经过的路径 B·B¢ 的长（结果保留p) ．

20．（6 分）如图，抛物线 y1 的顶点坐标为(1, 4) ，与 x 轴交于点 A(3, 0) ，与 y 轴交于点 B ．直线 AB 的解析式为 y2 = kx + b(k ¹ 0) ．
（1） 求抛物线 y1 的解析式；

（2） 当 y1 > y2 时， x 的取值范围是 ；

（3） 当 x 的取值范围是 时， y1 和 y2 都随着 x 的增大而减小；

（4） 当0„x„3 时， y1 的取值范围是 ；

（5） 当 y1 > 0 时， x 的取值范围是 ．

21．（8 分）“2022 卡塔尔世界杯”已正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计， 绘制了下面两幅统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1） 接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中 m 的值为 ；
（2） 若该中学共有学生 1500 人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；
（3） 若从足球运动达到“非常了解”程度的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人解说一场

足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率．

22．（10 分）如图，有长为12m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为5m) 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 xm ，面积为 Sm2 ．
（1） 求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围；

（2） 要围成面积为9m2 的花圃， AB 的长是多少米？
（3） 当 AB 的长是多少米时，围成的花圃面积最大？

23．（10 分）如图，四边形 ABCD 中， ÐA = ÐB = 90° ，以CD 为直径的eO 与边 AB 相切于点 E ．
（1） 求作eO ，并标出点 E （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 连接CE ，求证： CE 平分ÐBCD ；
（3） 若 BC = 5 ， AB = 6 ，求CD 的长．

24．（12 分）已知抛物线 y = ax2 + 2ax - 3a(a 为常数， a ¹ 0) ．

（1） 请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含 a 的代数式表示）；
（2） 如图 1，当 a = -1 时，若点 P 是直线 AC 上方抛物线上的一个动点，求点 P 到直线 AC
距离的最大值；

（3） 如图 2，当 a = -1 时，设该抛物线与 x 轴分别交于 A 、 B 两点，点 A 在点 B 的左侧， 与 y 轴交于点C ．点 D 是直线 AC 上方抛物线上的一个动点， BD 交 AC 于点 E ，设点 E 的
横坐标为 n ，记 S = SDADE ，当 n 为何值时， S 取得最大值？并求出 S 的最大值．
SDABE

第 32页（共 32页）

25．（12 分）已知： eO 是DABC 的外接圆，且 ¶AB = B¶C ， ÐABC = 60° ， D 为eO 上一动点．
（1） 如图 1，若点 D 是 ¶AB 的中点，求ÐDBA 的度数．
（2） 过点 B 作直线 AD 的垂线，垂足为点 E ．

①如图 2，若点 D 在 ¶AB 上，求证： CD = DE + AE ．
②若点 D 在 ¶AC 上，当它从点 A 向点C 运动且满足CD = DE + AE 时，求ÐABD 的最大值
．

2022-2023 学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题 3 分，共 10 小题，满分 30 分）
1．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
【解答】解： A 、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

B 、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C 、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； D 、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选： B ．

2．（3 分）下列事件中，必然事件是(

A．掷一枚硬币，正面朝上
)

B． a 是实数， | a |…0
C．购买一张彩票，中奖

D．打开电视，正在播放广告

【解答】解： A ， C ， D 选项中，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意； 是必然事件的是： a 是实数， | a |…0 ，符合题意．
故选： B ．
3．（3 分）在直角坐标系中，如果eO 是以原点O(0, 0) 为圆心，以 10 为半径的圆，那么点
A(-8, 6) 的位置( )
A．在eO 内 B．在eO 外 C．在eO 上 D．不能确定
【解答】解：Q点 A(-8, 6) ，

62 + 82
\ AO = = 10 ，

\点 A 在eO 上， 故选： C ．
4．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 - mx - 1 = 0 的根的情况是( )

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定

【解答】解：△ = (-m)2 - 4 ´1´ (-1)

= m2 + 4

Q m2…0 ，

\△ = m2 + 4 > 0 ．
\关于 x 的一元二次方程 x2 - mx - 1 = 0 有两个不相等的实数根． 故选： A ．
5．（3 分）由二次函数 y = 2(x - 3)2 + 1 ，可知( )

