高数第二章08W.doc

任家录：高等数数考试复习及必做试题

第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分
一 、考纲要求：
1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，*1, 2了解导数的物理意义，*1, 2会用导数描述一些物理量，*3, 4了解导数的经济意义(含边际与弹性的概念)，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．会求分段函数的的一阶、二阶导数，会求反函数与隐函数的导数．*1, 2会由参数方程所确定的函数的导数． 
3．了解微分的四则运算法则和一阶微分形 式的不变性，会求函数的微分． 
4．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数． 
二 、考点概述与解读：
（一）导数的概念
1、点导数的概念：
（1）定义：
注：若 存在，则称在点可导.
（2）左导数： （ 此极限存在称为左可导）
（3）右导数： （ 此极限存在称为左可导 ）
结论：在点可导的充要条件是在点左、右都可导，且
2、导函数：
注： 导函数实质上是一个极限函数.
结论：可导的奇函数的导数是偶函数，可导的偶函数的导数是奇函数；
可导的周期函数的导数是周期函数，且周期不变
3、区间导数
在可导：在内每一点都可导；
在可导：在内每一点都可导，且存在；
在可导：在内每一点都可导，且存在；
在可导：在内每一点都可导，且，存在。
4、点导数的几种等价形式
（ 其中称为函数的改变量 ）；
；
特例： 当时，；
当时，
结论：在处可导的充要条件是存在；
若在处可导，则存在，反之不然
注：当发现比值的极限与无关时，一般不能立即推出在处可导。
5、导数的实际意义：
（1）几何意义：
注：若在处可导，则在处一定有切线，反之不然
（2）物理意义： ，
（3）经济意义： 导数 ＝ 边际
注：边际反映的是自变量从时刻（状态）起再增加一个单位所引起的经济量f (x) 的绝对增加量。
4、可导与连续的关系
定理：若在处可导，则在处连续，反之不然。
注：可导一定连续，连续未必可导，不连续一定不可导（ 反例： ）
（二）导数的计算
1、用定义求 —— 多用于求分段函数在分段点处的导数，或者求抽象函数的导数
2、用公式求
（1）四则运算法则求导公式：；；
（2复合运算求导公式：
（3）反函数求导公式：
（4）基本初等函数求导公式：
； ； ；
； ；
； ；
； ；
；
3、取对数求导法 —— 多用于求多个函数的乘积、商的导数或幂指函数的导数
做法：两边取对数，两边再求导；
4、隐函数求导法 —— 在两边对x求导数（视y为中间变量），从中解出.
注： 对隐函数求导时，其结果可以是隐函数形式，即允许含有
5、参数方程求导法：，其中
注1：参数方程求导数的最终结果允许用参数表示；
注2：对参数方程求二阶导数时，千万不可将对t分别求二阶导数后进行比值，其的正确做法是：
6、积分函数求导法：
注：使用上述公式的前提条件是是连续函数，且被积函数中不含.
推论1：
推论2：
推论3：＝＋
推论3：＝……
7、幂级数求导法：，收敛域
注：一般来说，无穷多个函数和的导数不等于导数的和。
8、高阶导数的计算法：
（1）归纳法：先求，，…，再根据其规律，归纳出的表达式
（2）公式法： ，（）； ；
；
；
（莱布尼茨公式）
注：莱布尼茨公式可通过二项式展开定理做类比记忆。
（3）化简法：先化简，再求导（通常是先化为和差，再用公式法）
（三）微分
1、定义：设，若存在常数A,使得，则称在处可微，并称为在点的微分，记作，即＝.
注1：微分也称为的线性主部；
注2： 若，则是的高阶无穷小；且当时，是的同阶无穷小；当时，是的高阶无穷小。
2、计算： ，其中
3、可微与可导、连续、有极限间等概念之间的关系：
可微可导连续有极限
注：上述关系只适用于一元函数，多元函数不一定成立
4、一阶微分形式的不变性： （无论是自变量还是中间变量）
注：一阶微分形式的不变性常用于求隐函数的导数或微分
5、微分的四则运算法则：；

三 、实用题型及例题归类：
题型一 关于导数与微分的概念.
