概率论、概率统计期末考试知识点.doc

知识点
第一章 随机事件与概率
本章重点：随机事件的概率计算．
1．**事件的关系及运算
(1) (或)．
(2) 和事件： ； （简记为）．
(3) 积事件： ， （简记为或)．
(4) 互不相容：若事件A和B不能同时发生，即
(5) 对立事件： ．
(6) 差事件：若事件A发生且事件B不发生，记作(或) ．

(7) 德摩根（De Morgan）法则：对任意事件A和B有
, .

2． **古典概率的定义
古典概型：
．
几何概率
·
3．**概率的性质
(1) ．
(2) (有限可加性) 设n个事件两两互不相容，则有
．
(3)．
(4) 若事件A，B满足，则有
,
．
(5) ．
(6) (加法公式) 对于任意两个事件A，B，有
.
对于任意n个事件，有
.
4．**条件概率与乘法公式
.
乘法公式：
.
5．*随机事件的相互独立性
事件A与B相互独立的充分必要条件一：
，
事件A与B相互独立的充分必要条件二：
．
对于任意n个事件相互独立性定义如下：对任意一个，任意的，若事件总满足
，
则称事件相互独立．这里实际上包含了个等式．
6．*贝努里概型与二项概率
设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率，则在n次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生次的概率为
，
7．**全概率公式与贝叶斯公式
贝叶斯公式：
如果事件两两互不相容，且，，，则
．

第二章 一维随机变量及其分布
本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．
概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布．
1．**离散型随机变量及其分布律

分布律也可用下列表格形式表示：

　2．*概率函数的性质
　　 (1)　 ，　
　　 (2)　 ．
　3．*常用离散型随机变量的分布
　(1)　0—1分布，它的概率函数为
，
其中，或1，．
　(2)　二项分布，它的概率函数为
，
其中，，．
　(４)**　泊松分布，它的概率函数为
，
其中，，．
．4．*二维离散型随机变量及联合概率
二维离散型随机变量的分布可用下列联合概率函数来表示：

其中，．
5．*二维离散型随机变量的边缘概率
设为二维离散型随机变量，为其联合概率（），称概率为随机变量的边缘分布律，记为并有
，
称概率为随机变量Y的边缘分布率，记为，并有
=.
6．随机变量的相互独立性 ．
设为二维离散型随机变量，与相互独立的充分必要条件为

多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．
　　7．*随机变量函数的分布
　设是一个随机变量，是一个已知函数，是随机变量的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量，下面来求这个新的随机变量的分布．

　 设离散型随机变量的概率函数为

则随机变量函数的概率函数可由下表求得

但要注意，若的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率相加．

第三章 连续型随机变量及其分布
　 本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算．
1．*分布函数
随机变量的分布可以用其分布函数来表示，
．
　2．分布函数的性质
　　(1)　
　 (2) ;
由已知随机变量的分布函数，可算得落在任意区间内的概率
．
3．联合分布函数
二维随机变量的联合分布函数
．
　 4．联合分布函数的性质
　 (1)　 ；
　 (2) ，
　　　　；
　 (3)　 ．
5．**连续型随机变量及其概率密度
　 设随机变量的分布函数为，如果存在一个非负函数，使得对于任一实数，有

成立，则称X为连续型随机变量，函数称为连续型随机变量的概率密度．
　 6．**概率密度及连续型随机变量的性质
　　（１）
　　（２）；
　 （３）；
　 （4）设为连续型随机变量，则对任意一个实数c，；
　 (5)　设是连续型随机变量的概率密度，则有

　　　　　　＝．
7．**常用的连续型随机变量的分布
　(1)　均匀分布，它的概率密度为

其中，．
　 (2)　指数分布，它的概率密度为

其中，．
　 (3)　正态分布，它的概率密度为
，
其中，，当时，称为标准正态分布，它的概率密度为
，
标准正态分布的分布函数记作，即
，
当出时，可查表得到；当时，可由下面性质得到
．
　　　设，则有
；
．
　　８．**二维连续型随机变量及联合概率密度
对于二维随机变量(X，Y)的分布函数，如果存在一个二元非负函数，使得对于任意一对实数有

成立，则为二维连续型随机变量，为二维连续型随机变量的联合概率密度．
９．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质
(1) ；
(2) ；’
(3) 在的连续点处有
;
(4) 设为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域有
．
1０，**二维连续型随机变量的边缘概率密度
设为二维连续型随机变量的联合概率密度，则的边缘概率密度为
；
的边缘概率密度为
．

11．常用的二维连续型随机变量
(1)　均匀分布
如果在二维平面上某个区域G上服从均匀分布，则它的联合概率密度为

(2) 二维正态分布
如果的联合概率密度
则称服从二维正态分布，并记为
.
如果，则，，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布．
12．**随机变量的相互独立性 ．
，
那么，称随机变量与相互独立．
　 设为二维连续型随机变量，则与相互独立的充分必要条件为

如果．那么，与相互独立的充分必要条件是．
第四章 随机变量的数字特征
本章重点：随机变量的期望。方差的计算．
1．**数学期望
设是离散型的随机变量，其概率函数为

则定义的数学期望为
；
设为连续型随机变量，其概率密度为，则定义的数学期望为
．
　 2．*随机变量函数的数学期望
　　设为离散型随机变量，其概率函数

则的函数的数学期望为

设为二维离散型随机变量，其联合概率函数

则的函数的数学期望为
；
3．**数学期望的性质
(1) (其中c为常数)；
(2) (为常数)；
(3) ；
(4) 如果与相互独立，则.
4．**方差与标准差
随机变量的方差定义为
．
计算方差常用下列公式：
’
当为离散型随机变量，其概率函数为

