资源描述
《高等数学》试卷（同济六版上）一
得分
评卷人
一、 选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
1、若函数，则
A、0 B、 C、1 D、不存在
2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）.
A、 B、 C、 D、
3、满足方程的是函数的（ ）.
A、极大值点 B、极小值点 C、驻点 D、间断点
4、函数在处连续是在处可导的（ ）.
A、必要但非充分条件 B、充分但非必要条件 C、充分必要条件 D、既非充分又非必要条件
5、下列无穷积分收敛的是（ ）.
A、 B、 C、 D、
得分
评卷人
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
6、当k= 时，在处连续.
7、设,则.
8、曲线在点（0，1）处的切线方程是 .
9、若，为常数，则.
10、定积分=____________.
得分
评卷人
三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
11、 求极限 .
12、 求极限 .
13、 设，求.
14、 设函数由参数方程所确定，求和.
15、 求不定积分.
16、设，求.
得分
评卷人
四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17、证明：= ().
18、利用拉格朗日中值定理证明不等式：当时，.
得分
评卷人
五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分）
19、要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h各等于多少时，才能使表面积最小？
20、设曲线与所围成的平面图形为A，求
（1）平面图形A的面积；
（2）平面图形A绕轴旋转所产生的旋转体的体积
《高等数学》试卷（同济六版上）二
得分
评卷人
一、 单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. .
（A） （B）（C） （D）不可导.
2. .
（A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小；
（C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小.
3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）.
（A）函数必在处取得极大值；
（B）函数必在处取得极小值；
（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；
（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。
4.
（A） （B）（C） （D）.
得分
评卷人
二、 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. .
6. .
7. .
8. .
得分
评卷人
三、 解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 9.设函数由方程确定，求以及.
10.
11.
12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.
13.求微分方程满足的解.
得分
评卷人
四、 解答题（本大题10分）
14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
得分
评卷人
五、 解答题（本大题10分）
15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.
(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.
得分
评卷人
六、 证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.
17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）
《高等数学》试卷（同济六版上）三
得分
评卷人
一、填空题（每题3分）
1、，则 ， 。
2、已知，则 。
3、若在可导，且=，则 。
4、，则= 。
5、设，则= 。
6、若满足，且，则= 。
7、
8、方程的通解是。
9、在极坐标下，由曲线，（）围成的平面图形的面积。
10、，则 。
因为，，所以2
得分
评卷人
二、 计算题（每题7分）
1、，且，求
解 因为： 。所以：
2、求曲线在点的法线方程。
解 ，，，
3、
4、
5、
6、 解1
解2 ，令，，，
所以：
7、求的通解
解 原方程化为：，，所以原方程的通解为：
8、求二阶方程的通解
解 特征方程为，特征根为， 齐次方程的通解为，设原方程的一个特解为，，，代入方程得，所以原方程的通解为：。
得分
评卷人
三、 已知曲线与在点处有公切线，求
（1）常数与切点。（5分） （2）曲线与轴所围的几何图形的面积。（4分）
（3）该图形饶轴旋转所成的旋转体的体积。（5分）
解 （1）因为，，，，，所以，由此得，。
（2）
（3）
《高等数学》试卷（同济六版上）四
得分
评卷人
一、 填空题（每题2分，共18分）
1、函数在上连续，则。
2、 。 因为：
3、当时，是关于的 阶无穷小。
因为，所以是关于的2阶无穷小。
4、已知，则= 。
5、= 。
6、已知则 。
因为，，则
7、
8、微分方程，称为 三阶线性 微分方程。
9、方程的通解为。
得分
评卷人
二、 填择题（（每题2分，共10分）
1、设则是的（ A ）
（A）可去间断点 （B）无穷间断点 （C）连续点 （D）跳跃间断点
解 因为
2、函数在点处的导数是（ D ）
（A）1 （B）0 （C）-1 （D）不存在
3、已知的一个原函数是，则（ C ）
（A） （B） （C） （D）
解 因为，所以
4．积分中值定理，其中（ B ）。
（A）x是[a，b]内任一点 （B）x是[a，b]内必存在的某一点
（C）x是[a，b]内唯一的某一点 （C）x是[a，b]内中点
5．方程是（ B ）
（A）可分离变量方程 （B）线性方程 （C）齐次方程 （D）以上都不对
得分
评卷人
三、 解答题（每题4分，共40分）
1、求极限
2、求极限
3、已知，求
解
4、已知，求。
解
5、设，存在，求
解 ，
6、求
7 、求
解
8、求
解 设，则：
9、求
解
10、已知，求
解 设，则：
11、求微分方程的通解。
解 原方程化为：，令，，代入方程，得：
两边积分得：
得分
评卷人
四、函数的单调区间和极值（8分）
解 和。
1
-
0
+
0
-
¯
0
¯
得分
评卷人
五、求曲线和围成的图形（1）面积 ，（2）分别绕轴和轴旋转一周所成的立体体积。（9分）
解 交点
（1）
（2），
得分
评卷人
七、证明题（7分）
设在[0，1]上连续，且单调减少，证明，当时
证 令，则：
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