1．[89-1、2] 已知(3)=2, 则 -1 。
2．[87-3] 设f(x)在x = a处可导，则等于 (B)
(A) (B) (C) 0 (D)
3．[94-4、5] 已知 则 = 1
4．[89-3] f (x) 在点可导的一个充分条件是 （D）
(A) 存在 (B) 存在
(C) 存在 (D) 存在
5．[01-1]设f (0) = 0，则f(x)在点x = 0可导的充要条件为 (B)
（A）存在； （B）存在；
（C）存在； （D）存在。
6．[06-3、4]设函数f (x) 在x = 0处连续，且 ，则 [ C ]
(A) 存在. （B） 存在.
(C) 存在. (D) 存在.
7．[90-4、5] 设函数f(x)对任意x均满足等式f (1+x) = af (x), 且有,其中a, b为非零常数，则 (D)
（A）f (x)在x = 1处不可导 （B）f (x) 在x = 1处可导，且
（C）f (x) 在x = 1处可导,且b （D）f (x) 在x = 1处可导，且ab.
8．[94-4、5] 设 则在x = 1处的 (B)
(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在，但右导数不存在。
(C) 左导数不存在，但右导数存在。 (D) 左、右导数都不存在。
9．[99-1、2] 设f (x) = ，其中g(x) 是有界函数，则f(x)在x=0处 (D)
（A）极限不存在。 （B）极限存在，但不连续。
（C）连续，但不可导。 （D）可导。
10．[95-1、2、3] 设f ( x )可导，F( x ) = f ( x ) (1 + ), 则f ( 0 ) = 0是F( x )在x = 0 处可导的 (A)
(A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件
(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件
11．[03-4] 设函数其中在处连续，则是在
处可导的 （A）
（A）充分必要条件 （B）必要但非充分条件。
（C）充分但非必要条件 （D）既非充分也非必要条件
12．[00-3、4] 设函数在处可导,则函数|在处不可导的充分条件是(B)
(A) (B)
(C) (D)
13．[93-3] 若f (x) = -f (-x) , 且在内,,则f(x) 在内 (C)
(A) (B)
(C) (D)
14．[97-4] 若f (-x) = f (x)，且在（0）内f′(x) > 0 , f″(x) < 0 , 则f (x) 在（0，）
内有 (C)
（A）f′(x) > 0, f″(x) < 0 （B）f′(x) > 0, f″(x) > 0
（C）f′(x) < 0, f″(x) < 0 （D）f′(x) < 0, f″(x) > 0
15．处的导数为 (A)
(A) 0 (B) 1 (C) –1 (D) 不存在
16．[98-1、2] 函数 f（x）=（x2 - x - 2）的不可导点的个数是 (B)
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
17．[92-1、2] 设f (x) = 3x 则使f存在的最高阶数n为 (C)
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
18．[88-1、2] 若函数y = f(x)有,则当时，f(x)在x=处的微分dy是 (B)
（A）与等价的无穷小 （B）与同阶的无穷小
(C) 比低阶的无穷小 (D) 比高阶的无穷小
19．[90-3] 设函数ｆ（ｘ）在上连续，则等于 (B)
（Ａ）ｆ（ｘ）　（Ｂ）ｆ（ｘ）ｄｘ （Ｃ）ｆ（ｘ）＋ｃ （Ｄ）
20．[98-1、2] 已知函数y = y(x)在任意点x处的增量是的高阶无穷小量，y (0) =, 则y (1) 等于 (D)
(A) 2 (B) (C) e (D) e
21．[02-2]设函数f (u) 可导，y =当自变量x在x = -1处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为0.1，则 (D)
(A) -1 (B) 0.1 (C) 1 (D) 0.5
题型二 求初等函数的导数与微分
方法一 用定义求
1. [89-3] 设f(x) = x(x+1)(x+2)…(x+n), 则f ’(0)= n！
2. 若, 则.
