福师大2014《实变函数》在线作业2.doc

福师《实变函数》在线作业二
试卷总分：100       测试时间：--
判断题
单选题
多选题

一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）
V
1.  无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
2.  若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
3.  绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
4.  有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
5.  f在[a,b]上为增函数，则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
6.  若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
7.  若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
8.  积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
9.  R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
10.  f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
11.  若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
12.  零测度集的任何子集都是可测集.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
13.  对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
14.  f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
15.  不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
16.  对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
17.  若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
18.  若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
19.  三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
20.  当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
21.  函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
22.  L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
23.  若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
24.  有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
25.  若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
26.  函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
27.  若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
28.  f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
29.  若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
30.  三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
31.  若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
32.  若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
33.  一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
34.  可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
35.  可数集的测度必为零，反之也成立.
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
36.  若f∈BV,则f有界。
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
37.  f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A. 错误
B. 正确
      满分：2  分
福师《实变函数》在线作业二
试卷总分：100       测试时间：--
判断题
单选题
多选题

二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）
V
1.  若f∈L(X),则
A. f在X上几乎处处连续
B. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
C. 若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
      满分：2  分
2.  有限个可数集的乘积集是（ ）
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
      满分：2  分
3.  fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
      满分：2  分
4.  fn->f,a.e.,则
A. fn依测度收敛于f
B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
D. |fn|->|f|,a.e.
      满分：2  分
5.  若A为R^n中一疏集，则（ ）
A. Ac为稠集
B. A为开集
C. A为孤立点集
D. A不完备
      满分：2  分
福师《实变函数》在线作业二
试卷总分：100       测试时间：--
判断题
单选题
多选题

三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）
V
1.  若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A. g可积
B. g可测
C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
      满分：2  分
2.  设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A. fn测度收敛于|f|
B. afn+bgn测度收敛于af+bg
C. (fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
      满分：2  分
3.  设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A. 几乎处处可微
B. L可积
C. f'可积
D. 区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
      满分：2  分
4.  若f,g是有界变差函数，则（ ）
A. f+g有界变差函数
B. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(f,g)有界变差函数
      满分：2  分
5.  A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
      满分：2  分
6.  若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A. f+g不可测
B. fg不可测
C. g^2可测
D. |g|可测
      满分：2  分
7.  若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A. f可测
B. |f|可积
C. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
      满分：2  分
8.  若f∈BV[a,b]，则（ ）
A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
      满分：2  分