则的方差为
；
当为连续型随机变量，其概率密度为，则的方差为
.
随机变量的标准差定义为方差的算术平方根.
5．**方差的性质
(1) (c是常数)；
(2) (为常数)；
(3) 如果与独立，则.
6．原点矩与中心矩
随机变量的阶原点矩定义为；
随机变量的阶中心矩定义为]；
7．**常用分布的数字特征
　　(1) 当服从二项分布时，
．
　 (2) 当服从泊松分布时，
，
　 (3) 当服从区间上均匀分布时，

　 (4) 当服从参数为的指数分布时，

　 (5) 当服从正态分布时，
．
　(6) 当服从二维正态分布时，
；
；

第五章  数理统计的基本概念
    本章重点：统计量的概念及其分布，分位数。
1. **常用统计量
（1）样本均值：
（2）样本方差和矩统计量：
（3）
2. **三个重要分布
（1）分布
设为独立标准正态变量，称随机变量的分布为自由度为n的分布，记为。
称满足：的点为分布的分位点。
（2）t分布
设随机变量X与Y独立，，则称

的分布为自由度n的t分布，记为。
称满足：的点为t分布的分位点。
（3）F分布
设随机变量U与V相互独立，，则称

的分布为自由度的F分布，记为。
称满足：的点为F分布的分位点，且有

3. **正态总体的抽样分布
统计量的分布称为抽样分布，设是来自正态总体的一个简单随机样本，与分别为样本的均值和样本方差，则有
（1）；
（2）

                  第六章  参数估计
    1. **点估计方法
矩估计和最大似然估计是两种常用的点估计法。
（1）**矩估计法
用样本的各阶原点矩去估计对应的各阶总体的原点矩，这就是矩估计的基本方法。
\
（2）**最大似然估计法
设总体X的密度函数（其中为未知参数），已知为总体X的样本的观察值，则求的最大似然估计值的步骤如下：
①    写出似然函数

②   似然函数取对数

(3)建立并求似然方程

(4)最大似然估计值可以由解对数似然方程得到。
2. *点估计的优良性评判准则
（1）无偏性
设是的一个估计量，若,则称是的一个无偏估计。

（2）有效性
设是的两个无偏估计，则称比有效。
称在所有的无偏估计中，方差最小的那一个为一致最小方差无偏估计。

3. **单正态总体下的置信区间
设是取自正态总体的一个样本，置信水平为，样本均值，样本方差。
（1）均值的置信区间
     若已知，取，故的双侧置信区间为：

     若未知，取，故的双侧置信区间为：

     若未知，取，故的双侧置信区间为：

第七章  假设检验
  本章重点：单个正态总体的参数的假设检验。
1．**单正态总体均值和方差的检验(U检验,T检验和卡方检验)
我们以单正态总体均值检验为例，即假定总体。
U检验:
(1) 列出问题，即明确原假设和备选假设。先设已知，检验

(2) 基于的估计，提出检验统计量
(3) 对给定水平，构造水平检验的拒绝域
其中为标准正态分布的双侧分位点。
(4) 基于数据，算出的观察值，如则拒绝，否则只能接受.
因此检验使用统计量U，称之为U-检验。
注意:单边检验的区别
H0：m=m0；H1：m>m0
构造水平检验的拒绝域单侧分位数
H0：m=m0；H1：m<m0
构造水平检验的拒绝域单侧分位数
T-检验。
当未知时，改检验统计量U为T统计量
(1) 列出问题，即明确原假设和备选假设。先设未知，检验

(2) 基于的估计，提出检验统计量
(3) 对给定水平，构造水平检验的拒绝域,其中为标准正态分布的双侧分位点。
(4) 基于数据，算出的观察值，如则拒绝，否则只能接受.
因此检验使用统计量T，称之为T-检验。
   注意:单边检验的区别
H0：m=m0；H1：m>m0
构造水平检验的拒绝域单侧分位数
H0：m=m0；H1：m<m0
构造水平检验的拒绝域单侧分位数
c2检验。
当m未知时，单正态总体方差的检验
(1)设m未知
(2) 基于的估计，提出检验统计量
(3) 对给定水平，构造水平检验的拒绝域
其中为标准正态分布的双侧分位点。
(4) 基于数据，算出的观察值，如则拒绝，否则只能接受.
因此检验使用统计量c2，称之为c2-检验。

 第八章  方差分析
检验假设 找到F统计量
单因素试验方差分析表

方差来源
组间
组内
总和
平方和
自由度
均方和
F 值
F 值临介值

若接受H0，说明在统计意义下，因素A对实验指标X的没有显著影响，
或者说明因素A对实验指标造成的差异无统计意义。
若拒绝H0，说明在统计意义下，因素A对实验指标X的有显著影响，
或者说明因素A对实验指标造成的差异有统计意义。

简便计算公式：

 第九章  回归分析
1.回归函数或回归方程的建立

2.回归方程的有效性检验F检验法
检验假设 找到F统计量
一元回归分析表

方差来源
回归
剩余
总和
平方和
自由度
均方和
F 值
F 值临介值

若接受H0，说明在统计意义下，X对Y的没有线性相关关系，
或者说明X对Y的线性相关关系无统计意义。
若拒绝H0，说明在统计意义下，X对Y的有显著的线性相关关系，
或者说明X对Y的线性相关关系有统计意义。

简便计算公式：

3回归方程的点预测
即为 y 的点预测值。