方法二 用公式求
1． [87-3] 设, 其中a为非零常数，则.
2．[90-3] 设，则
3．[89-3] 已知y = arcsine，求yˊ 【 ＝ 】
4．[96-3] 设, 则 。
5．[ 96-5] 设，则= 。
6．[91-3] 设，则。
7．[05-2] 设，则。
方法三 先变形再求导
1． [87-4、5] 已知 ， 求. 【 = 】
2． [97-2] 设y = ln, 则y︱x=0 =
3． [04-4] 设，则
4． 设 ，求. 【 = 】
5． 设，求. 【 ；】
6. 设，求. 【 =】
题型三 求分段函数的导数
1．[95-3] 设 , 试讨论在处的连续性.【 连续 】
2．[96-4] 设其中g (x)有二阶连续导数,且g（0）=1, g’(0) = -1.
(1) 求； (2) 讨论上的连续性。
【 （1） ； （2） 连续 】
3．[03-3] 设，其导数在处连续,则的取值范围是
4．设 ，问在处是否可导. 【 不可导 】
5．[88-5] 确定常数和，使函数 处处可导.【 】
6．[04-2] 设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.
(Ⅰ) 写出在上的表达式; (Ⅱ) 问为何值时, 在处可导.
【 （Ⅰ）； （Ⅱ） 】
7．[中科院 1982] 设,
求 . 【 】
8．设有连续导数，求. 【 = 】
题型四 求隐函数的导数与微分
1． [92-1、2] 设函数y = y (x) 由方程+cos (xy) = 0确定, 则 =；
2． [93-3]函数y = y (x) 由方程所确定, 则
=；
3． [94-4、5] 设方程确定的为的函数，则=；
4. [99-2] 设函数y = y (x) 由方程确定，则
5. [06-2] 设函数由方程确定，则 = - e
6. [90-3] 求由2 y – x = (x - y) ln (x-y) 所确定的函数ｙ＝ｙ（ｘ）的微分.
【；】
7 [ 96-4、5] 设方程确定y是x的函数，则dy = ；
8. [00-2] 设函数由方程所确定，则。
9．[92-3] 设函数y = y(x)由方程y – xe = 1所确定, 求 的值.【 = 】
10. [02-1] 已知函数y = y (x) 由方程确定，则__-2__。
题型五 求极限函数的导数
1．[88-1、2、3] 若f (t) = t, 则。
2. [92-5]设,则。
题型六 求积分函数的导数与微分
1.[ 92-3] 设f (x) 连续，F (x) =,则等于 (C)
(A) (B) (C) (D)
2. [90-1、2、3] 设f (x) 是连续函数，且则等于 (A)
（A） (B)
(C) (D)
3.[ 93-4、5] 设f (x) 为连续函数, 且F(x) =, 则等于 ( A )
(A) (B)
(C) (D)
4．[95-1、2] = ；
5． [98-1、2] 设连续，则 （A）
(A) x f ( x2 ) (B) –x f ( x2 ) (C) 2x f ( x2 ) (D) -2xf ( x2 )
6．[99-1] .
7．[01-4] 设函数f( x ) 在（0，+）内连续，f(1)=5/2，且对所有x，t∈（0，+），满足条件，求f(x).【 】
8．[04-1] 设f (x) 为连续函数，，则等于 (B)
(A) 2 f (2 ). (B) f (2 ). (C) –f (2). (D) 0.
题型七 求参数方程的一、二阶导数
1. [87-3] 设 ，求 【；；】
2. [91-1、2] 设 ，则；
3. [91-3] 设 ， 求 。【 】
4. [94-3] 设函数y = y (x) 由参数方程 所确定，则=；
5. [97-2] 设y = y (x)由 所确定，求.【 】
6. [ 94-1、2] 设 ,求 ,在t =的值。 【； 】
7. [03-2] 设函数由参数方程（t>1）所确定，求
【；】
8. [92-3] 设 其中f可导且则= 3 。
题型八 求高阶导数
方法一 归纳法
1. [90-1、2、3] 已知函数f (x)具有任意阶导数，且, 则当n为大于2的正整数时，f (x) 的n阶导数是 (A)
(A) (B) (C) (D)
2. [95-4] 设f(x) = , 则 f ( n) (x) =；
3. 设 求 . 【 】
方法二 公式法
1. [00-2] 求函数 在x = 0处的n阶导数.【 】
2. 设 求 【 】
方法三 化简法.
