第一章函数,极限,连续.doc

第一章 函数、极限、连续
§1.1 函数
一、函数的概念
1. 定义
，
x 为自变量，y 为因变量或称为函数值
为对应关系
自变量在定义域里面取值的时候，所有的函数值的全体就称为值域。
口诀（1）：函数概念五要素；对应关系最核心。
2.分段函数（考研中用得很多）
例1： 例2： 例3：
口诀（2）：分段函数分段点；左右运算要先行。
3．反函数
例： 的反函数
由于不单值，所以要看作 和，它们的图像与一致。

如果改变符号，写成和 ，那么它们的图像要变。
4．隐函数
确定y与x的函数关系
有些隐函数能化为显函数，例：，和。
另外有些隐函数则不能化为显函数。例：
二、基本初等函数的概念、性质和图像
（内容自己复习参考书，这里仅举例说明其重要性）
例1：考察
的图像

例2：考察
因为 指数函数的图像 因此
三、复合函数与初等函数
1.复合函数
（i）已知，，求
（ii）已知，，求
2.初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用一个表达式表示的函数
原则上来说，分段函数不是初等函数
四、常出现的非初等函数
1．用极限表示的函数
（1） （2）
2．用变上、下限积分表示的函数
（1） 其中连续，则
（2） 其中，可导，连续，
则
口诀（3）：变限积分是函数；出现之后先求导。
五、函数的几种性质
1．有界性：
（i）定义：设函数在内有定义，若存在正数，使都有，则称在上是有界的。
（ii）例：在（0，1）内无界，在（1/2，1）内有界
2．奇偶性：
（i）定义：设区间关于原点对称，若对，都有，则称在上是奇函数。
若对，都有，则称在上是偶函数。
（ii）图像对称性：奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于轴对称。
常用公式：
口诀（4）：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。
3．单调性：
（i）定义：设在上有定义，若对任意，，都有则称在上是单调增加的[单调减少的]；若对任意，，都有，则称在上是单调不减[单调不增]
（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）
（ii）判别方法：在（a，b）内，若，则单调增加；若，则单调减少。
口诀（5）：单调增加与减少；先算导数正与负。
4．周期性：
（i）定义：设在上有定义，如果存在常数，使得任意，，都有，则称是周期函数，称为的周期。
由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。

。

§1.2 极限
内容要点
一、极限的概念与基本性质
1．极限的概念
（1）数列的极限
（2）函数的极限；；
；；
2．极限的基本性质
定理1 （极限的唯一性）设，，则
定理2 （极限的不等式性质）设，
若变化一定以后，总有，则
反之，，则变化一定以后，有（注：当，情形也称为极限的保号性）
定理3 （极限的局部有界性）设
则当变化一定以后，是有界的。
定理4 设，
则（1） （2）
（3） （4）
（5）
二、无穷小
1．无穷小定义：若，则称为无穷小（注：无穷小与的变化过程有关，，当时为无穷小，而或其它时，不是无穷小）
2．无穷大定义：任给，当变化一定以后，总有，则称为无穷大，记以。
3．无穷小与无穷大的关系：在的同一个变化过程中，
若为无穷大，则为无穷小，
若为无穷小，且，则为无穷大。
4．无穷小与极限的关系：
，其中
5．两个无穷小的比较
设，，且
（1），称是比高阶的无穷小，记以
称是比低阶的无穷小
（2），称与是同阶无穷小。
（3），称与是等阶无穷小，记以
6．常见的等价无穷小，当时
，，，，，，，。
7．无穷小的重要性质
有界变量乘无穷小仍是无穷小。
口诀（8）：极限为零无穷小；乘有界仍无穷小。
三、求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．重要准则：单调有界数列极限一定存在
（1）若（为正整数）又（为正整数），则存在，且
（2）若（为正整数）又（为正整数），则存在，且

3．两个重要公式
公式1：
公式2：；；
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换

6．洛必达法则
专门来处理两种比较困难的极限：；；
第一层次：直接用洛比达法则可处理和两种
法则1：（型）设（1），
（2）变化过程中，，皆存在
（3）（或） 则（或）
（注：如果不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量情形）
法则2：（型）设（1），
（2）变化过程中，，皆存在
（3）（或） 则（或）

口诀（9）：幂指函数最复杂；指数对数一起上。
常用技巧：，这样是型，可按第二层次来处理。
口诀（10）：待定极限七类型；分层处理洛比达。
7．利用导数定义求极限
基本公式： [如果存在]
8．利用定积分定义求极限
基本公式： [如果存在]

口诀（12）：数列极限洛比达；必须转化连续型。
9．其它综合方法
10．求极限的反问题有关方法
例：已知，求a和b。
口诀（13）：无穷大比无穷大；最高阶项除上下。

解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑

例2．求
解：若直接用型洛必达法则1，则得 （不好办了，分母的次数反而增加）
为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令
于是
口诀（15）：变量替换第一宝；由繁化简常找它。

六、求分段函数的极限

口诀（16）：递推数列求极限；单调有界要先证，两边极限一起上；方程之中把值找。

§1.3 连续
内容要点
一、函数连续的概念
1．函数在一点连续的概念
定义1 若，则称在点处连续。
定义2 设函数，如果，则称函数在点处左连续；如果，则称函数在点处右连续。
如果函数在点处连续，则在处既是左连续，又是右连续。
2．函数在区间内（上）连续的定义
如果函数在开区间内的每一点都连续，则称在内连续。
如果在开区间内连续，在区间端点右连续，在区间端点左连续，则称在闭区间上连续。
二、函数的间断点及其分类
1． 函数的间断点的定义
如果函数在点处不连续，则称为的间断点。
2．函数的间断点分为两类：
（1）第一类间断点
设是函数的间断点，如果在间断点处的左、右极限都存在，则称是的第一类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
（2）第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
例如：是的可去间断点，是的跳跃间断点，是的无穷间断点，是的振荡间断点。
三、初等函数的连续性
1．在区间I连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间I仍是连续的。
2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。
3．在区间I连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。
4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。
5．初等函数在它的定义区间内是连续的。
四、闭区间上连续函数的性质
在闭区间上连续的函数，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。
定理1 （有界定理）如果函数在闭区间上连续，则必在上有界。
定理2 （最大值和最小值定理）如果函数在闭区间上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。
其中最大值和最小值的定义如下：
定义 设是区间上某点处的函数值，如果对于区间上的任一点，总有，则称为函数在上的最大值。同样可以定义最小值
定理3 （介值定理）如果函数在闭区间上连续，且其最大值和最小值分别为和，则对于介于和之间的任何实数，在上至少存在一个，使得
推论：如果函数在闭区间上连续，且与异号，则在内至少存在一个点，使得
这个推论也称零点定理。