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Z变换的收敛域
本论文将从数学角度对Z变换简要地加以描述。
序列x(n)的Z变换定义为
(1.1)
z是复变量，一般用极坐标形式表示为
(1.2)
这里 (1.3)
有时也可写成直角坐标形式。X(z)是复变函数，式（1.1）实际上是一种罗朗（Laurent）级数，因此可将对罗朗级数的数学分析方法应用于Z变换的分析。比如式（1.1）是的幂级数和，存在着级数收敛的问题。当满足一定条件时，级数收敛，X(z)可以用某种解析函数（称为封闭形式）来表示。使X(z)一致收敛的z的取值范围，叫做Z变换的收敛域ROC(Region of Convergence)。级数一致收敛的充要条件使满足绝对可和
(1.4)
利用|z|=r，可以推出收敛条件
(1.5)
式中只有n,x(n),三个因素，没有arg[z],可见，Z平面的收敛域仅与模|z|有关，而与幅角无关，收敛域的边界一定是圆。
例：若,a<1,求x(n)的Z变换及起收敛域。
解
以上用到等比级数求和公式，级数的首项，级数的公比为，级数收敛的条件是公比的模小于1，即
ROC||即|z|>a
可见，收敛域是z平面上半径为a的圆外。
解毕●
收敛域的确切范围需具体问题具体分析，但它的大体形状可以根据某些规律立刻确定。以上分有限长序列、左边序列、右边序列和双边序列四种情况分析收敛域的形状。
1）有限长序列
我们考虑的x(n)均是有限幅值（|x(n)<M|）。从式（1.5）看到，只要也是有限值，则有限个有限值的和必定也是有限的。而使的情况只有二条：
·n>0 而
·n<0 而
所以，
（1）当x(n)的定义域包括n<0时，收敛域要排除点。
（2）当x(n)的定义域包括n>0时，收敛域要排除z＝0点。
（3）如果把去除了原点和点的z平面定义为有限z平面，则有限长序列一定在有限z平面收敛。
2）无限长右边序列
右边序列指x(n)自变量n的定义域从某起点开始一直向右延续到。然而起点位置N1可以在原点左边，也可以在原点右边。我们一定可以把这类序列分割成一个有限长序列与一个起点在原点右边的无限长序列（叫因果序列）之和，收敛域是他们两者各自收敛域的交集。根据级数收敛的判断法则，其中因果序列的收敛条件是
(1.6)
经不等式运算，可得

这说明因果序列收敛域是在包括点的半径为R1的圆外。至于整个右边序列的收敛域是否延伸到包含点，则取决于它的另一部分--有限长序列是否包含n<0的序列项。考虑因果序列和有限长序列收敛域的交集，得
（1） 当起点时，ROC:
（2） 当起点时，ROC:(不包含点)
3）无限长左边序列
左边序列指x(n)的定义域从某起点N2开始一直向左延续到-。同样，起点N2可以在原点左边，也可以在原点右边。我们总能把这类序列分成一个有限长序列与一个起点在原点左边的纯左边序列之和，收敛域时两者的交集

式中，对第一项纯左边序列作的变量代换，得

级数收敛的条件是

即 |z|<1/
这说明纯左边序列的收敛域在半径R2的圆内。至于全序列收敛域是否包含圆心原点，则取决其有限长序列部分是否包含n>0的项。结论是
（1）若起点, ROC: (包含原点)
(2) 若起点>0, ROC: 0<|z|< (扣除原点)
4)双边序列
x(n)定义域范围是，这样的序列一定可以化作一个因果序列和一个纯左边序列之和。

第一项收敛域是|z|<，第二项收敛域是|z|>，总的收敛域是两者之交集。
（1）若>,则ROC: <|z|<,是环形域。
（2）若 <,则交集为空，X(z)不收敛。
例2.6 序列，且a<b，求Z变换X(z)及其收敛域。
解
这里，两次用到等比级数求和公式，公式分别是和。
第一项收敛条件：, ROC:|z|<b
第二项收敛条件：，ROC:|z|>a
两者交集是：ROC:a<|z|<b (环形)
解毕。
X(z)的极点（使X(z)＝的z的值）与收敛域有一定关系。上例中，极点分别是a和b，收敛域正好是以半径a和b的圆为界。这现象中其实包含了一般性的结论，那就是：收敛域内不能有极点。所以，右边序列收敛域一般在最外一个极点之外，而左边序列收敛域一般在最内一个极点之内