Yule-Furry经典δ冲击模型的可靠度.pdf

浙江大学学报（理学版）Journal of Zhejiang University（Science Edition）http：/ 50 卷第 5 期2023 年 9月Vol.50 No.5Sept.2023 Yule-Furry经典 冲击模型的可靠度马明，拉毛措*，彭博（西北民族大学 数学与计算机科学学院，甘肃 兰州 730030）摘要：可靠度是可靠性模型理论研究的重要内容之一，尤其在 冲击模型中可靠度是讨论其他指标的前提。采用重积分法、独立卷积法、无记忆法证明了 Yule-Furry 经典 冲击模型的系统可靠度，并分析了 3 种方法的异同。由无记忆法的证明过程，得到寿命T的分布函数，并推导了可靠度的简单证法。关键词：冲击模型；Yule-Furry过程；可靠度中图分类号：O 213.2 文献标志码：A 文章编号：10089497（2023）0555806MA Ming,Lamaocuo,PENG Bo（School of Mathematics and Computer Science，Northwest Minzu University，Lanzhou 730030，China）Reliability of Yule-Furry classic shock model.Journal of Zhejiang University(Science Edition),2023,50(5):558563,579Abstract:Reliability is the primary topic in the theoretical research of reliability models,especially the premise for discussing other indicators in the shock model.In this paper,three methods including multiple integration method,independent convolution method and memoryless method are used to prove the system reliability of Yule-Furry classical shock model,and the similarities and differences between the three methods are analyzed.Based on the proof process of the memoryless method,the distribution function of the lifetime T is obtained,and a simple proof of reliability is derived.Key Words:shock model;Yule-Furry process;degree of reliability0引 言冲击模型是可靠性数学理论的主要组成部分。一般以交通、医学、生产等领域为背景，研究随机环境中各运行系统的寿命分布以及维修更换策略等。冲击模型是由冲击间隔引起失效的一种特殊冲击模型，按失效机制可分为经典 冲击模型和截断 冲击模型两类。经典 冲击模型由李泽慧1在研究城市交通拥挤问题时抽象得到，其失效机制为当连续两次冲击的时间间隔低于临界值 时系统失效，这类问题在现实世界中普遍存在，如电路中连续强电流冲击引起的发热导致元件失效，电子通信中连续干扰引起信号失真等；截断 冲击模型由 MA等2在研究客户关系管理中刻画得到，其失效机制为当冲击时间间隔超过临界值 时尚无新的冲击到达则系统失效。这类模型在地震现象描述、客户关系管理、环境保护及其他许多领域都有重要应用。近年来，冲击模型广受国内外学者关注，例如李泽慧等3用统计量法得到了基础过程为齐次泊松的经典 冲击模型的寿命分布及其性质；王冠军等4用概率法给出了模型的寿命分布及其最优更换策略；何雪等5讨论了冲击间隔服从泊松分布的离散型 冲击模型，得到系统寿命的概率分布和期望DOI：10.3785/j.issn.1008-9497.2023.05.006收稿日期：20220913；修回日期：20230321；接受日期：20230328；出版日期：20230925.基金项目：中央高校基本科研业务费专项资助（31920210019）；甘肃省高等教育教学成果培育项目（2021GSJXCGPY-03）.