北师大版数学必修二1.3.1 (21).doc

2.1.2　直线的方程
第1课时　直线的点斜式方程
明目标、知重点　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．

直线的点斜式方程和斜截式方程
类别
点斜式
斜截式
适用范围
斜率存在
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和在y轴上的截距b
图示

方程
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
截距
直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.

[情境导学]　给出一定点P0和斜率k，直线就可以唯一确定了．如果设点P(x，y)是直线上的任意一点，那么，如何建立P和P0点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．
探究点一　直线的点斜式方程
思考1　求直线的方程指的是求什么？
答　就是求直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．
思考2　如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，怎样建立x，y之间的关系？

答　由斜率公式得k＝，即y－y0＝k(x－x0)．
思考3　过点P0(x0，y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足思考2中得出的方程吗？为什么？
答　其坐标都满足方程y－y0＝k(x－x0)；由思考2中的推导过程可知．
思考4　坐标满足方程y－y0＝k(x－x0)的点都在过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线上吗？为什么？
答　都在．这是因为若点P1(x1，y1)的坐标x1，y1满足方程y－y0＝k(x－x0)，即y1－y0＝k(x1－x0)，若x1＝x0，则y1－y0＝0，即y1＝y0，说明点P1与P0重合，于是可得点P1在直线l上；若x1≠x0，则k＝，这说明过点P1和P0的直线的斜率为k，于是可得点P1在过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线上．
小结　由上述思考2和思考3的讨论可知，方程y－y0＝k(x－x0)就是过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
思考5　如何求x轴所在的直线方程？如何求出经过点P0(x0，y0)且平行于x轴的直线方程？
答　由于x轴过坐标原点(0,0)，且倾斜角为0°，即k＝tan 0°＝0，将点(0,0)及k＝0代入直线的点斜式得y＝0；因所求直线l平行于x轴，所以k＝tan 0°＝0，将(x0，y0)及k＝0代入直线的点斜式得y－y0＝0，即y＝y0.
思考6　y轴所在的直线方程是什么？如何求过点P0(x0，y0)且平行于y轴的直线方程？
答　y轴所在的直线方程为x＝0；由于直线l平行于y轴，所以直线l斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0，即x＝x0.
例1　直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
解　直线l经过点P0(－2,3)，斜率是k＝tan 45°＝1，
代入点斜式方程得y－3＝x＋2.
画图时，只需再找出直线l上另一点P1(x1，y1)，例如，取x1＝－1，y1＝4，得P1的坐标为(－1,4)，过P0，P1的直线即为所求，如图：

反思与感悟　由点斜式写直线方程时，由于过P0(x0，y0)的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜率存在时方程为y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在时，直线方程为x＝x0.
跟踪训练1　一条直线经过点P(－2,3)，斜率为2，求这条直线的方程．
解　∵直线经过点P(－2,3)，且斜率为2，代入点斜式，得：y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0.
探究点二　直线的斜截式方程
思考1　已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？
答　将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.
小结　我们称b为直线l在y轴上的截距．方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以这个方程也叫做直线的斜截式方程．
思考2　直线y＝kx＋b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？
答　不是直线与y轴交点到原点的距离，是直线y＝kx＋b与y轴交点的纵坐标，截距b的取值范围是R.
思考3　一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？
答　一次函数的x的系数k≠0，否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程y＝kx＋b中的k，可以为0.
例2　求过点(0,1)，斜率为－的直线的方程．
解　直线过点(0,1)，表明直线在y轴上的截距为1，又直线斜率为－，由直线的斜截式方程，得y＝－x＋1.
即x＋2y－2＝0.
反思与感悟　已知直线的斜率和它在y轴上的截距求直线的方程，往往设直线方程的斜截式．
跟踪训练 已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．
解　设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；
y＝0时，x＝－6b.由已知可得·|b|·|－6b|＝3，
即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1，
即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