1.（上海交大1980）设, 求 . 【 】
2. ( 北京工大 1980 ) 设，求. 【 】
题型九 求抽象函数的导数与微分
1. [93-4、5] 已知y = f 则 。
2. [ 97-3、4] 设y =( lnx ) e, 其中f可微，则dy=；
3. [ 06-3、4] 设函数在的某邻域内可导，且，则

4. [ 06-2] 设函数可微，则等于 [ C ]
(A) . （B）. (C) . （D）.
5. [94-3] 设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求。【 】
6. [93-3] 设y = sin [f ()], 其中f具有二阶导数, 求 。
【】
7.（武汉工学院1982）设在处连续，求。 】
8．设可导，且 . 【 】
9．设f (x)可导， 【 】
10.

§2.2 中值定理
一 、考纲要求：
1．理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理，掌握这三个定理的简单应用．
2．*1, 2理解并会用泰勒定理
二 、考点概述与解读：
（一）费马引理：设是可导函数的极值点，则
注1：费马引理表明，对于可导函数而言，极值点一定是驻点，但反之不然；
注2：要掌握费马引理的证明思路——利用极限的保号性
（二）罗尔中值定理：设在上连续，在内可导，且，则
使得
注：罗尔定理的证明思路——利用介值定理和费马引理
（三）拉格朗日中值定理：设在上连续，在内可导，则，
使得
注：拉格朗日定理的证明思路——作辅助函数（移项还原），用罗尔定理
（四）柯西中值定理：设与在上连续，在内可导，且当时，
有，，则 使得
注：柯西定理的证明思路——作辅助函数（先去分母，再移项还原），用罗尔定理
（五）泰勒中值定理：设在的某个邻域内有直到阶导数，则，存在介于与之间的点，使得：

其中 称为的拉格朗日余项
注1：柯西定理的证明思路——使用次柯西中值定理
注2：当时，有

其中介于与之间，（此时称上式为麦克劳林公式）
注3：当题目中涉及高阶导数，且已知函数在某点的一些导数值为0时，可考虑使用泰勒公式或麦克劳林公式
*（六）达布定理：在可导，且，则使
注：达布定理的证明思路——利用保号性和费马引理
三 、实用题型及例题归类：
题型一 关于中值定理的条件与结论
1. [87-4、5] 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，是区间内任意两点，且，则至少存一点，使得 （C）
(A) 。
(B) 。
(C) 。
(D) 。
2. [02-3、4] 设函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，则 （B）
(A) 当时，存在使f.
(B) 对任何.
(C) 当f (a) = f (b) 时，存在使.
(D) 存在.
3．在上满足罗尔中值定理条件的函数是 （C）
(A) (B) (C) (D)
4．设，则由中值定理确定的＝ 1 / ln2 。
5．[03-2] 的麦克劳林公式中项的系数是
6．[06-1、2、3、4] 设具有二阶导数，＞0，＞0，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若＞0，则 [ A ]
(A) 0＜＜. (B) 0＜＜. (C) ＜＜0. (D) ＜＜0.
题型二 关于 等式的证明
（一） 仅含一阶导数的等式问题
1. (达布定理之特例) 设在上可导， ，
求证：，使。
2.（达布定理） 设在上可导，，则使.
