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第2章 信号分类及频谱分析
一、知识要点及要求
1） 了解信号的分类，掌握信号的时频域描述；
2） 掌握周期信号及其频谱特点，了解傅立叶级数的概念和性质；
3） 掌握非周期信号及其频谱特点，了解傅立叶变换的概念和性质；
4） 了解信号处理的目的和分类，及数字信号处理的基本步骤；
5） 掌握模拟信号数字化出现的问题、原因和措施；
二、重点内容及难点
1.教学重点： 信号的分类；信号的时域、频域描述；采样定理；
2.教学难点： 信号的时域/频域转换；数字信号处理的步骤；采样定理；混叠；泄露；窗函数；
三、教学内容
（一） 信号的分类
1. 按信号随时间的变化规律分类
确定性信号与非确定性信号
2．按信号幅值随时间变化的连续性分类
根据信号幅值随时间变化的连续性，可把信号分为连续信号和离散信号。
3．按信号的能量特征分类
根据信号用能量或功率表示，可把信号分为能量信号和功率信号。
当信号在(-，)内满足
(2-6)
时，则该信号的能量是有限的，称为能量有限信号，简称能量信号。例如，图 2.6 所示的信号都是能量信号。
若信号在(-，)内满足
(2-7)
而在有限区间内的平均功率是有限的，即
(2-8)
则信号为功率信号。例如，图2.2中的正弦信号就是功率信号。
综上所述，从不同角度对信号进行分类，常用分类法归纳如下：
(1) 按信号随时间的变化规律分类。

(2) 按信号幅值随时间变化的连续性分类。

(3) 按信号的能量特征分类。

（二） 信号的时域—频域描述
信号的时域描述和频域描述之间是可以相互转换的，但它们包含相同的信息量（信号是信息的载体，信息包含在信号之中）。
直接观测或记录的信号一般为随时间变化的物理量。这种以时间为独立变量，用信号的幅值随时间变化的函数或图形来描述信号的方法称为时域描述。
时域描述简单直观，只能反映信号的幅值随时间变化的特性，而不能明确揭示信号的频率成分。因此，为了研究信号的频率构成和各频率成分的幅值大小、相位关系，则需要把时域信号转换成频域信号，即把时域信号通过数学处理变成以频率f(或角频率)为独立变量，相应的幅值或相位为因变量的函数表达式或图形来描述，这种描述信号的方法称为信号的频域描述。
信号“域”的不同，是指信号的独立变量不同，或描述信号的横坐标物理量不同。信号在不同域中的描述，使所需信号的特征更为突出，以便满足解决不同问题的需要。信号的时域描述以时间为独立变量，其强调信号的幅值随时间变化的特征；信号的频域描述以角频率或频率为独立变量，其强调信号的幅值和初相位随频率变化的特征。因此，信号的时域描述直观反映信号随时间变化的情况，频域描述则反映信号的频率组成成分。信号的时域描述和频域描述是信号表示的不同形式，同一信号无论采用哪种描述方法，其含有的信息内容是相同的，即信号的时域描述转换为频域描述时不增加新的信息。

（三） 周期信号与离散频谱
1 周期信号的傅里叶级数的三角函数展开
在有限区间上，任何周期信号只要满足狄利克雷(dirichlet)①条件，都可以展开成傅里叶级数。傅里叶级数的三角函数表达式为

(2-9)
式中，为信号的常值分量；
为信号的余弦分量幅值；
为信号的正弦分量幅值。
、和分别表示为
(2-10)
式中，为信号的周期；为信号的基频，即角频率，，
合并式(2-9)中的同频项，则式(2-9)表示为
(2-11)
式中，信号的幅值和初相位角分别为 (2-12a)
意义：周期信号是由一个或几个乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成。或者说，一般周期信号可以分解为一个常值分量和多个成谐波关系的正弦分量之和。因此，一般周期信号的傅里叶级数三角函数展开是以正(余)弦作为基本函数簇进行相加获得的。
周期信号频谱的三个特点：
1） 离散性；即周期信号的频谱是离散的。
2） 谐波性；即每条谱线只出现在基频的整数倍上。
3） 收敛性；即工程中常见周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。各频率分量的的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。
2 周期函数的奇偶特性
利用函数的奇偶性，可使周期函数(信号)的傅里叶三角函数展开式有较大的简化。
(1) 如果周期函数是奇函数，即，这样傅里叶系数的常值分量，余弦分量幅值，傅里叶级数。
(2) 如果周期函数是偶函数，即，这样傅里叶系数的正弦分量幅值，则傅里叶级数。
3 傅里叶级数的复指数函数展开
为了便于数学运算，往往将傅里叶级数写成复指数函数形式。根据欧拉公式
(2-17)
则
(2-18a)
(2-18b)
则

