2022-2023学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（3 分）方程(x - 2)2 = 9 的解是( )

第 9页（共 26页）

A． x1 = 5 ， x2 = -1
B． x1 = 5 ， x2 = 1
C． x1 = 11 ， x2 = -7
D． x1 = -11 ， x2 = 7

2．（3 分）如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180° 后得到的图案( )

A． B．
C． D．
3．（3 分）将抛物线 y = 2x2 向左平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是( )

A． y = 2x2 + 3
B． y = 2x2 - 3
C． y = 2(x + 3)2
D． y = 2(x - 3)2

4．（3 分）平面内，⊙O 的半径为 2，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙O 的切线条数为

（ ）

A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．无数条5．（3 分）下列事件中，随机事件是( )
A．掷一枚硬币，正面朝上 B．如果 a = b ，那么 a - c = b - c

C．对于实数 a ， a2 < 0
D．两直线平行，同位角相等

6．（3 分）反比例函数 y = m - 3 的图象，当 x > 0 时， y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范
x

围是( )

A. m < 3


B. m„3


C. m > 3


D. m…3

7．（3 分）若 a 是方程2x2 - x - 5 = 0 的一个解，则 4a2 - 2a 的值是( )

A．10 B．5 C． -5 D． -10

8．（3 分）往一个圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若截面圆的直径是70cm ，水面宽 AB = 56cm ，则水的最大深度是( )
A． 7cm B．14cm C． 21cm D． 28cm

9．（3 分）抛物线 y = -2(x -1)2 + 3 上有三个点(-1, y ) ，(0, y ) ，(4, y ) ，那么 y 、y 、y
1 2 3 1 2 3

的大小关系是( )

A. y1 < y2 < y3
B. y1 = y3 < y2
C. y1 = y2 < y3
D. y2 > y1 > y3

10．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程(a - 2)x2 - (a + 2)x + 1 a = 0 没有实数根，且 a 满足
4

í 1 - a„3
ì2a - 5 < 1 ，则 a 的取值范围是( )
î

A. a„- 2

a ¹ 2
B. a < - 2
3
C． -2„a < - 2
3
D． - 2 < a < 3 且
3

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）二次函数 y = 2(x - 3)2 - 4 的对称轴为 ．

12．（3 分）一元二次方程 x(x - 3) = 0 的解是 ．
13．（3 分）小明爸爸在北京冬奥会期间购买了 3 个“冰墩墩”和 2 个“雪容融”，包装成外观一样的礼物，让小明从中随机抽一份，小明抽到“冰墩墩”的概率是 ．
14．（3 分）已知点 A(-3, - x ) 和点 B(x - 3, 2) 都是反比例函数 y = k + 6 图象上的点，则 k 的
3 x
值是 ．

15．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是(-3, 2) ， OA = 1 ，将点 B 绕点 A 顺时针旋转90° 得到点C ，则点C 的坐标是 ．

2
16．（3 分）如图， AB 是eO 的直径， ÐACB 的平分线交eO 于 D ， CD = 7 ， BC = 8 ，

则eO 的半径的长是 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）

17．（4 分）解方程： x2 + 6x - 7 = 0 ．

18．（4 分）如图，若四边形 ABCD 是半径为 2 的圆内接正方形．求图中阴影部分的面积．（结果保留p)

19．（6 分）如图，抛物线 y = ax2 + 2x + c 的图象与 x 轴交于点 A ， B(3, 0) ，与 y 轴交于点

C(0, 3) ．

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 若当 x = m ， y = ax2 + 2x + c 取得最大值时，求 m 的值．

20．（6 分）如图，当电压U 一定时，电流 I （单位： A) 关于电阻 R （单位： W) 的函数关
系式为 I = U ．
R
（1） 求这个电阻两端的电压；

（2） 如果电流不超过12 A ，求电阻应控制的范围．

21．（8 分）甲、乙两个口袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片所标有的三个数值分别为-2 ，4， -6 ，乙袋中的三张卡片所标的数值为-2 ，3，5．
（1） 小明在乙袋中随机抽取一张卡片，他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率是 ．

（2） 小红先从甲袋中随机取出一张卡片，用 x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用 y 表示取出的卡片上的数值，把 x ，y 分别作为点 A 的横坐标和纵坐标．请用列举法写出点 A(x, y) 的所有情况，并求点 A 在第二象限的概率．