A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 x = -3
C．其最小值为 1 D．当 x < 3 时， y 随 x 的增大而增大

【解答】解：由二次函数 y = 2(x - 3)2 + 1 ，可知：

A :Q a > 0 ，其图象的开口向上，故此选项错误；
B ．Q其图象的对称轴为直线 x = 3 ，故此选项错误；
C ．其最小值为 1，故此选项正确；
D ．当 x < 3 时， y 随 x 的增大而减小，故此选项错误． 故选： C ．
6．（3 分）如图，已知eO 的弦 AB = 8 ，以 AB 为一边作正方形 ABCD ， CD 边与eO 相切，
切点为 E ，则eO 的半径为( )

A．4 B．3 C．6 D．5
【解答】解：连接 EO 并延长，交 AB 于 F ，连接OA ， 设eO 的半径为 r ，则OF = 8 - r ，
Q CD 边与eO 相切，
\OE ^ CD ，
Q四边形 ABCD 为正方形，
\ AB / /CD ，

\OF ^ AB ，
\ AF = 1 AB = 4 ，
2

在RtDOAF 中， AF 2 + OF 2 = OA2 ，即 42 + (8 - r)2 = r2 ，

解得： r = 5 ，
\eO 的半径为 5， 故选： D ．

7．（3 分）如图，将 DABC 绕点C 顺时针旋转，点 B 的对应点为点 E ，点 A 的对应点为点 D ，当点 E 恰好落在边 AC 上时，连接 AD ，若ÐACB = 30° ，则ÐDAC 的度数是( )

A． 60° B． 65° C． 70° D． 75°
【解答】解：由题意知DABC @ DDEC ， 则ÐACB = ÐDCE = 30° ， AC = DC ，
\ÐDAC = 180° - ÐDCA = 180° - 30° = 75° ，
2 2
故选： D ．

8．（3 分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有 225 人感染，若设 1 人平均感染 x 人，依题意可列方程( )

A．1 + x = 225
B．1 + x2 = 225
C．1 + x + x2 = 225
D． (1 + x)2 = 225

【解答】解：设 1 人平均感染 x 人，
依题意可列方程：1 + x + (1 + x)x = 225 ， (x + 1)2 = 225 ． 故选： D ．

9．（3 分）如图，由五个边长都是 1 的正方形纸片拼接而成的，过点 A1 的线段分别与 BC1 ，

BE 交于点 M ， N ，则 1 + 1 = ( )
MB NB

5
A． 5 - 1 B．
2
C． 2 2

D．1

【解答】解：Q AA1 / / BM ，

\DNAA1∽DNBM ，

\ AA1 = NA1 ，即 1

= NA1 ①，

BM NM
Q B1 A1 / / BN ，
BM NM

\△ MA1B∽DMNB ，

\ B1 A1 = MA1 ，即 1
= MA1 ②，

BN MN BN MN

① + ②得 1
+ 1 = NA1 + MA1 = MN = 1．

BM BN MN MN
故选： D ．

10．（3 分）二次函数 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0) 的部分图象如图所示，图象过点(-1, 0) ，对称轴

1
为直线 x = 2 ，下列结论：（1）4a + b = 0 ；（2）9a + c > -3b ；（3）b2 - 4ac = 0 ；（4）若点 A(-3, y ) 、

点 B(- 1 ， y ) 、点C(7, y ) 在该函数图象上，则 y < y

< y ；（5）若方程 a(x + 1)(x - 5) = -3

2 2 3
1 2 3

的两根为 x1 和 x2 ，且 x1 < x2 ，则 x1 < -1 < 5 < x2 ．其中正确的结论有( )

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个

【解答】解：Q x = - b
2a
= 2 ，

\ 4a + b = 0 ，故①正确．
由函数图象可知：函数图象与 x 轴有两个交点，

\b2 - 4ac > 0 ，故③错误．
Q抛物线与 x 轴的一个交点为(-1, 0) ，对称轴为直线 x = 2 ，
\另一个交点为(5, 0) ，
\当 x = 3 时， y > 0 ，
\ 9a + 3b + c > 0 ，
\9a + c > -3b ， 故②正确；
Q抛物线的对称轴为 x = 2 ， C(7, y3 ) ，