或
(2-20)
(2-25)
因此，可把()看做复平面内的模为、角频率为的一对共轭反向旋转矢量(即相量)。初相角为，表示矢量对于实轴在时刻的位置。矢量旋转的方向可正、可负，因此出现了正、负频率。当为正时，为负值；当为负时，为正值，如图2.12所示。

图2.12 负频率的说明
由此可见，周期信号用复指数形式展开，相当于在复平面内用一系列旋转矢量来描述，且具有负频率的矢量总是与具有正频率的矢量成对出现。在双边幅频图中，每对正、负频率上谱线的高度相等，因此幅频图呈偶对称分布，而双边相频图总是呈奇对称分布的。
表2-1 傅里叶级数的复指数与三角函数展开的关系
三角函数展开
表达式
复指数展开
表达式
常值分量

复指数常量

余弦分量幅值

复数的实部

正弦分量幅值

复数的虚部

振幅

复数的模

相角

相角

5 周期信号的强度表述
周期信号的强度通常是以峰值、绝对值、有效值和平均功率来表述。
1. 峰值与峰-峰值
2. 均值与绝对均值
周期信号中的均值是指信号在一个周期内幅值对时间的平均，也就是用傅里叶级数展开后的常值分量，即
(2-30)
周期信号全波整流后的均值称为信号的绝对均值，即
3. 有效值
信号中的有效值就是均方根值，即
(2-32)
它记录了信号经历的时间进程，反映了信号的功率大小。
4. 平均功率
有效值的平方，也就是说均方值就是信号的平均功率，即
(2-33)
（四） 非周期信号与连续频谱
非周期信号：
1） 准周期信号：频谱是离散的，但各频率分量与基频的比值不一定都是有理数。如。
2） 瞬变非周期信号：可简称为非周期信号。
瞬态信号是非周期信号，也可以说它的周期。因此，可以把瞬态信号看做是周期趋于无穷大的周期信号。
从周期信号的角度来理解非周期信号并推导其频谱。周期为的信号的频谱是离散谱，相邻谐波之间的频率间隔为。对于瞬态信号，时，，这意味着在周期无限扩大时，周期信号频谱谱线间隔在无限缩小，相邻谐波分量无限接近，离散参数就变换成连续变量，离散频谱变成了连续频谱，式(2-11)和式(2-20)中的求和运算可用积分运算来取代，所以瞬态信号的频谱是连续的。这时，瞬态信号的频域描述已不能用傅里叶级数展开，而要用傅里叶变换来描述
(2-40)
当时，离散频率连续变量。求和积分。则
(2-41)
为的傅里叶逆变换(反变换)。式(2-37)和式(2-41)构成了傅里叶变换对：

由于，所以式(2-37)和式(2-41)可变为
(2-42)
(2-43)
频谱密度函数；即与很相似，但的量纲与信号幅值的量纲一样，而的量纲是单位频宽上的幅值。
傅里叶变换的主要性质
表2-3 傅里叶变换的主要性质
性 质
时 域
频 域
函数的奇偶虚实性

实偶函数
实偶函数
实奇函数
虚奇函数
虚偶函数
虚偶函数
虚奇函数
实奇函数
线性叠加

对称

尺度改变

时移

频移

时域卷积

频域卷积

时域微分

频域微分

积分

奇偶虚实性
一般是实变量ƒ的复变函数。它可以表达为
(2-48)
式中
(2-49)
(2-50)
余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。由上式可知，如果是实函数，则一般为具有实部和虚部的复函数，实部为偶函数，即，虚部为奇函数，即。
如果为实偶函数，则，而是实偶函数，即；
如果为实奇函数，则，而是虚奇函数，即；
如果为虚偶函数，则上述结论的虚实位置也相互交换。
3 几种典型信号的频谱
1. 矩形窗函数的频谱
2. 单位脉冲函数(函数)及其频谱
1) 函数的定义
2) 函数的性质
(1) 筛选特性：
2) 函数的性质
(1) 筛选特性：
(2) 卷积特性
3) 函数的频谱
将进行傅里叶变换，考虑函数的筛选特性，则
(2-69)
其逆变换为
(2-70)