22．（10 分）如图，用总长为40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为 25m ．

（1） 如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边 BC 长为 am ，求鸡棚与墙垂直的一边 AB 的长；（用含 a 的式子表示）
（2） 设鸡棚与墙垂直的一边 AB 的长为 x m ，求这个矩形鸡棚面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
（3） 试探索，这个矩形鸡棚的面积 S 能否等于 250m2 ，若可以，求出此时 AB 的长，若不行，请说明理由．

23．（10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形．

（1） 尺规作图：将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转一定角度得到矩形 AB¢C¢D¢ ，使点 B 落在CD 边上；
（2） 若 AB = 5 ， BC = 3 ，连接 BB¢ ，求 BB¢ 的长；
（3） 若ÐDAD¢ = a ，求ÐCB¢B 的度数（用含 a 的表示）．

24．（12 分）如图，eO 为等边DABC 的外接圆，半径为 4，点 D 在劣弧 AC 上运动（不与 A 、
C 重合），连结 DA 、 DB 、 DC ．
（1） 若ÐCAD = 15° ，求ÐBCD 的大小．
（2） 求证： AD + DC = BD ．
（3） 试探索：四边形 ABCD 的面积 S 与 BD 的长 x 之间的函数关系，并求出函数解析式．

25．（12 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 + (k + 4)x + k -1 = 0 ．

（1） 求证：一元二次方程 x2 + (k + 4)x + k -1 = 0 一定有两个不相等的实数根．

（2） 若抛物线 y = x2 + (k + 4)x + k -1 的图象与 x 轴交于 A(-3, 0) ，B 两点，与 y 轴交于点C ，一次函数 y = ax - 3 图象过 A ， C 两点，点 P(m, n) 在抛物线上．
①若 m < 0 ，且 SDABP = SDABC ，求点 P 的坐标．

②点 P(m, n) 在直线 AC 下方，求四边形 ABCP 的面积的最大值．

第 26页（共 26页）

2022-2023 学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（3 分）方程(x - 2)2 = 9 的解是( )

A． x1 = 5 ， x2 = -1
B． x1 = 5 ， x2 = 1
C． x1 = 11 ， x2 = -7
D． x1 = -11 ， x2 = 7

【解答】解：Q(x - 2)2 = 9 ，

\ x - 2 = ±3 ，
即 x - 2 = 3 或 x - 2 = -3 ， 解得 x1 = 5 或 x2 = -1 ，
故选： A ．
2．（3 分）如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180° 后得到的图案( )

A. B．
C． D．
【解答】解：由旋转的性质可知只有 D 选项符合题意； 故选： D ．
3．（3 分）将抛物线 y = 2x2 向左平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是( )

A． y = 2x2 + 3
B． y = 2x2 - 3
C． y = 2(x + 3)2
D． y = 2(x - 3)2

【解答】解：将抛物线 y = 2x2 向左平移 3 个单位所得直线解析式为： y = 2(x + 3)2 ； 故选： C ．

4．（3 分）平面内，⊙O 的半径为 2，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙O 的切线条数为

（ ）

A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．无数条

【解答】解：∵⊙O 的半径为 2，点 P 到 O 的距离为 2，

∴点 P 在⊙O 上，

∴过点 P 可作⊙O 的一条切线． 故选：B．
5．（3 分）下列事件中，随机事件是( )

A．掷一枚硬币，正面朝上 B．如果 a = b ，那么 a - c = b - c

C．对于实数 a ， a2 < 0
D．两直线平行，同位角相等

【解答】解： A 、掷一枚硬币，正面朝上，属于随机事件，故符合题意；

B 、如果 a = b ，那么 a - c = b - c ，属于必然事件，不符合题意；
C 、对于实数 a ， a2 < 0 ，属于不可能事件，不符合题意；
D 、两直线平行，同位角相等，属于必然事件，不符合题意． 故选： A ．
6．（3 分）反比例函数 y = m - 3 的图象，当 x > 0 时， y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范
x

围是( )

A. m < 3


B. m„3


C. m > 3


D. m…3

【解答】解：Q当 x > 0 时， y 随 x 的增大而增大，
\ m - 3 < 0 ， 解得 m < 3 ， 故选： A ．
7．（3 分）若 a 是方程2x2 - x - 5 = 0 的一个解，则 4a2 - 2a 的值是( )

A．10 B．5 C． -5
【解答】解：Q a 是方程 2x2 - x - 5 = 0 的一个解，
\ 2a2 - a - 5 = 0 ，
\ 2a2 - a = 5 ，
D． -10