3.（南京工学院1980） 设,
求证：方程 在（０,１）至少有一实根。
4．（上海交大）设在连续，在可导，
求证:
5．（改进的积分中值定理）设在连续，
求证：，使得
6．[96-5] 设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且
求证：在（a，b）内至少存在一点, 使 = 0
7．[03-3] 设函数在上连续，在内可导，且，。试证：必存在，使
8．[00-1、2、3、4] 设函数在上连续，且，
试证：在内至少存在两个不同的点 ，使
9．[95-5] 设f (x) 在区间［a, b］上连续，在（a,b）内可导，
证明：在（a，b）内至少存在一点ξ，使
10．[96-4] 设f (x) 在区间[0，1]上可微，且满足条件f (1 ) = 2
求证：存在，使
11．设在[０，１]连续，（０，１）可导，
求证: ，, 使 .
12．设与g(x)在[a，b]连续，在（a，b）可导, f(a) = f(b) = 0, g(x)
求证：,, 使 .
13．设与在[a，b]连续，（a，b）可导，f (a) f (b) > 0,
求证: , 使得 .
14．[99-3] 设函数在区间上连续，在内可导，,.
试证：（1）存在，使；
（2）对任意实数，必存在，使得
15．[01-4] 设f (x) 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且满足
证明: 至少存在一点, 使得 .
16．[01-3] 设f (x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且满足（k>1），
证明: 至少存在一点，使得
17．[98-4] 设函数f (x) 在[]上连续,在()内可导,且
试证: 存在 .
18．[98-3] 设函数f (x) 在[]上连续,在()内可导, 且,
试证: 存在.
19．[03-2] 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，若
极限存在，证明：
（1） 在内； （2）在内存在点，使
（3）在内存在与（2）中相异的点，使.
20．[05-1、2] 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：
(I) 存在使得；
(II) 存在两个不同的点，使得
21．[01-1] 设y = f (x) 在（-1，1）内具有二阶连续导数,且f ’’(x) ≠ 0，试证：
(1) 对于（-1,1）内的任一x≠0存在唯一的使
(2)
22．设在[a,b]连续，在开区间(a,b)内可导，
求证: 。
23．设在[a，b]单调连续，（a，b）可导,,
求证: (, 使
24． 设在可导, .求证：, 使 .
（二） 含有高阶导数的等式问题
1．[93-4] 假设函数f ( x ) 在上[0,1]上连续，在 (0,1) 内二阶可导, 过点 A( 0,f (0) )与B(1,f (1))的直线与曲线y = f ( x ) 相交于点C( c,f (c) ), 其中0< c < 1 . 证明：在 (0,1) 内至少存
在一点,使.
2．[95-1、2] 假设函数f ( x ) 和 g ( x ) 在[a, b]上存在二阶导数，并且g( x ) 0 ,
f ( a ) = f ( b ) = g ( a ) = g ( b ) = 0, 试证：
(1) 在开区间（a, b）内 g ( x ) 0 ；
(2) 在开区间（a, b）内至少存在一点 使 =
3．[99-2]设函数在闭区间上具有三阶连续导数，,,证明：在开区间（-1，1）内至少存在一点ξ，使得.
4．[01-2] 设f (x) 在区间 [-a，a] （a>0）上具有二阶连续导数，f (0) = 0，
(1) 写出f (x) 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2) 证明在 [-a，a] 上至少存在一点，使 .
题型三 关于ξ不等式的证明.
1. [90-1] 设不恒为常数的函数f (x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,
且f (a) = f ( b). 证明: 在(a，b)内至少存在一点, 使 .
