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第一章 函数与极限
第一节.映射与函数
一． 集合
1．集合的概念
1)集合（集）；元素（元）；有限集，无限集；a∈A，a-∈A;
2)在表示数集的字母的右上角“*”来表示该集合中排除0；“+”表示该数集内排除0和负数的集合
N:全体非负整数即自然数的集合
N+：全体正整数
Z:全体整数
Q:全体有理数
R:全体实数
R*排除0的实数集
R+:全体正实数
子集，真子集，空集
2．集合的运算
1)并，交，差
并集，全集（基本集），余集（补集）——Ac;
2)运算法则①②交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C),A∩(B∩C)=A∩(B∩C);
分配律: (A∪B) ∩C=(A∩B)∪(B∩C),(A∩B) ∪ C=(A∪C) ∩(B∪C);
对偶律:(A∪B)c=Ac ∩Bc,(A ∩B)c=Ac∪Bc.
3)直积（笛卡尔乘积）：A×B=｛(x,y)!x∈A,y∈B｝
3.区间和领域
1)开区间，端点，闭区间，半开区间，有限区间（b-a称为这些区间的长度），无限区间，区间常用I表示
2)邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)
设是任一正数，则开区间（x-）就是点a的一个邻域，称为点a的邻域，记作U(a,) ，a称为这个邻域的中心；
去心邻域(a,);于去左邻域，去右邻域；
两个闭区间的直积=:x0y平面的一个矩形区域，这个区域在x轴与y轴的投影分别为闭区间
二.函数
1.映射概念
定义：设X是两个非空集合，如果存在一个对应法则f,使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射，记作f:XY;
象，原象

第二节.数列的极限
1. 数列极限的定义：1）设 为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数 （无论它有多么小），总存在正整数N，使得当 时，不等式 都成立，那么就从常数a是数列
的极限，或者称 收敛于a，记作 或
2）
2. 几何意义：当 时，所有的点都落在开区间 内，而且只有有限个（至多只有N个）在这区间以外。
3. 收敛数列的性质
1) 定理二（收敛数列的有界性）如果数列 收敛，那么数列 一定有界
2) （收敛数列的保号性）

推论：
3）定理四;(收敛函数与其子数列间的关系）如果数列 收敛与a那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a
第三节 函数极限
关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：
一、 当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，
即x时，f(x)的极限
二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势
即x时，f(x)的极限
1.定义
定义1 如果存在常数，对任意给的正数（不论它多么小）总存在着正，数X，使得对于适合不等式|x|X的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|,那常数A就叫做函数f(x)当x时的极限，记作=A,或f(x)A(当x)
=A0,使当|x|X时，恒有|f(x)-A|
2.另两种情形
1)x情形：=A
,恒有|f(x)-A|
2)x：=A
0，使得x-X时，恒有|f(x)-A|
定理：=A=A且=A
3.几何解释
二、自变量趋向有限值时函数的极限
1.定义
定义2 如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得对于适合不等式0|一切，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|,那么常数A就叫函数f(x)当x时的极限，记作
=A或f(x)A(x)

注：①定义习惯上称为极限的ε-δ定义其三个要素：
10。正数ε，20。正数δ，30。不等式

②定义中0
所以x →x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态
并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近
的变化趋势，即 x →x0时f(x) 变化有无终极目标，
而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。约定x →x0但
x≠x
③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε，
对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯
一的。δ由不等式 |f(x) －A|＜ε 来选定，
一般地，ε越小，δ越小
左极限
记作 =A或f()=A
左极限
记作 =A或f()=A
三、函数极限的性质
1.唯一性
定理 若函数极限存在，则极限唯一
2.局部有界性
定理:若，则f(x)在的某去心领域有界
3.局部保号性
定理
若,
推论：若,,则A
四、小结
函数极限的统一定义
;
=A;=A;

过程

x
x
x
时刻
N
从此以后
nN
|x|N
N
x
f（x）
|f(x)-A|

过程
x
x
x
时刻

从此以后
0|
0

f（x）
|f(x)-A|
第四节. 无穷小与无穷大
一、 无穷小
定义。若x时，函数f(x)0,则称函数f(x)为x时的无穷小。
注：无穷小≠很小的数；能作为 无穷小的数只有0
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )

二、 无穷大
定义2.
若任给M的x，总有|f(x),则称函数f(x)当时为无穷大，记作=
（无穷大→无界，无界无穷大）

三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中
若f(x)为无穷大，则为无穷小；若f(x)为无穷小，且f(x）≠0,则为无穷大。