\4a2 - 2a = 2(2a2 - a) = 2 ´ 5 = 10 ，

故选： A ．

8．（3 分）往一个圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若截面圆的直径是70cm ，水面宽 AB = 56cm ，则水的最大深度是( )
A． 7cm B．14cm C． 21cm D． 28cm

【解答】解：连接OA ，过点O 作OC ^ AB ，交 AB 于点 D ，交圆O 于C ，如图所示：

\OA = OC = 35cm ， AD = 1 AB = 28cm ，
2

OA2 - AD2
\ OD = = 21cm ，

\ DC = OC - OD = 14cm ，
\水的最大深度为14cm ； 故选： B ．
9．（3 分）抛物线 y = -2(x -1)2 + 3 上有三个点(-1, y ) ，(0, y ) ，(4, y ) ，那么 y 、y 、y
1 2 3 1 2 3

的大小关系是( )

A. y1 < y2 < y3
B. y1 = y3 < y2
C. y1 = y2 < y3
D. y2 > y1 > y3

【解答】解：根据题意得：抛物线 y = -2(x -1)2 + 3 的对称轴为直线 x = 1 ，

Q-2 < 0 ，
\抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，
Q 4 - 1 > -1 - 1 > 0 - 1，
\ y2 > y1 > y3 ．

故选： D ．
10．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程(a - 2)x2 - (a + 2)x + 1 a = 0 没有实数根，且 a 满足
4

í 1 - a„3
ì2a - 5 < 1 ，则 a 的取值范围是( )
î

A. a„- 2

a ¹ 2
B. a < - 2
3
C． -2„a < - 2
3
D． - 2 < a < 3 且
3

【解答】解：Q关于 x 的一元二次方程(a - 2)x2 - (a + 2)x + 1 a = 0 没有实数根，
4
\ V= (a + 2)2 - 4(a - 2) ´ 1 a = 6a + 4 < 0 ， a - 2 ¹ 0 ，
4
\ a < - 2 ， a ¹ 2 ，
3

í 1 - a„3
Q a 满足ì2a - 5 < 1 ，
î

由 2a - 5 < 1 得 a < 3 ， 由1 - a„3 得 a…- 2 ，
\-2„a < 3 ，
\ -2„a < - 2 ．
3
故选： C ．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）二次函数 y = 2(x - 3)2 - 4 的对称轴为 x = 3 ．

【解答】解：由 y = 2(x - 3)2 - 4 知该抛物线的对称轴为 x = 3 ， 故答案为： x = 3 ．
12．（3 分）一元二次方程 x(x - 3) = 0 的解是 x1 = 0 ， x2 = 3 ．

【解答】解： x = 0 或 x - 3 = 0 ， 所以 x1 = 0 ， x2 = 3 ．
故答案为 x1 = 0 ， x2 = 3 ．

13．（3 分）小明爸爸在北京冬奥会期间购买了 3 个“冰墩墩”和 2 个“雪容融”，包装成外

观一样的礼物，让小明从中随机抽一份，小明抽到“冰墩墩”的概率是 3 ．
5
【解答】解： 3 = 3 ，

3 + 2 5
因此小明抽到“冰墩墩”的概率是 3 ，
5
3
故答案为： ．
5
14．（3 分）已知点 A(-3, - x ) 和点 B(x - 3, 2) 都是反比例函数 y = k + 6 图象上的点，则 k 的
3 x
值是 0 ．
【解答】解：把点 A(-3, - x ) ， B(x - 3, 2) 代入反比例函数 y = k + 6 得：
3 x
ì k + 6 = - x
ï -3 3 ，
í k + 6
ï = 2
îï x - 3

íx = 6
解得： ìk = 0 ；
î

故答案为：0．
15．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是(-3, 2) ， OA = 1 ，将点 B 绕点 A 顺时针旋转90° 得到点C ，则点C 的坐标是 (3, 4) ．

【解答】解： 如图， 过点 C 作 CD ^ x 轴于点 D ， 过点 B 作 BE ^ x 轴于点 E ， 则
ÐADC = ÐAEB = 90° ，
\ÐBAE + ÐABE = 90° ，
根据题意得： AC = AB ， ÐBAC = 90° ，
\ÐBAE + ÐCAD = 90° ，
\ÐABE = ÐCAD ，
\DABE @ DCAD ，
\ AD = BE ， CD = AE ，
Q点 B 的坐标是(-3, 2) ，