3. 正、余弦信号的频谱
傅里叶变换要满足狄利克雷(dirichlet)和函数在无限区间上绝对可积的条件，而正、余弦信号不满足后者，因此，在进行傅里叶变换时，必须引入函数。

根据式(2-71)，上述两式的傅里叶变换为
(2-72)
(2-73)

4. 一般周期信号的频谱
一个周期为的信号可用傅里叶级数的复指数形式的表述式(2-18)表示。利用傅里叶变换同样可以获得信号的频谱。
5. 周期单位脉冲序列的频谱
等间隔的周期单位脉冲序列也称为梳状函数
（五）信号处理

1、信号处理的目的
1） 分离信号和噪声，提高信噪比；
2） 从信号中提取有用的特征信号；
3） 修正测试系统的某些误差，如传感器的线性误差、温度影响等。
2、信号处理的分类
模拟信号处理：对模拟信号进行处理，由一系列能实现模拟运算的电路来实现。
数字信号处理：对数字信号进行处理，可以在通用计算机上借助程序来实现，或由专用数字信号处理机（DSP芯片）来实现。
预处理
A/D转换
计算机
或
数字信号处理器
结果显示
预处理
A/D转换
x(t)
x(t)
x(n)
y(t)
y(t)
y(n)
3、数字信号处理的基本步骤

①. 预处理的作用：把信号变成适于数字处理的形式，以减轻数字处理的困难。
1）电压幅值调整；2）必要的滤波；3）隔直；4）解调。
②. A/D转换的作用：把模拟信号转换为数字信号，以便能用数字方法进行处理。
1）采样：时间离散； 2）量化：幅值离散。
③. 计算机或数字信号处理器的作用对数字化之后的信号进行处理。
4、模拟信号的数字化
①. 时域采样和混叠
时域采样，就是等时间间隔地取点。从数学处理上看，就是乘以采样函数，时域相乘相当于频域作卷积，就相当于频谱的周期延拓，即频谱的搬移。
在频域中，如果频谱的搬移距离过小，搬移后的频谱就会有一部分相互交叠，从而使新合成的频谱与原频谱不一致，无法准确地恢复原时域信号，这种现象称为混叠。
u 频率混叠和采样定理
采样间隔的选择是一个重要的问题。采样间隔太小(采样频率高)，则对定长的时间记录来说其数字序列就很长(即采样点数多)，使计算工作量增大；如果数字序列长度一定，则只能处理很短的时间历程，可能产生很大的误差。若采样间隔太大(采样频率低)，则可能丢失有用的信息。
【例 3.1】 对信号和进行采样处理，采样间隔Ts=1/40，即采样频率fs=40Hz。请比较两信号采样后的离散序列的状态。
解：因采样频率fs=40Hz，则
t =nTs

经采样后，在采样点上两者的瞬时值(图3.4中的“×”点)完全相同，即获得了相同的数学序列。这样，从采样结果(数字序列)上看，就不能分辨出数字序列来自于x1(t)还是x2(t)，不同频率的信号x1(t)和x2(t)的采样结果的混叠，造成了“频率混淆”现象。

图3.4  频率混叠现象
1) 频率混淆的原因
在时域采样中，采样函数g(t)的傅里叶变换由式(2-78)表示，即
                           (3-3)
由频域卷积定理可知，两个时域函数的乘积的傅里叶变换等于这两者傅里叶变换的卷 积，即
                                             (3-4)
考虑到函数与其他函数卷积的特性，即将其他函数的坐标原点移至函数所在的位置，则式(3-4)变为
            (3-5)
式(3-5)即为信号x(t)经间隔Ts的采样脉冲采样之后形成的采样信号的频谱，如图3.5所示。一般地，采样信号的频谱和原连续信号的频谱X(jf)并不完全相同，即采样信号的频谱是将X(jf)/Ts依次平移至采样脉冲对应的频率序列点上，然后全部叠加而成，如图3.5所示。由此可见，一个连续信号经过周期单位脉冲序列采样以后，它的频谱将沿着频率轴每隔一个采样频率fs就重复出现一次，即频谱产生了周期延拓，延拓周期为fs。
如果采样间隔Ts太大，即采样频率fs太低，频率平移距离fs过小，则移至各采样脉冲对应的频率序列点上的频谱X(jf)/Ts就会有一部分相互交叠，使新合成的X(jf)*G(jf)图形与X(jf)/Ts不一致，这种现象称为混叠。发生混叠后，改变了原来频谱的部分幅值，这样就不可能准确地从离散的采样信号中恢复原来的时域信号x(t)了。
如果x(t)是一个限带信号(信号的最高频率fc为有限值)，采样频率，那么采样后的频谱X(jf)*G(jf)就不会发生混叠，如图3.6所示。如果将该频谱通过一个中心频率为零(ƒ=0)，带宽为的理想低通滤波器，就可以把原信号完整的频谱取出来，这才有可能从离散序列中准确地恢复原信号的波形。