作者简介：马明（1971），ORCID：https：/orcid.org/0000-0003-1374-5346，男，博士，教授，主要从事可靠性理论与数理关系营销研究.E-mail：.*通信作者：ORCID：https：/orcid.org/0009-0001-0760-5219，E-mail：.马明，等：Yule-Furry经典 冲击模型的可靠度第 5期的表达式；LI等6讨论了非齐次泊松经典 冲击模型的显式可靠度及寿命分布类性质；唐风琴等7探究了时倚泊松经典对偶 冲击模型的相关寿命性质及其最优更换策略；ERYILMAZ等8研究了冲击按更新过程到达且间隔时间遵从均匀分布的 冲击模型，给出该模型的系统可靠度和平均失效寿命；ERYILMAZ9还研究了基于 Plya 过程的经典 冲击模型，得到系统的生存函数和平均寿命，并考虑了基 于 Plya 过 程 的 冲 击 模 型 的 最 优 更 换 策 略；JIANG 10提出了具有多失效阈值的广义离散型 冲击模型，分析并推导了平均成本率和平稳可用性，在可用性约束下，通过数值计算得到最优的订货替换策略；GOYAL 等11 讨论了广义 Plya 过程发生的时变 冲击模型，推导了模型的生存函数和平均寿命，研究了最优更换策略和随机性质。经典 冲击模型最初用于解决城市交通事故相关问题，随后在产品库存问题和系统更换策略研究中得到广泛应用，还可用于细胞癌变病例和生物繁殖研究。以上对 冲击模型研究关注的是冲击时间间隔独立同分布，当冲击时间间隔独立且服从同类型不同参数分布时，特别是冲击到达率变化时，尚未见对此类 冲击模型进行研究的报道。因此，本文将讨论 Yule-Furry 经典 冲击模型的寿命性质，其冲击间隔服从参数按冲击次数线性变化的指数分布。1预备知识首先介绍一类很重要的计数过程，因 YULE12和 FURRY13将计数过程分别用于研究以突变分裂方式进行繁殖的生物群体和与宇宙射线有关的问题，而被称为 Yule-Furry过程。定义 114 设计数过程X(t)，t 0是一个连续时间马尔科夫链，给定正整数m，若对任意的t0，h 0，n=m，m+1，存在 0，使得 X(t)，t 0 满足：（i）X(0)=m；（ii）P(X(t+h)-X(t)=1|X(t)=n)=nh+(h)；（iii）P(X(t+h)-X(t)2|X(t)=n)=(h)；则称X(t)，t 0是参数为(m，)的 Yule-Furry 过程，也 称 为 线 性 纯 生 过 程，记 作X(t)，t0YFP(m，)，其中为生率系数，m为初始生率。定义 2 事件点在时间轴上随机分布的现象称为随机点过程，简称点过程，记作。对于t 0，n=1，2，N(t)表示 0，t)之间发生的事件点数，Sn为第n个事件点发生的时刻，Zn表示第n-1个和第n个事件点的时间间隔，其中Z1表示 首 次 冲 击 时 刻，则 随 机 过 程N(t)，t 0，Sn，n=1，2，Zn，n=1，2，分 别 称 为 点 过程的点数过程、点时过程、点距过程，常用这 3 种随机过程表征随机点过程。定义 3 设N(t)，t 0是点过程的点数过程，给 定 正 整 数m，对 任 意 的t 0，令X(t)=N(t)+m，如果X(t)，t 0YFP(m，)，则称是 参 数 为(m，)的 Yule-Furry 点 过 程，记 作 YFP(m，)。下面引入几个比较重要的引理。引 理 114 若 YFP(m，)，Sn，n=1，2，Zn，n=1，2，分别为的点时过程和点距过程，则有以下性质（其中规定00=1）：（i）对于n=1，2，点距Z1，Z2，Zn相互独立且Zn服从参数为(n+m-1)的指数分布，即Zn的密度为fZn(t)=(n+m-1)e-(n+m-1)t，t 0，0，t 0；（ii）若m=1，则对任意的n 1，点时Sn的分布函数为P(Sn t)=(1-e-t)n，t 0，0，t 0，记M=inf n|Zn，n=1，2，T=n=1MZn，规定inf =，表示空集，则称系统寿命T遵循冲击参数为(m，)、失效参数为 的 Yule-Furry 经典 冲击模型，记作TSM YFP(m，)，D()。3主要结果可靠度是系统可靠性的重要指标之一，本节将给出SM YFP(1，)，D()的系统可靠度。以下若不特别说明，N(t)，t 0，Sn，n=1，2，Zn，n=1，2，分别记为点过程 YFP(1，)的点数过程、点时过程、点距过程，记(x)+=max(x，0)，并规定00=1。