等角螺旋线.doc

浅谈等角螺旋线

作者：09公管 丁刘泽隆 王海玥 阚萍
摘要：本文主要对等角螺线（logarithmic spiral）进行了研究，建立了等角螺线的数学模型，探讨了等角螺线的性质、数学模型的特点以及在生活，尤其是在工业生产中的应用。
关键词：等角螺线 黄金比 应用
引言：等角螺线又叫对数螺线（logarithmic spiral ）是由笛卡儿在1683年发现的。雅各布·伯努利 (Jakob Bernoulli‎)后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。等角螺线用指数形式表达：ρ=αe^(kφ)其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。等角螺线在自然界规律和工业生产中都有着广泛的应用，如抽水机的涡轮叶片；鹦鹉螺外壳的等角螺线形图案。已有的文献和成果：文献《螺线》等。
一、 模型的建立
(1) 螺线特别是美学意义可以用指数的形式来表达：
ρ=αe^(kφ)
其中，α和k为常数，φ是极角（polar angle），ρ是极径 （polar Radius），e是自然对数（ natural logarithm）的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。
(2)如何得到一条等角螺线-----等角螺线与黄金比（golden ratio）
首先画一个黄金矩形ABCD，即一个长比宽为φ的矩形，。如果拿掉最大的正方形ABEF，我们能得到一个新的小黄金矩形FECD。（证明略）数学提供给我们的生活经验以是，一旦我们发现一个思想，我们往往可以通过将这个细想推到极端来发展出新的洞见。我们可以从新得到的黄金矩形FECD中再拿掉最大的正方形FGHD，并继续这个过程，如此产生出一个不断缩小的黄金矩形的无穷集合。连接其中的B、F、H、I、J、K等点，我们就可以(粗略地)等到一条等角螺线（logarithmic spiral）了。
参考资料《数学爵士乐》【美】 爱•德华伯格 迈克•尔斯塔伯德著
二、 模型的性质
(1)等角螺线的臂的距离以几何级数（geometric progression）递增。
(2)设 L 为穿过原点的任意直线，则 L 与等角螺线的相交的角永远相等（故其名），而此值为 cot-1 ln b。 从螺线的心向螺线上任一点引一条线段，该线段与螺线上该点的切线间的夹角处处相等（图片来自）
(3)设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为 tan-1 ln b，名为“倾斜度”
(4)等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。（以上来自维基百科）
(5)等角螺线的渐屈线（asymptotic curve）和垂足线都是等角螺线。
(6)从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。
（7）等角螺线的渐屈线是同样的等价螺线，所以也是它关于原点的反演曲线（ inversional curve）。如果把光源放在原点，那么它由反射和折射得到的焦散曲线也是同样的等角螺线。
（8）如果等角螺线在一条直线上滚动，那么该螺线的成为极的原点的极是另一条直线。曲线上从极（即O点）到X点的长等于XT，这里T是极的出发点，∠TOX是直角。（见下图 来自《神奇而有趣的几何》【英】戴维•韦尔斯 著 余应龙 译）

X
T

三、 模型的应用
1、 自然界中的对数螺线
（1）鹦鹉螺的外壳像等角螺线
(2)旋涡星系的旋臂像等角螺线
(3)蜗牛的外壳像等角螺线
(4)低气压的外观像等角螺线
（5）蜘蛛织的网成等角螺线：蜘蛛在结网的过程中，腿发挥了关键的作用。它们先用腿从抽丝器中抽丝，固定到树干上，把整个轮廓勾勒出来。之后，沿着已经建好的轮廓向中心爬，再在合适的地方加上几根幅线固定，为了保持平衡，再在对称的地方加上相应的幅线。这样，之中就用幅线把圆周分成了几部分，相邻幅线间的圆周角大体相同。最后，蜘蛛用丝在半径（幅线）上，从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。这根螺旋线，形如等角螺线的图像：越接近中心，每周的间距就越密，螺线上的任意一点和中心的连线与螺线上这点的切线所形成的角是一个定角。（摘自：好父母教育咨询网）
2、工业中的对数螺线
（1）在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数——螺线的形状，抽水就均匀；
（2）在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好；
（3）工业生产中使用的一种用于砖瓦轮窑焙烧或锅炉助燃的离心式引风机，采用了扩张宽度的呈对数螺线形状的风箱和后向机翼形叶轮等设计，减少了风量损失，提高了空气动力性能，具有结构紧凑、移动方便、能量消耗小；
（4）混凝土搅拌机的叶片设计：螺旋叶片的前、后锥采用非等角对数螺旋线, （如图2 所示, ）中圆采用等角对数螺旋线。（如图3所示,） （摘自：中国混凝土网）

四、 参考文献
《数学爵士乐》【美】 爱•德华伯格 迈克•尔斯塔伯德著
《数学万花镜》【波】胡•施坦豪斯 著 裘光明 译
《邮票上的数学》 罗宾•J•威尔逊 著 李心灿 邹建成 郑权 译
《神奇而有趣的几何》【英】戴维•韦尔斯 著 余应龙 译