\OE = 3 ， AD = BE = 2 ，
QOA = 1 ，
\OD = 3 ， CD = AE = 4 ，
\点C 的坐标为(3, 4) ． 故答案为： (3, 4) ．

2
16．（3 分）如图， AB 是eO 的直径， ÐACB 的平分线交eO 于 D ， CD = 7 ， BC = 8 ，

则eO 的半径的长是 5 ．
【解答】解：过点 B 作 BE ^ CD 于点 E ，如图所示：

Q AB 是eO 的直径，
\ÐACB = ÐADB = 90° ，
Q CD 平分ÐACB ，
\ ÐDAB = ÐBCD = 1 ÐACB = 45° ，
2
\DABD ， DBEC 都为等腰直角三角形，

\ CE = BE =

2
Q CD = 7
2 BC = 4 2, AB =
2

，

2BD ，

2
\ ED = 3 ，

DE2 + BE2
2
\ BD = = 5 ，

\ AB = 2BD = 10 ，

\eO 的半径的长 5； 故答案为：5．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）

17．（4 分）解方程： x2 + 6x - 7 = 0 ．
【解答】解：Q x2 + 6x - 7 = 0 ，
\(x + 7)(x - 1) = 0 ，

\ x1 = -7 或 x2 = 1 ．

18．（4 分）如图，若四边形 ABCD 是半径为 2 的圆内接正方形．求图中阴影部分的面积．（结果保留p)
【解答】解：连接 AC ， BD 交于点O ，如图：

Q四边形 ABCD 是半径为 2 的圆内接正方形，
\点O 是圆心， OD = OC = 2 ， ÐDOC = 90° ，
\eO 的面积为：p× OD2 = 4p，

正方形 ABCD 的面积为： 4S


DDOC
= 4 ´ 1 OD × OC = 4 ´ 1 ´ 2 ´ 2 = 8 ，
2 2

\阴影部分的面积为： 4p- 8 ．

19．（6 分）如图，抛物线 y = ax2 + 2x + c 的图象与 x 轴交于点 A ， B(3, 0) ，与 y 轴交于点

C(0, 3) ．

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 若当 x = m ， y = ax2 + 2x + c 取得最大值时，求 m 的值．

【解答】解：（1）把点 B(3, 0) ， C(0, 3) 代入抛物线 y = ax2 + 2x + c 得：

ì9a + 6 + c = 0 ，
î
í c = 3

í c = 3
解得： ìa = -1 ，
î

\抛物线解析式为 y = -x2 + 2x + 3 ；

（2）由（1）可知抛物线解析式为 y = -x2 + 2x + 3 ，则有抛物线开口向下，对称轴为直线

x = -
2

2 ´ (-1)
= 1 ，

\当 x = 1 时，抛物线 y = -x2 + 2x + 3 有最大值，即为 y = -12 + 2 + 3 = 4 ；

\ m = 1 ．
20．（6 分）如图，当电压U 一定时，电流 I （单位： A) 关于电阻 R （单位： W) 的函数关
系式为 I = U ．
R
（1） 求这个电阻两端的电压；

（2） 如果电流不超过12 A ，求电阻应控制的范围．

【解答】解：（1）把点 A(9,3) 代入 I = U 得：
R
3 = U ，解得： U = 27 ，
9
即这个电阻两端的电压 27V ；
（2）由（1）得：电流 I （单位： A) 关于电阻 R （单位： W) 的函数关系式为 I = 27 ，
R
当 I = 12 时，12 = 27 ，
R
解得： R = 9 ，
4
Q 27 > 0 ， R > 0 ，
\ I 随 R 的增大而减小，
Q电流不超过12 A ，
\电阻应控制的范围为 R… 9 W ．
4
21．（8 分）甲、乙两个口袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片所标有的三个数值分别为-2 ，4， -6 ，乙袋中的三张卡片所标的数值为-2 ，3，5．
（1） 小明在乙袋中随机抽取一张卡片，他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率是
2 ．
3
（2） 小红先从甲袋中随机取出一张卡片，用 x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用 y 表示取出的卡片上的数值，把 x ，y 分别作为点 A 的横坐标和纵坐标．请用列举法写出点 A(x, y) 的所有情况，并求点 A 在第二象限的概率．
【解答】解：（1）他抽出来的卡片上所标的数值是奇数的概率为 2 ；
3
故答案为： 2 ；
3
（2）根据题意点 A(x, y) 的所有情况有：(-2, -2) ，(-2, 3) ，(-2, 5) ，(4, -2) ，(4,3) ，(4,5) ，
(-6, -2) ， (-6, 3) ， (-6, 5) ，