定理 1 SM YFP(1，)，D()的系统可靠度FT(t)为FT(t)=1，t 0，e-tn=0t/e-n(n-1)2 1-e-(t-n)n，t 0。其中，t/为不超过实数t/的最大整数。证明 分别用重积分法、独立卷积法、无记忆法进行证明。方法 1 重积分法。当t t)=1。对于t 0，关于失效前冲击次数M，取条件可得P(T t)=P(T t，M=1)+n=2P(T t，M=n)，（1）其中，M=1 表示首次冲击引起失效，即有T=Z1，则P(T t，M=1)=P(Z1 t，Z1 )=0，t ，e-t-e-，0 t t，M=n)=P()i=1nZi t，Z1，Zn-1，Zn t，M=n)=x1，x2，xn tf(Z1，Z2，Zn)(x1，x2，xn)dx1dx2dxn，（4）由引理 1（i），易得 x1，x2，xntf(Z1，Z2，Zn)(x1，x2，xn)dx1dx2dxn=0n！ne-nxx1，x2，xn-1 i=1n-1e-ixidx1dx2dxn-1-x1，x2，xn-1x1+x2+xn-1t-xi=1n-1e-ixidx1dx2dxn-1 dx。（5）对于任意的n 2，0 x t，M=n)=e-n(n-1)2(1-e-n)-n0e-nx 1-e-t-x-(n-1)+n-1dx)。（8）若n 2，由于1-e-t-x-(n-1)+=1-e-t-x-(n-1)，x t-(n-1)，0，x t-(n-1)，则0e-nx 1-e-t-x-(n-1)+n-1dx=0，t(n-1)，1n 1-e-t-(n-1)n，(n-1)t t，M=n)=e-n(n-1)2（(1-e-n)+e-n 1-e-(t-n)+n-1-e-t-(n-1)+n）。（10）注意到，当n=1时，式（10）等价于式（2），所以，对任意的n 1，式（10）均成立。将式（10）代入式（1），可得P(T t)=n=1e-n(n-1)2（(1-e-n)+e-n 1-e-(t-n)+n-1-e-t-(n-1)+n）。（11）注意到e-n(n-1)2(1-e-n)=P(M=n)，且n=1e-n(n-1)2(1-e-n)=1，（12）所以P(T t)=n=0e-n(n+1)2 1-e-(t-n)+n-n=1e-n(n-1)2 1-e-t-(n-1)+n。（13）由于，当t 0时，对n=1，2，有 1-e-(t-n)+n=1-e-(t-n)n，t n，0，t n，1-e-t-(n-1)+n=1-e-t-(n-1 )n，t(n-1)，0，t t)=n=0t e-n(n+1)2 1-e-(t-n)n-n=1t +1e-n(n-1)2 1-e-t-(n-1)n，（14）右边第 2项变量替换并合并，可得P(T t)=n=0t e-n(n+1)2 1-e-(t-n)n-n=0t e-n(n+1)2 1-e-(t-n)n+1=e-tn=0t e-n(n-1)2 1-e-(t-n)n。定理 1得证。方法 2 独立卷积法。多重积分法主要是将P(T t，M=n)表示成密度的重积分进行计算，下面用独立卷积法计算式（3），仍讨论n 2的情形。对于i=1，2，n，ZiExp(i)且相互独立，注意到当 M=n 发生时，T=Sn。若记FZn(x)为Zn的分布函数，则P(T t，M=n)=P(Sn t，Z1，Z2，Zn-1，Zn t，Z1，Z2，Zn-1，Zn t，Z1，Z2，Zn-1|Zn=x)dFZn(x)=0ne-nxP(Sn-1t-x，Z1，Z2，Zn-1 )dx=e-n(n-1)20ne-nxP(Sn-1 t-x|Z1，Z2，Zn-1 )dx。（15）下证P(Sn-1 t-x|Z1，Z2，Zn-1 )=P(Rn-1 t-x)，（16）其中，Rn-1=Y1+Y2+Yn-1，且Y1，Y2，Yn-1相 互 独 立，P(Yi y)=FYi(y)=P(Zi t-x|Z1 )=P(Z1 t-x|Z1 )=P(Y1 t-x)=P(R1 t-x)。假设P(Sn-2 t-x|Z1，Z2，Zn-2 )=P(Rn-2 t-x)，（17）由于冲击间隔Z1，Z2，Zn-1相互独立，则561浙 江 大 学 学 报（理学版）第 50 卷P(Sn-1 t-x|Z1，Z2，Zn-1 )=EP(Sn-1 t-x|Z1，Z2，Zn-1，Zn-1)|Z1，Z2，Zn-1=P(Sn-2 t-x-y|Z1，Z2，Zn-2 )dFZn-1|Zn-1(y)=P(Sn-2 t-x-y|Z1，Z2，Zn-2 )dFYn-1(y)。