第五节 极限运算法则
一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
注: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
定理2.有界函数与无穷小的乘积时无穷小
推论1.常数与无穷小的乘积时无穷小
推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小
二极限的四则运算法则
定理3.若则有

(B
注：加减乘除可推广到有限个
推论1.若
推论2.(C为常数)
推论3.
推论4.若,则有
1）
2)
3)当0且B
内容小结
1极限的运算法则

注意使用条件
2.求极限函数的方法
1）分式函数极限求法
i．x时，用代入法（分母不为0）
ii.x时，对0/型，约去公因子
iii.时，分子分母同除最高次幂
2）符合函数极限求法——设中间变量

第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则
二、 两个重要极限

一．夹逼准则I若满足:
1）
2),则=a
准则.若f(x),g(x),h(x)满足：
1）当,g(x)
2)则，
注：夹逼准则不仅可以证明极限存在，而且可以求出极限！
二、单调有界准则
定义：如果数列满足条件
单调数列
准则Ⅱ.单调数列必有极限
注：收敛
准则
1））内单调有界
2））内单调有界
3））内单调有界
3））内单调有界

注：单调有界准则只能证明极限存在，而不能求出极限！
四．重要极限二
=e
1. 极限存在准则（用于证明极限存在）
(1) 夹逼准则（可求出极限）
(2) 单调有界准则（求不出极限）
第七节 无穷小的比较
一、 无穷小的比较
定义。设是同一过程的两个无穷小，且）
1）如果=0，就说是的同阶无穷小，记作=o（；
2）如果

3）如果
定理1.
等价无穷小：当x时
;
;(1+x;-1)
二、等价无穷小替换
定理（等价无穷小替换定理）
设存在且
意义：求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。

若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．
注：用等价无穷小代换的原则是：只能对函数的因子式作等价无穷小代换，对于代数和中的各无穷小不能分别代换.
小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.
高(低)阶无穷小; 等价无穷小.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
第八节. 函数的连续性与间断点
一、 函数的连续性
二、 函数的间断点及其分类
一、 函数的连续性
1.定义。设函数y=f(x)在的某领域内有定义，
1）自变量增量：
2)
3)f(x)在点
4)f(x)在（a,b）内连续：f(x)在你（a,b）内每一点连续
5)几何意义：连续函数的图形是一条连续不断的曲线
基本初等函数在其定义域内是连续的.
2.判定——单侧连续
定理1.f(x)在连续
注：f(x)在上连续：
1） f(x)在(a,b)内连续；
2） f(
二、 函数的间断点及其分类
1.定义。设f(x)在点
1）函数f(x)在无定义；
2）函数f(x)在虽有定义，但不存在
3）函数f(x)在
虽有定义，且存在，但
这样的点成为间断点
2.间断点分类
第一类间断点：

第二类间断点：
中至少一个不存在，如：
若其中有一个为称为无穷间断点；若其中有一个为振荡，称为振荡间断点

内容小结
1. f(x)在点连续的等价表述

2. 2. f(x)在点间断的类型
第一类间断点 左右极限都存在
第二间断点 左右极限至少有一个不存在

九．连续函数运算与初等函数的连续性
一． 连续函数的和，差，积，商的连续性
定理一：设函数f(x)和g(x)在点 连续，则它们的和（差） ，积 及商 （ ）
都在点 处连续。
二． 反函数和复合函数的连续性
定理二：如果反函数y=f(x)在区间 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数
也在对于区间 上单调增加（或单调减少）且连续。
定理四：设函数 由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成， 若
，则
定理四：设函数 是由u=g(x)与函数＃y=f(x)复合而成， ，若函数u=g(x)在
处连续，且 ，二函数y=f(x)在 连续，则复合函数 在 连续
三． 初等函数的连续性
1. 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
2. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的
十．闭区间上连续函数的性质
一． 有界性与最大值最小值定理
定理一：（有界性与最大值最小值的定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值最小值
二． 定理与介值定理
定理二：（零点定理）设函数f(x)在闭区间 上连续，且f(a)与f(b)异号，即（ ）
那么在开区间（a,b)内至少有一点 ，使得
定理三：（介值定理）设函数f(x)在闭区间 上连续，且在这区间去不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a,b）内至少有一点 ，使得
三． 一致连续性
定义：设函数f(x)闭区，间 上有定义，如果对任意给定的正数 。总存在着正数 使得对于区间 上的任意两点 ，当 时，就有
那么称函数f(x)在区间 上是一致连续的。
定理四：（一致连续性定理）如果函数f(x)在闭区间 上连续，那么它在该区间上一致连续
第二章 导数与微分
一．导数概念
二.导数定义
1. 函数在一点处的导数与导函数
设函数y=f(x)在点 的某个领域内有定义，当自变量x在 处取得增量 （点 仍在该领域内）时，相应的函数取得增量 ；如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数y=f(x)在点 处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点 处的导数，记为
即