一共有 9 种等可能结果，其中点 A 在第二象限的有 4 种，
所以点 A 在第二象限的概率为 4 ．
9
22．（10 分）如图，用总长为40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为 25m ．

（1） 如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边 BC 长为 am ，求鸡棚与墙垂直的一边 AB 的长；（用含 a 的式子表示）
（2） 设鸡棚与墙垂直的一边 AB 的长为 x m ，求这个矩形鸡棚面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
（3） 试探索，这个矩形鸡棚的面积 S 能否等于 250m2 ，若可以，求出此时 AB 的长，若不行，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意得： AB = 40 - a = (20 - 1 a)m ；
2 2

（2）由题意得： S = x(40 - 2x) = -2x2 + 40x ，

Q0 < 40 - 2x„25 ，
\7.5„x < 20 ；
（3）这个矩形鸡棚的面积 S 不能等于 250m2 ， 理由如下：由（2）可知： -2x2 + 40x = 250 ， 化简得 x2 - 20x + 125 = 0 ，
Q△ = b2 - 4ac = 400 - 4 ´125 = -100 < 0 ，
\该方程无实数解，
即这个矩形鸡棚的面积 S 不能等于 250m2 ．
23．（10 分）如图，四边形 ABCD 是矩形．

（1） 尺规作图：将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转一定角度得到矩形 AB¢C¢D¢ ，使点 B 落在CD 边上；
（2） 若 AB = 5 ， BC = 3 ，连接 BB¢ ，求 BB¢ 的长；
（3） 若ÐDAD¢ = a ，求ÐCB¢B 的度数（用含 a 的表示）．

【解答】解：（1）如图所示：

如图所示即为所求．

（2） 由旋转性质可知 AB = AB¢ = 5 ，
在矩形 ABCD 中， AD = BC = 3 ， ÐADB¢ = 90° ，

AB¢2 - AD2
52 - 32
\ DB¢ = =

\CB¢ = 5 - 4 = 1 ．

(CB)2 + BC2
\.BB¢ = =
= 4 ，

12 + 32
10
= ；

（3） 由旋转的性质可知， ÐDAD¢ = ÐBAB¢ = a ， AB = AB¢ ，
\ÐABB¢ = ÐAB¢B ，
?
\ÐAB¢B = ÐABB¢ = 180° -a = 90° - a ，
2 2
Q AB / /CD ，
?
\ÐCB¢B = ÐAB¢B = 90° - a ，
2
24．（12 分）如图，eO 为等边DABC 的外接圆，半径为 4，点 D 在劣弧 AC 上运动（不与 A 、
C 重合），连结 DA 、 DB 、 DC ．

（1） 若ÐCAD = 15° ，求ÐBCD 的大小．

（2） 求证： AD + DC = BD ．
（3） 试探索：四边形 ABCD 的面积 S 与 BD 的长 x 之间的函数关系，并求出函数解析式．

【解答】（1）解：Q DABC 是等边三角形，
\ÐBAC = 60° ，
QÐCAD = 15° ，
\ÐBAD = ÐBAC + ÐCAD = 75° ，
Q四边形 ABCD 为圆内接四边形，
\ÐBCD + ÐBAD = 180° ，
\ÐBCD = 105° ；
（2） 证明：如图，在线段 BD 上取点 P ，使 PD = CD ，

QDABC 是等边三角形，
\ÐACB = ÐBAC = 60° ， AC = BC ，
QÐBDC = ÐBAC = 60° ，
\DPDC 是等边三角形，
\ PC = CD ， ÐPCD = ÐDPC = 60° ，
\ÐPCD = ÐACB ，
\ÐACD = ÐBCP ，
\DACD @ DBCP(SAS ) ，
\ AD = BP ，
Q BD = BP + PD ，
\ AD + DC = BD ；
（3） 解：如图，过点 B 作 BE ^ AC 于点 E ，连接OA ，则OA = 4 ， AC = 2 AE ，

QeO 为等边DABC 的外接圆，则点O 在 BE 上，
\OA = OB = 4 ， ÐABE = ÐCAO = 30° ，
\ OE = 1 OA = 2 ，
2