而由式（17），易得P(Sn-2 t-x-y|Z1，Z2，Zn-2 )dFYn-1(y)=P(Rn-2 t-x-y)dFYn-1(y)，另外P(Rn-1 t-x)=P(Rn-1 t-x|Yn-1=y)dFYn-1(y)=P(Rn-2 t-x-y)dFYn-1(y)，因此，式（16）成立。记FRn-1(t-x)=P(Rn-1 t-x)。当n 2时，若FRn-1(t-x)=1-e-t-x-(n-1)n-1，x t-(n-1)0，x t-(n-1)=1-e-t-x-(n-1)+n-1，（18）则由式（16）和式（18），易得P(Sn-1 t-x|Z1，Z2，Zn-1 )=1-1-e-t-x-(n-1)+n-1，（19）将式（19）代入式（15），即可得式（8）。下 证 当n 2时 式（18）成 立。由 于ZiExp(i)，i=1，2，n-1，则FYi(y)=P(Zi y|Zi )=1-e-i(y-)，y 0，y t-=1-e-(t-x-)+。假设FRn-2(t-x)=1-e-t-x-(n-2)+n-2，则FRn-1(t-x)=-P(Rn-2t-x-y|Yn-1=y)dFYn-1(y)=FRn-2(t-x-y)d 1-e-(n-1)(y-)。由归纳假设，可得FRn-1(t-x)=1-e-t-x-y-(n-2)+n-2d 1-e-(n-1)(y-)=(n-1)1-e-t-x-y-(n-2)+n-2e-(n-1)(y-)dy。由于 1-e-t-x-y-(n-2)+n-2=1-e-t-x-y-(n-2)n-2，yt-x-(n-2)，0，yt-x-(n-2)，当0 t-x-(n-2)时，FRn-1(t-x)=0 dy=0，当t-x-(n-2)时，FRn-1(t-x)=(n-1)t-x-(n-2)1-e-t-x-y-(n-2)n-2e-(n-1)(y-)dy=1-e-t-x-(n-1)n-1，故FRn-1(t-x)=1-e-t-x-(n-1)n-1，t-x-(n-2)0，t-x-(n-2)t-x|Z1，Z2，Zn-1 )=P(Z1+Z2+Zn-1 t-x-(n-1)=1-P(Sn-1 t-x-(n-1)。再由引理 1（ii），得P(Sn-1 t-x|Z1，Z2，Zn-1 )=1-1-e-t-x-(n-1)+n-1，与式（19）一致。由式（13），易得系统寿命的分布函数，即推论 2 设TSM YFP(1，)，D()，则寿命T的分布函数为P(T t)=n=1e-n(n-1)2(1-e-t-(n-1)+n-e-n 1-e-(t-n)+n)。（20）562马明，等：Yule-Furry经典 冲击模型的可靠度第 5期4总 结采用多重积分法、独立卷积法及无记忆法讨论了SM YFP(1，)，D()系统的可靠度，3 种方法的关键点均为计算P(T t，M=n)。本质上，多重积分法为分析方法，即将P(T t，M=n)表示成冲击间隔联合密度的重积分进行计算，而独立卷积法和 无 记 忆 法 为 概 率 方 法，都 是 利 用 概 率 性 质 将P(T t，M=n)转化为独立和的卷积分布，特别是无记忆法，利用指数分布的无记忆性将条件分布转化为无条件指数分布的卷积。此外，从结果和证明过程中发现，还可挖掘新的简单方法。事实上，观察式（20）并结合式（11）的化简过程，可知式（20）中的e-n(n-1)2=P(M n-1)且e-n(n+1)2=P(M n)，另由引理 1（ii）及无记忆法证明过程，可得式（20）中的 1-e-t-(n-1)+n=P(Sn t-(n-1)+)=P(Sn t|M n-1)，1-e-(t-n)+n=P(Sn(t-n)+)=P(Sn t|M n)，所以，式（20）中的级数项可写成P(Sn t|M n-1)P(M n-1)-P(Sn t|M n)P(M n)=P(Sn t，M n-1)-P(Sn t，M n)，由于P(M=n)=P(M n-1)-P(M n)，因此，其可写成P(Sn t，M=n)，注意到在 M=n 发生时，T=Sn，所以 Sn t，M=n T t，M=n，即P(T t)=n=1P()T t，M=n。将上述分析过程倒推，可得推论 2的简洁证法，又因为P(T t，M=n)=P(M=n)-P(T t，M=n)，进而易得可靠度P(T t)。此方法是用纯概率性质得到的，证明过程比前3 种方法更简单。此方法对其他 冲击模型的系统研究有一定的借鉴作用。参考文献（References）：1李泽慧.与Poisson流有关的几个概率分布及其在城市交通拥挤问题中的应用 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