2. 设f (x) 与在 [a,b] 连续，在（a,b）存在.f (a) = f (b) = 0, 且, 使f (c)>0, 求证：，使
3. (长沙铁道学院) 设f (x) 在 [a,b] 二阶可导，且＝＝0，
求证：，使
4. 设f（x）在[0，1]连续，在（0，1）二阶可导，f（0）= f（1）= 0, ,
求证： （0，1）使
题型四 中值定理的简单应用
1．设f（x）= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4), 则方程= 0的实根有且仅有 （C）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2． 设在附近可导，在连续，，且
, 求证：
3．[01-3、4] 已知f (x) 在（-∞，+∞）内可导，且 ，
，求c的值. 【 】
4．求证： 的充要条件是 。
5．设存在且有界，求证：也有界。
6．[05-3、4] 以下四个命题中，正确的是 （C）
(A) 若在(0，1)内连续，则在(0，1)内有界
(B) 若在(0，1)内连续，则在(0，1)内有界
(C) 若在(0，1)内有界，则在(0，1)内有界
(D) 若在(0，1)内有界，则在(0，1)内有界
7．设n为偶数，且求证：方程只有零解。
§2.3 导数的应用
一 、考纲要求：
1． 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．
2． 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形． 
3． 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 
4．*1, 2了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径． 
二 、考点概述与解读：
  1、求切线与法线： 切线：
法线：，（）
2、求未定式的极限 —— 洛必达法则
3、求边际与弹性： 边际：； 弹性：
注1：边际的经济意义：从时刻起，自变量增加个单位引起的因变量的绝对增加量；
弹性的经济意义：从时刻起，自变量增加％引起的因变量的相对增加量（％）；
注2：特殊规定：需求弹性
4、判断函数的单调性：
定理1、若时，（），则在内单调不减（不增）
定理2、若时，（），且使的点为孤立点，则在内单调递增（递减）
5、证明不等式：
方法一、直接使用中值定理； 方法二、利用单调性（单调的本质就是不等式）
方法三、利用极值或最值； 方法四、利用泰勒公式
方法五、利用凹凸性
6、证明恒等式：
定理：设可导，则的充分必要条件是
7、求极值（点）与最值（点）：
（1）极值、极值点、最值、最值点的概念：（略）
注：极值未必是最值、最值也未必是极值；若最值点不是区间端点，则最值点一定是极值点；极值点一定存在于驻点和不可导点之中，最值点一定存在于极值点或区间端点之中
（2）求极值（点）的方法：
定理1（极值存在的二阶充分条件）：设是的驻点且存在，则当
时，是的极小值点；当时，是的极大值
注：当时，的极值点须另行判定。
定理2（极值存在的一阶充分条件）若是的驻点或不可导点，且在的空心邻域内可导，则
当在的左右邻域内由变“－”时，是的极大值点。
当在的左右邻域内由“－”变“+”时，则是的极小值点
当在的左右邻域内不变号时，则不是的极值点
（3）求最值（点）的方法：先求出所有的极值点，再将其函数值与区间端点的函数值进行比较，最大的就是最大值，最小就是最小值，其对应的点为最大点或最小值点。
8、考察曲线的凹凸性及其拐点
（1）概念：凹 / 上凹 / 下凸：曲线上任意一点的切线都在的下方；
凸 / 上凸 / 下凹：曲线上任意一点的切线都在的上方；
拐点： 凹弧与凸弧的分界点。
注1：凹凸性是一个整体概念，而不是局部概念，只能在某个区间研究
注2：拐点是曲线上的点，由两个坐标组成，不能只写横坐标（注意填空题）
（2）结论： 若时，有，则在内为凹的
若时，有，则在内为凸的
若为的拐点，且存在，则
若且，则为的拐点
9、作出函数的图像：
步骤1：讨论的几何特性：
讨论的定义，周期性，奇偶性（用定义做）
讨论的单调性，极值点与极值（用导数做）
讨论的凹凸性及其拐点（用二阶充分条件讨论）
讨论的渐近线（用极限做）
求几个特殊的函数值（与轴、轴的交点）
步骤2： 列表
步骤3： 作图
10、研究方程根的存在性及其个数：
存在性：用零点定理或罗尔定理； 个 数：用单调性或反证法
11、求两曲线的夹角：，（）
12、求曲率及曲率半径：（1）曲率：； （2）曲率半径：
注：曲率用于描述曲线的弯曲程度，曲率越大，弯曲程度越高；反之就越低。
三 、实用题型及例题归类：
题型一 关于切线与法线
1．[95-4、5] 设f (x) 为可导函数，且满足条件 ，则曲线y=f (x)
在点(1,f (1))处的切线斜率为 (D)
（A）2 （B）-1 （C） . (D) -2
2．[98-3、4] 设周期函数f (x) 在内可导, 周期为4, 又则曲线y = f (x) 在点 ( 5, f (5) ) 处的切线的斜率为 (D)
(A) (B) 0 (C) -1 (D) -2
3．[87-3] 曲线y = arctgx在横坐标为1点处的切线方程是； 法线方程是
4. [89-4、5] 曲线y = x + sin2x 在点(,1+)处的切线方程是 y = x +1 .