1．方程y＝k(x－2)表示________．
①通过点(－2,0)的所有直线；
②通过点(2,0)的所有直线；
③通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线；
④通过点(2,0)且除去x轴的所有直线．
答案　③
解析　易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
2．(1)已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的方程为________．
(2)过点(2,1)且平行于x轴的直线方程为________，且平行于y轴的直线方程为________，且过原点的方程为________．
答案　(1)x－2y＝0　(2)y＝1　x＝2　x－2y＝0
解析　(1)由x－4y＋3＝0，得y＝x＋，其斜率为，
故所求直线l的斜率为，又直线l过点P(2,1)，
所以直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
(2)平行于x轴的直线斜率k＝0，且过点(2,1)的直线方程为y＝1；
过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x＝2；
过点(2,1)与点(0,0)的直线斜率k＝，
其方程为y＝x，即x－2y＝0.
3．写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；
(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．
解　(1)由题意知，直线的斜率为2，
所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，
所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1.
[呈重点、现规律]
1．求直线的点斜式方程的方法步骤

2．直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了解．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.

一、基础过关
1．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为________．
答案　y＝x－2
解析　直线的倾斜角为60°，则其斜率为，
利用斜截式直接写方程．
2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则下列结论正确的为________．
①直线经过点(－1,2)，斜率为－1；
②直线经过点(2，－1)，斜率为－1；
③直经经过点(－1，－2)，斜率为－1；
④直线经过点(－2，－1)，斜率为1.
答案　③
解析　方程变形为y＋2＝－(x＋1)，
∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.
3．已知直线l1：y＝x＋a，l2：y＝(a2－3)x＋1，若l1∥l2，则a的值为________．
答案　－2
解析　因为l1∥l2，所以a2－3＝1，a2＝4，所以a＝±2，
又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则a≠1，即a≠2，故a＝－2.
下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是________．

答案　③
解析　当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，①，②，③，④都不成立；当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以①，②，③，④都不成立；当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有③成立．
将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为______________．
答案　y＝－x＋
解析　直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°所得到的直线方程为y＝－x，再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y＝－(x－1)，
即y＝－x＋.
6．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．
答案　(3,2)
解析　y＝a(x－3)＋2，即y－2＝a(x－3)
∴直线过定点(3,2)．
7．求满足下列条件的直线方程：
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
解　(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，
∴由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，
即3x＋y＋9＝0.
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为
y－(－4)＝0(x－3)，即y＝－4.
(3)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，
但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x＝5.
(4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率kPQ＝＝＝－1.
又∵直线过点P(－2,3)，
∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝－1(x＋2)，
即x＋y－1＝0.
二、能力提升
8．集合A＝{直线的斜截式方程}，B＝{一次函数的解析式}，则集合A、B间的关系是________．
答案　BA
解析　一次函数y＝kx＋b(k≠0)；
直线的斜截式方程y＝kx＋b中k可以是0，所以BA.
9．直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点________．
答案　(3,1)
解析　直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，
由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．
10．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
答案　k≥
解析　由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.
11．直线l过点P(2，－3)，且与过点M(－1,2)，N(5,2)的直线垂直，求直线l的方程．
解　直线MN的斜率k＝＝0，
所以该直线平行于x轴．
又直线l垂直于直线MN，
因此直线l的倾斜角为90°，又直线l过点P(2，－3)，
所以直线l的方程为x－2＝0，即x＝2.
已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．
(1)证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．

(2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，
需满足
即解得－≤k≤1.
所以，实数k的取值范围是－≤k≤1.
三、探究与拓展
13．已知等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为，点B(－3,2)，求直线AC、BC及∠A的平分线所在直线的方程．
解　直线AC的方程：y＝x＋2＋.
∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，
∴BC的倾斜角为30°或120°.
当α＝30°时，BC方程为y＝x＋2＋，
∠A平分线倾斜角为120°，
∴所在直线方程为y＝－x＋2－.
当α＝120°时，BC方程为y＝－x＋2－3，
∠A平分线倾斜角为30°，
∴所在直线方程为y＝x＋2＋.