\(-3, y3 ) ．
Q-3 < - 1 ，在对称轴的左侧，
2
\ y 随 x 的增大而增大，

\ y1 = y3 < y2 ，故④错误．

方程 a(x + 1)(x - 5) = 0 的两根为 x = -1 或 x = 5 ，
过 y = -3 作 x 轴的平行线，直线 y = -3 与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，

依据函数图象可知： x1 < -1 < 5 < x2 ，故⑤正确． 故选： B ．
二、填空题（每小题 3 分，共 6 小题，满分 18 分）
11．（3 分）在平面直角坐标系中，已知点 P(-3, 5) 与点 Q(3, m - 2) 关于原点对称，则 m =
-3 ．

【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数， 得 m - 2 = -5 ，
\ m = -3 ．
故答案为： -3 ．

12 ．（ 3 分） 将抛物线 y = (x + 1)2 向右平移 2 个单位， 得到新抛物线的表达式是

y = (x -1)2 ．

【解答】解：二次函数 y = (x + 1)2 的图象向右平移 2 个单位， 得： y = (x +1 - 2)2 = (x -1)2 ，
故答案为： y = (x -1)2 ．

13．（3 分）设 x 、 x 是方程 x2 - 4x + m = 0 的两个根，且 x + x - x x
= 1 ．则 m = 3 ．

1 2 1 2 1 2

【解答】解：Q x 、 x 是方程 x2 - 4x + m = 0 的两个根，
1 2

\ x1 + x2 = 4 ， x1 x2 = m ，

Q x1 + x2 - x1 x2 = 1

\ 4 - m = 1 ，
\ m = 3

故答案为：3
14．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(-3, 6) ，B(-9, -3) ，以原点O 为位似中心，
1

相似比为
，把DABO 缩小，则点 A 的对应点 A¢ 的坐标是 (-1, 2) 或(1, -2) ．
3

【解答】解：Q位似中心为原点，相似比为 1 ，
3

\点 A 的对应点 A¢ 的坐标为(-3 ´ 1 ， 6 ´ 1) 或[-3 ´ (- 1) ， 6 ´ (- 1)] ，即(-1, 2) 或(1, -2) ．
3 3 3 3
故答案为(-1, 2) 或(1, -2) ．

15．（3 分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r = 2cm ，圆锥的母线长为6cm ，则侧面展开图的圆心角的度数为 120 °

【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是： 2pr = 2p´ 2 = 4p(cm) ， 设圆心角的度数是q度，则qp´ 6 = 4p，
180
解得q= 120 ， 故答案为：120．
16．（3 分）如图， RtDABC 中， ÐACB = 90° ， AC = BC = 4 ， D 为线段 AC 上一动点，连

5
接 BD ，过点C 作CH ^ BD 于 H ，连接 AH ，则 AH 的最小值为 2 - 2 ．

【解答】解：如图，取 BC 中点G ，连接 HG ， AG ，

Q CH ^ DB ，点G 是 BC 中点
\ HG = CG = BG = 1 BC = 2 ，
2

AC2 + CG2
5
在RtDACG 中， AG = = 2
在DAHG 中， AH…AG - HG ，

5
即当点 H 在线段 AG 上时， AH 最小值为 2
- 2 ，

5
故答案为： 2 - 2

三、填空题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4 分）解方程： x2 - 2x - 15 = 0 ．
【解答】解： x2 - 2x - 15 = 0 ， 分解因式得： (x - 5)(x + 3) = 0 ，
可得 x - 5 = 0 或 x + 3 = 0 ， 解得： x1 = 5 ， x2 = -3 ．
18．（4 分）已知 AB / /CD ， AD 与 BC 相交于点 P ， AB = 4 ， CD = 7 ， AD = 10 ．求 AP 的长．