5. [04-1] 曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为
6. [89-3] 曲线y= 点（0，0）处的切线方程是 y = 2 x
7. [01-2] 设函数y = f (x) 由方程所确定，则曲线y = f (x) 在点
（0，1）处的法线方程为 .
8. [03-2] 设函数 由方程所确定，则曲线在点(1,1)处的切线方程是
9. [95-3] 曲线 在t = 2处的切线方程为
10．[90-3] 曲线 上对应于点处的法线方程是
11．[99-2] 曲线 在点（0，1）处的法线方程为 。
12．[97-1] 螺线在点处的切线的直角坐标方程为
13．[02-2] 已知曲线的极坐标方程式r = 1-cos, 求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程. 【 】
14．[00-2] 已知是周期为5的连续函数,它在x = 0的某个邻域内满足关系式 其中(x)是当时比x高阶的无穷小,且在x = 1处可导, 求曲线 在点处的切线方程.【 】
15．[88-3] 的图形在点（0，1）处的切线与轴交点的坐标是 (A)
（A）（ （B）（） （C）（ （D）（1，0）
16．[05-2] 设函数由参数方程确定，则曲线在处的法线与轴交点的横坐标是 (A)
(A) (B) (C) (D)
17．[06-2] 已知曲线L的方程为 ，过点（-1，0）引L的切线,求切点,并写出切线的方程。 【】
18．[98-3、4]设曲线f(x)=xn 在点 (1,1) 处的切线与x轴的交点为 ，则。
19．[96-4]设（）是抛物线上的一点，若在该点的切线过原点，则系数a ,b,c应满足的关系是
20．[91-3] 若和在（1,－1）点相切，其中a,b是常数,则 (D)
(A) a = 0, b = -2 (B) a =1, b = -3 (C) a = -3, b =1 (D) a = -1, b= -1
21．[91-4、5] 设曲线f (x) = 与都通过点（－1，0），且在点
（－1，0）有公共切线，则a = -1 ，b = -1 ，c = 1
22．[02-1] 设曲线y = f (x) 与处的切线相同，写出切线方程。【 】
23．[94-4、5] 已知曲线与曲线在点处有公共切线，求常数及切点. 【 ； 】
24．[03-3] 已知曲线与x轴相切，则可以通过表示为
25．[95-3] 如图，设曲线L的方程为y = f (x) , 且又MT、MP分别为该曲线在点M（x0,y0）处的切线和法线。已知线段MP的长度为（其中，），试推导出点的坐标表达式. 【 】
27．[99-3、4] 曲线的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为，试求切线方程和这个图形的面积。当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？
【（1）；；（2）按轴正方向趋于无穷远时，
；按轴正方向趋于无穷远时，；】
题型二 有关边际与弹性的问题
1．[89-5] 某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q＝apb，其中a和b为常数，且，则需求量对价格P的弹性是 b
2．[92-4、5] 设商品的需求函数为Q = 100 - 5P, 其中Q, P分别表示需求量和价格, 如果商品需求弹性的绝对值大于1, 则商品价格的取值范围是 (10，20 ]
3．[01-3、4 ] 设生产函数为，其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而均为大于零的参数，则当Q = 1时K关于L的弹性为 。
4. [02-4] 设某商品需求量Q是价格p的单调减少函数：Q = Q（p），其需求弹性
（1）设R为总收益函数，证明：
（2）求p = 6时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。
【（1）略；（2）；价格由上涨时，总收益上涨；】
5．[04-3、4 ] 设某商品的需求函数为Q = 100 -