3
\ AE = 2 ，

3
\ AC = 2 AE = 4 ，

Q点 D 在劣弧 AC 上运动，

3
3
\ 4 < BD„4 ´ 2 = 8 ，即 4 < x„8 ，

如图， 把 DABD 绕点 B 顺时针旋转 60° 得到 DCBH
ÐDBH = 60° ，

\ S = SDADB + SDBDC = SDBDH ，
Q四边形 ABCD 为圆内接四边形，
\ÐBAD + ÐBCD = 180° ，
\ÐBCH + ÐBCD = 180° ，
\点 D ， C ， H 三点共线， DBDH 是等边三角形，
过点 H 作 HG ^ BD 于点G ，则 BG = 1 BD = 1 x ，
2 2
， 则 BD = BH
， ÐBAD = ÐBCH ，

\ GH =

\ S
3 x ，
2
= 1 BD ´ GH = 1 x ´


3 x =

3 x 2 ，

DBDH
2 2 2 4

即四边形 ABCD 的面积 S 与 BD 的长 x 之间的函数关系为二次函数， 函数解析式为

3
S = 3 x2 (4 4

< x„8) ．

25．（12 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 + (k + 4)x + k -1 = 0 ．

（1） 求证：一元二次方程 x2 + (k + 4)x + k -1 = 0 一定有两个不相等的实数根．

（2） 若抛物线 y = x2 + (k + 4)x + k -1 的图象与 x 轴交于 A(-3, 0) ，B 两点，与 y 轴交于点C ，一次函数 y = ax - 3 图象过 A ， C 两点，点 P(m, n) 在抛物线上．
①若 m < 0 ，且 SDABP = SDABC ，求点 P 的坐标．

②点 P(m, n) 在直线 AC 下方，求四边形 ABCP 的面积的最大值．

【解答】（1）证明：由题意得：关于 x 的一元二次方程 x2 + (k + 4)x + k -1 = 0 ，

a = 1 ， b = k + 4 ， c = k - 1 ，

\△ = b2 - 4ac = (k + 4)2 - 4 ´1´ (k -1) = k 2 + 4k + 20 = (k + 2)2 + 16 > 0 ， 故该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）解：①把 A(-3, 0) 代入 y = x2 + (k + 4)x + k -1 ，

得： 0 = (-3)2 - 3(k + 4) + k -1， 解得： k = -2 ，
\抛物线解析式为： y = x2 + 2x - 3 ， 当 y = 0 时， 0 = x2 + 2x - 3 ，
解得： x1 = -3 ， x2 = 1 ，

\点 B(1, 0) ，
当 x = 0 时， y = 0 + 0 - 3 = -3 ，
\点C(0, -3) ，
\ AB = 1- (-3) = 4 ，

\ SDABC
= 1 × AB × CO = 1 ´ 4 ´ 3 = 6 ，
2 2

Q P(m, n) ，过点 P 作 PH ^ AB 交 AB 于点 H ，
\ PH =| n | ，

\ SDABP
= 1 × AB × PH = 1 ´ 4´ | n |= 2 | n | ，
2 2

Q SDABP = SDABC ，
\ 2 | n |= 6 ，
解得： n = -3 或 n = 3 ，
当 n = -3 时， -3 = m2 + 2m - 3 ， 解得： m = -2 或 m = 0 （舍去），当 n = 3 时， 3 = m2 + 2m - 3 ，
7
7
解得： m = - - 1或 m = - 1（舍去）；

7
\点 P(-2, -3) 或 P(- - 1, 3) ；

②把 A(-3, 0) 代入 y = ax - 3 ， 得： 0 = -3a - 3 ，
解得： a = -1 ，
\ y = -x - 3 ，
Q点 P(m, n) 在抛物线上，且在 AC 下方，
\ n = m2 + 2m - 3 ，
过点 P 作 PH ^ x 轴，作 PN ^ y 轴，

\ PH =| n |= -m2 - 2m + 3 ，

PN = -m ，

\ S四边形ABCP = SDBOC + SDOPC + SDAOP ，

又Q S


DAOP
= 1 ´ 3 ´ (-m2 - 2m + 3) = - 3 m2 - 3m + 9 ，
2 2 2

SDOPC
= 1 ´ 3 ´ (-m) = - 3 m ，
2 2

SDBOC
= 1 ´1´ 3 = 3 ，
2 2

\ S四边形ABCP
= - 3 m2 - 3m + 9 - 3 m + 3 = - 3 m2 - 9 m + 6 ，
2 2 2 2 2 2

3 æ 3 ö2 75
è ø
即 S四边形ABCP = - 2 çm + 2 ÷ + 8 ，

当 m = - 3 时，四边形 ABCP 的面积有最大值，最大值为 75 ．
2 8