2. 单侧导数
1) 极限存在的充要条件条件：左右极限都存在且相等

2）单侧导数：左导数和右导数统称单侧导数
左导数：

函数 在 可导的充要条件是左导数 和右导数 到存在且相等。
三． 导数的几何意义
函数在y=f(x)在点 处的导数 在几何上表示曲线y=f(x)在点 处的切线的斜率，即
四． 函数的可导性与连续性的关系
可导比连续；不连续必不可导；连续不一定可导
第二节 . 函数的求导法则
一． 函数的和，差，积，商的求导法则
定理一：如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x出具有导数，那么它们的和，差，积，商（除分母为零的点外）都在点x处具有导数，且（推广到有限个）

二． 反函数的求导法则
定理二：如果函数x=f(y)在区间 内单调，可导且 ，则它的反函数 在区间
内也可导，且

（即反函数的导数等于直接函数的导数）
三． 复合函数的求导法则
定理三：如果u=g(x)在点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，则复合函数 在点x可导，且其导数为：

四． 基本求导法则公式
1. 常数和基本初等函数的导数公式
1） 2） 3）

4） 5） 6）

7） 8） 9）

10） 11） 12）

13） 14）

15） 16）

2. 函数的和，差，积，商的求导法则
1） 2）

3） 4）
3. 复合函数的求导法则
4. 设x=f(y)在区间 内单调可导且 ，则它的反函数 在区间 内也可导，且

三．高阶导数
1.（n-1）阶的导数的导数叫n阶导数
2.高阶导数：二阶及阶以上的导数称为高阶导数
3.莱布尼茨公式

第三节 .隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率
一． 隐函数的导数
1. 隐函数；隐函数的显化
2. 求导法则：方程两边对x求导（有y的地方记得有 ）；把 的表达式写出（结果可能有x,y）
二． 对数求导法则
1. 适用范围：表达式有商，积，乘方，开方；幂指函数
2. 方程两边取对数；运用对数的运算法则
三． 参数 方程所确定的函数的导数
1. 定义求举例

2. 公式

三． 相关变化率
设x=f(t)及y=y(t)都是可导函数，二变量x与Y间存在某种关系，从而变化率 与 也存在一定关系，这两根个相互依赖的变化率称为相关变化率。
第五节 .函数的微分
一． 微分的定义
1. 定义：设函数y=f(x)在某区间内有定义， 及 在这区间内，如果增量
可表示为 其中A是不依赖于 的常数，那么称函数y=f(x)在点 是可微的，而 叫做函数y=f(x)在点 相应于自变量增量 的微分，记作dy，即：
2.1）
2）
3）
4）
5）主部：
线性主部：
函数的微分：函数y=f(x)在任意的x的微分
自变量的微分：自变量x的增量
微商：函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此导数亦称微商
二． 微分的几何意义

三． 基本初等函数的微分公式与微分运算法则
1. 基本初等函数的微分公式
导数公式
微分公式

2. 函数的和差积商的微分法则

函数的和差积商的求导法则
函数的和差积商的微分法则

3. 复合函数的微分法则
微分形式不变性

四． 微分在近似计算中的运用
1.1）
2）
3）
2. 假定|x|时很小的数值
1）
2）
3） 4）
第三章 .微分中值定理与导数的运用
第一节 .微分中值定理
一．罗尔定理
1. 费马引理：设函数f(x)在点 的某领域 内有定义，并且在 处可导，如果对任意的 ，有 （或 ），那么，
2.罗尔定理：如果函数f(x)满足 1）在闭区间 上连续
2）在开区间 内可导
3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)
那么在（a,b)内至少存在一点 （ ）使得
二． 拉格朗日中值定理
如果函数f(x)满足 1）在闭区间 上连续
2）在开区间 内可导
那么在（a,b)内至少存在一点 （ ）使得
定理：如果函数f(x)在区间 上的导数恒为零，那么f(x)在区间上是一个常数。
三． 柯西中值定理
如果函数f(x)及F(x)满足 1）在闭区间 上连续
2）在开区间 内可导
3）对任一
那么在（a,b)内至少有一点 ，使得不等式

第二节 . 洛必达法则
定理一：设 1）当 时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
2）在点a的某去心领域内， 及 都存在且
3） 存在（或为无穷大）。那么

定理二：设 1）设 1）当 时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
2）当 时 及 都存在且
3） 存在（或为无穷大）。那么
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