【解答】解：Q AB / /CD ，
\DABP∽DDCP ，
\ AP = AB ，
DP CD
即 AP = 4 ，

DP
\ AP =
AD

\ AP =
7
4 ，
11
4 AD = 40 ．

11 11
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将DCAB 绕点O 顺时针旋转90° 得到△ C ¢A¢B¢ ，点 A 旋转后的对应点为 A¢ ，点 B 旋转后的对应点为 B¢ ，点C 旋转后的对应点为C ¢ ，
（1） 画出旋转后的△ C¢A¢B¢ ，并写出点 A¢ 的坐标；
（2） 求点 B 经过的路径 B·B¢ 的长（结果保留p) ．

【解答】解：（1）如图，△ C¢A¢B¢ 为所作，点 A¢ 的坐标为(2,1) ；

32 + 32
（2）QOB = = 3 2 ，
\点 B 经过的路径 B·B¢ 的长为 90 ´p´ 3 2 = 3 2 p．
180 2
20．（6 分）如图，抛物线 y1 的顶点坐标为(1, 4) ，与 x 轴交于点 A(3, 0) ，与 y 轴交于点 B ．直线 AB 的解析式为 y2 = kx + b(k ¹ 0) ．
（1） 求抛物线 y1 的解析式；

（2） 当 y1 > y2 时， x 的取值范围是 0 < x < 3 ；

（3） 当 x 的取值范围是 时， y1 和 y2 都随着 x 的增大而减小；

（4） 当0„x„3 时， y1 的取值范围是 ；

（5） 当 y1 > 0 时， x 的取值范围是 ．

【解答】解：（1）Q抛物线 y1 的顶点坐标为(1, 4) ，

设抛物线解析式为 y1 = a(x -1) + 4
2

Q与 x 轴交于点 A(3, 0) ，

\0 = a(3 -1)2 + 4

解得： a = -1 ，

\ y1 = -(x -1) + 4
2

（2）在 y1 = -(x -1) + 4 中，令 x = 0 ，解得 y = 3 ，
2

\ B(0, 3) ，
结合函数图象可得，

当 y1 > y2 时， x 的取值范围是0 < x < 3 ； 故答案为： 0 < x < 3 ；
（3）Q y1 = -(x -1) + 4 ， a = -1 < 0 ，对称轴为 x = 1 ，
2

\当 x > 1 时， y1 随 x 的增大而减小，

将点 A(3, 0) ， B(0, 3) 代入 y2 = kx + b(k ¹ 0) ，

íb = 3
\ ì3k + b = 0 ，
î

íb = 3
解得： ìk = -1 ，
î

\ y2 = -x + b ， y2 随 x 的增大而减小，
\当 x > 1 时， y1 和 y2 都随着 x 的增大而减小； 故答案为： x > 1 ；

（4）根据函数图象可知：当0„x„3 时， y1 的取值范围是0„y1„4 ，故答案为： 0„y1„4 ；
（5）由 y1 = -(x -1) + 4 ，令 y = 0 ，
2

即-(x -1)2 + 4 = 0 ，

解得： x1 = -1 ， x2 = 3 ，

根据函数图象可知，抛物线开口向下，
\当 y1 > 0 时， -1 < x < 3 ． 故答案为： -1 < x < 3 ．
21．（8 分）“2022 卡塔尔世界杯”已正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计， 绘制了下面两幅统计图．根据图中信息回答下列问题：

（1） 接受问卷调查的学生共有 50 人，条形统计图中 m 的值为 ；
（2） 若该中学共有学生 1500 人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；
（3） 若从足球运动达到“非常了解”程度的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人解说一场

足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率．

【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有 29 ¸ 58% = 50 （人) ，
不了解的人数有： 50 - 4 - 29 - 10 = 7 （人) ， 故答案为：50，7；

（2） 根据题意得：
1500 ´ 4 + 29 = 990 （人) ，
50
答：估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 990

人；

故答案为：990；

（3） 由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有 12 种，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 8 种，
\恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率为 8 = 2 ．
12 3
22．（10 分）如图，有长为12m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为5m) 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 xm ，面积为 Sm2 ．
（1） 求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围；