图3.5  采样过程

图3.6  不发生混叠的条件
2) 采样定理
为了避免混叠，以便采样后仍能准确地恢复原信号，采样频率ƒs必须不小于信号最高频率ƒc的2倍，即，这就是采样定理。在实际工作中，一般采样频率应选为被处理信号中最高频率的3～4倍以上。
如果确知测试信号中的高频成分是由噪声干扰引起的，为满足采样定理并不使数据过长，常在信号采样前先进行滤波预处理。这种滤波器称为抗混滤波器。抗混滤波器不可能有理想的截止频率ƒc，在其截止频率ƒc之后总会有一定的过渡带，由此，要绝对不产生混叠实际上是不可能的，工程上只能保证足够的精度。而如果只对某一频带感兴趣，那么可用低通滤波器或带通滤波器滤掉其他频率成分，这样就可以避免混叠并减少信号中其他成分的干扰。

②. 时域截断和泄漏
时域截断，就是取有限长的信号。从数学处理上看，就是乘以有限宽矩形窗函数。时域相乘相当于频域作卷积，就相当于频谱的周期延拓，即频谱的搬移。
在频域中，由于矩形窗函数的频谱是一个无限带宽的sinc函数，即使原模拟信号是有限带宽的，截断后也必然成为无限带宽的，这种信号的能量在频率轴分布扩展的现象称为泄漏。
u 信号截断与能量的泄漏现象
将截断信号的谱XT(jf)与原始信号的频谱X(jf )相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱。这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。
信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数wR(t)是一个频带无限的函数，所以即使原信号x(t)是限带信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题。
如果增大截断长度T，即矩形窗口加宽，则窗谱WR(jf )将被压缩变窄(1/T减小)。虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小。当窗口宽度T趋于无穷大时，则窗谱WR(jf )将变为()函数，而(f )与X(jf )的卷积仍为X(jf )，这说明，如果窗口无限宽，即信号不截断，就不存在泄漏误差。
为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。

③. 频域采样和栅栏效应
频域采样，就是在频率轴上等间隔地取点，使频率离散化。从数学处理上看，就是乘以频率采样函数。频域相乘相当于时域作卷积，就相当于时域波形的周期延拓，即频域波形的搬移。
采样的实质是摘取采样点上对应的函数值，其效果有如透过栅栏的缝隙观看外景，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象都被栅栏挡住，视为零，这种现象称为栅栏效应。
在频域中，栅栏效应的影响很大，丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，以致于整个处理失去意义。而时域采样如满足采样定理，栅栏效应不会有太大的影响。
④. 量化和量化误差
时域采样仅仅是把模拟信号的时间离散化了，如果把幅值也离散化，则模拟信号就变成了数字信号。用二进制数码组来表示幅值，使其离散化的过程，称为量化。
量化误差，是指采样点的实际电平与量化电平之间的差值。如果采样点的电平落在两相邻量化电平之间，就必须相近的一个量化电平上。
几种常见的窗函数
实际应用的窗函数，可分为以下几种类型：
(1) 幂窗——采用时间变量的某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其他时间t的高次幂；
(2) 三角函数窗——应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；
(3) 指数窗——采用指数时间函数，如e-st形式，例如高斯窗等。
图1
四、典型习题解答
题1. 求指数函数的频谱。
解：

幅值谱：; 相位谱：

习题2. 求被截断的余弦函数的傅立叶的变换

解：
图2
习题3. 设有一时间函数及其频谱如图3所示，现在乘以正弦型振荡，在这个关系中函数叫做调制信号，正弦型振荡叫做载波。试求调幅信号的傅立叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。

图3 （a）
解：调幅信号其傅立叶变换为：

0

图3 （b） (c)

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