（2） 要围成面积为9m2 的花圃， AB 的长是多少米？
（3） 当 AB 的长是多少米时，围成的花圃面积最大？

【解答】解：（1）由题意，得： BC = 12 - 3x ，

\ S = AB × BC = x(12 - 3x) = -3x2 + 12x ；

Q0 < BC„5 ，
即0 < 12 - 3x„5 ，
解得： 7 „x < 4 ，
3
\ x 值的取值范围为： 7 „x < 4 ；
3

（2）当 S = 9 时， 即-3x2 + 12x = 9 ，
解得： x1 = 1 ， x2 = 3 ，
Q 7 „x < 4 ，
3
\ x = 3 ，
即 AB 的长是 3 米；

（3） S = -3x2 + 12x = -3(x - 2)2 + 12 ，

Q a = -3 < 0 ，抛物线开口向下，对称轴为： x = 2 ，
\抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
Q 7 „x < 4 ，
3
\当 x = 7 时， S 取的最大值，最大值为： -3( 7 - 2)2 + 12 = 35 m2 ，
3 3 3
\当 AB 的长是 7 米时，围成的花圃面积最大．
3
23．（10 分）如图，四边形 ABCD 中， ÐA = ÐB = 90° ，以CD 为直径的eO 与边 AB 相切于点 E ．
（1） 求作eO ，并标出点 E （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 连接CE ，求证： CE 平分ÐBCD ；
（3） 若 BC = 5 ， AB = 6 ，求CD 的长．

【解答】（1）解：如图，

（2） 证明：QOE = OC ，
\ÐOEC = ÐOCE ，
Q AB 为eO 的切线，
\OE ^ AB ，
QÐB = 90° ，
\OE / / BC ，
\ÐOEC = ÐECB ，
\ÐECB = ÐECO ， 即CE 平分ÐBCD ；
（3） 解：QOE / / AD / / BC ， O 为CD 的中点，
\OE 为梯形的中位线，
\OE = 1 ( AD + BC) ，
2
\ AD + BC = CD ， 连接 DF ，

Q CD 为eO 的直径，
\ÐDFC = 90° ，
\四边形 ABFD 为矩形，
\ AD = BF ， 设 AD = x ，

\CF = 5 - x ，
Q DF 2 + CF 2 = CD2 ，
\62 + (5 - x)2 = (x + 5)2 ，
解得 x = 9 ，
5
\ AD = 9 ，
5
\CD = 5 + x = 5 + 9 = 34 ．
5 5

24．（12 分）已知抛物线 y = ax2 + 2ax - 3a(a 为常数， a ¹ 0) ．

（1） 请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含 a 的代数式表示）；
（2） 如图 1，当 a = -1 时，若点 P 是直线 AC 上方抛物线上的一个动点，求点 P 到直线 AC
距离的最大值；

（3） 如图 2，当 a = -1 时，设该抛物线与 x 轴分别交于 A 、 B 两点，点 A 在点 B 的左侧， 与 y 轴交于点C ．点 D 是直线 AC 上方抛物线上的一个动点， BD 交 AC 于点 E ，设点 E 的
横坐标为 n ，记 S = SDADE ，当 n 为何值时， S 取得最大值？并求出 S 的最大值．
SDABE

【解答】解：（1） y = ax2 + 2ax - 3a = a(x2 + 2x - 3) = a(x + 1)2 - 4a ，

\顶点为(-1, -4a) ，对称轴为直线 x = -1 ；

（2）如图 1 中，过点 P 作 PT / / y 轴，交 AC 于点 T ，过点 P 作 PH ^ AC 于点 H ．设

P(m, -m2 - 2m + 3) ，

Q A(-3, 0) ， C(0, 3) ，
\OA = OC = 3 ，

OA2 + OC2
32 + 32
\ AC = = = 3 2 ，

\直线 AC 的解析式为 y = x + 3 ，
\T (m, m + 3) ，

\ SDAPC
= 1 ´ 3 ´ PT = 3 (-m2 - 2m + 3 - m - 3) = - 3 (m + 3)2 + 27 ，
2 2 2 2 8

Q- 3 < 0 ，
2
\ m = - 3 时， DPAC 的面积最大，最大值为 27 ，此时 PH 的值最大，
2 8
2 ´ 27

2
PH 的最大值= 8
3
= 9 2 ；
8

（3）当 a = -1 时， y = -x2 - 2x + 3 ， 令 y = 0 ，则 x = -3 或 x = 1 ，
\ B(1, 0) ，
Q S = SDADE ，
SDABE
\ S = ED ，
BE
过点 D 作 DF ^ x 轴交 AC 于点 F ，过 B 点作 BG ^ x 轴交 AC 于点G ，
\ DF / / BG ，
\DDEF∽DBEG ，
\ ED = DF = S ，
BE BG
设直线 AC 的解析式为 y = kx + b ，

í-3k + b = 3
\ ìb = 3 ，
î

íb = 3
\ ìk = 1 ，
î

\ y = x + 3 ，

设 D(t, -t2 - 2t + 3) ，则 F (t, t + 3) ，

\ DF = -t 2 - 3t ， BG = 4 ，

\-t 2 - 3t = 4S ，
\ S = - 1 (t + 3)2 + 9 ，
4 2 16
\当t = - 3 时， S 有最大值 9 ，
2 16
此时 D(- 3 ， 15) ，
2 4
设直线 BD 的解析式为 y = mx + n ，
ìm + n = 0
则
ï
í- 3 m + n = 15 ，
îï 2 4
ìm = - 3

í
解得 ï 2 ，
ï
ïn = 3
î 2
\ y = - 3 x + 3 ，
2 2
ì y = x + 3
联立
ï
í y = - 3 x + 3 ，
ïî 2 2
\ x = - 3 ，
5
\当 n = - 3 时， S 有最大值 9 ．
5 16

25．（12 分）已知： eO 是DABC 的外接圆，且 ¶AB = B¶C ， ÐABC = 60° ， D 为eO 上一动

点．

（1） 如图 1，若点 D 是 ¶AB 的中点，求ÐDBA 的度数．
（2） 过点 B 作直线 AD 的垂线，垂足为点 E ．

①如图 2，若点 D 在 ¶AB 上，求证： CD = DE + AE ．
②若点 D 在 ¶AC 上，当它从点 A 向点 C 运动且满足 CD = DE + AE 时，求ÐABD 的最大
值．
【解答】解：（1）如图 1 中，连接 BD ．

Q ¶AB = B¶C ，
\ÐBCA = ÐBAC ，
QÐABC = 60° ，
\ÐBCA = 60° ，
Q D 是 ¶AB 的中点，
\ÐDCA = 30° ，
Q ¶AD = A¶D ，
\ÐDBA = ÐDCA = 30° ．

（2）①过 B 作 BH ^ CD 于点 H ，则ÐBHC = ÐBHD = 90° ．

又Q BE ^ AD 于点 E ，
\ÐBED = 90° ，
\ÐBED = ÐBHC = ÐBHD ，
又Q B¶D = B¶D ，
\ÐBAE = ÐBCH ，
Q ¶AB = B¶C ，
\ BA = BC ，
\DBEA @ DBHC (AAS ) ，
\ EA = CH ，
又Q四边形 ACBD 是eO 的内接四边形，
\ÐBDE = ÐBCA ，
又Q ¶AB = B¶C ，
\ÐBCA = ÐBDC ，
\ÐBDE = ÐBDC ，
又ÐBED = ÐBHD = 90° ， BD = BD ，
\RtDBED @ RtDBDH(HL) ，
\ DE = DH ，
\ DC = DH + HC = DE + AE ．

（2）②连接 BO 并延长eO 交于点 I ，则点 D 在 ¶AI 上．

如图：过 B 作 BH ^ CD 于点 H ，
则ÐBHC = 90° ， ÐBHD = 90° ， 又Q BE ^ AD 于点 E ，
\ÐBED = 90° ，
\ÐBED = ÐBHC = ÐBHD ，
又Q四边形 ABCD 是eO 的内接四边形，
\ÐBAE = ÐBCD ，
又Q ¶AB = B¶C ，
\ BA = BC ，
\DBEA @ DBCH (AAS )

\ EA = EH ，
Q ¶AB = B¶C ，
\ÐBDA = ÐBDC ，
又 BD = BD ． ÐBED = ÐBHD = 90° ，
\RtDBED @ RtDBHD(HL)

\ ED = HD ，
\CD = HD + HC = DE + AE ，
Q BI 是eO 直径，
¶A