高考数学第一轮复习单元试卷15-空间中有关角.doc

第十五单元 空间中有关角、距离的计算
一.选择题
(1)已知则与的夹角等于 ( )
A．90° B．30° C．60° D．150°
(2) 正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别是棱AB, BB1的中点,A1E与C1F所成的角是θ，则 ( )
A．θ=600 B．θ=450 C． D．
(3)设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是 ( )
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
(4) 如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是 ( )
A． B．
C． D．

(5) 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为 ( )
A． 90° B． 60° C． 45° D． 30°
(6) 如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,P是侧面
BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的
距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是 ( )
A． 直线
B． 圆
C． 双曲线
D． 抛物线

(7) 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1, 则A B1与C1B所成角的大小为 ( )
A ． 60° B． 90° C． 105° D． 75°
(8) 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为 ( )
A． B． C． D．
(9) 将=600,边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成二面角,若[60°,120°], 则折后两条对角线之间的距离的最值为 ( )
A．最小值为, 最大值为 B．最小值为, 最大值为
C．最小值为, 最大值为 D．最小值为, 最大值为
(10) 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为　 ( )
A．　 B．　
C．　 D．
二.填空题
(11) 直三棱柱ABC-A1B1C1中, ∠A1B1C1=90°, 且AB=BC=BB1, E, F分别是AB, CC1的中点, 那么A1C与EF所成的角的余弦值为 .
(12) 如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=BC，且，则PA与底面ABC所成角为 ..

(13) 如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
(14) 已知平面α和平面β交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为
.
三.解答题
(15) 如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、．将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M．求：二面角的大小

(16) 在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

(17) 已知直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

(18) 如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.
（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；
（Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.

参考答案
一选择题:
1.D
[解析]：以D为原点建立坐标系

2.C
[解析]：

3.C
[解析]：

是锐角
同理, D,C都是锐角.故△BCD是锐角三角形.
4.D
[解析]：以D为原点建立坐标系

异面直线A1E与GF所成的角是
B
5.C
[解析]： D
E
A
C

如图,当平面BAC平面DAC时, 三棱锥体积最大
取AC的中点E,则BE平面DAC,
故直线BD和平面ABC所成的角为DBE
cosDBE=,∴DBE=450
6.D
[解析]：∵P到直线直线C1D1的距离就是P到C1的距离,
∴点P到直线BC与点C1的距离相等
故动点P的轨迹所在的曲线是以C1为焦点、以直线BC为准线的抛物线
7.B
[解析]：以A为原点建立坐标系，AC，AA1为y,z轴，垂直于平面AA1C1C直线为x轴，则
故 =0
8.B
[解析]：点A到平面A1BC的距离为h
∵
∴
∴
∴
9.B
F
B
[解析]：D
E
A
C

由题设ED=,E、F分别是中点
则折后两条对角线之间的距离为EF的长
在中，ED=，BE=DE=
当=120°时，EF的最小值为,当=60°时，EF的最大值为
10.B
[解析]：过O作EF//C1D1分别交A1C1、B1D1于E、F，
∵EF//平面ABC1D1，∴O到平面AB C1D1的距离等于E到平面AB C1D1的距离，而E到平面AB C1D1的距离为
二填空题:
11.
[解析]：分别以BA、BC、BB1为ox、oy、oz轴，则

12.
[解析]：∵PA=PB=PC，∴P在底面的射影E是ABC的外心，又
故E是BC的中点，所以 PA与底面ABC所成角为PAE，
而PAE=。
13.
[解析]：分别取AB、CD的中点E、F，连EF，过M作MNEF于N，再作
EGMF于G
则MN的长为点M到截面ABCD的距离。
先在EFG中计算
再在MFN中计算MN=MF=
14.
[解析]：∵点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，
∴αβ
设射影为点C，点P到的距离为PC的长，
而PC为矩形PACB的对角线
∴PC=
三解答题
(15) 解（Ⅰ）连接AM，A1G
∵G是正三角形ABC的中心，
且M为BC的中点，
∴A，G，M三点共线，AM⊥BC．
∵B1C1∥BC，
∴B1C1⊥AM于G，
即GM⊥B1C1，GA1⊥B1C1，
∴∠A1GM是二面角A1—B1C1—M的平面角．
∵点A1在平面BB1C1C上的射影为M，
∴A1M⊥MG，∠A1MG=90°
在Rt△A1GM中，由A1G=AG=2GM得∠A1GM=90°
即二面角A1—B1C1—M的大小是60°
.
(16) 解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角
N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴
SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.
∵SN=NB，∴NE=SD===，
且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N-CM-B的大小是arctan2.
（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.
设点B到平面CMN的距离为h，∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，
∴h==.即点B到平面CMN的距离为.

解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵
SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=
AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵·=（-4，0，0）·（0，2，2）=0，∴AC⊥SB.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则
·n=3x+y=0，
取z=1，则x=，y=-，∴n=(，-，1)，
·n=-x+z=0，
又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， ∴cos(n，)==.
∴二面角N-CM-B的大小为arccos.
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（-1，，0），n=（，-，1）为平面CMN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离d==.
(17) [解法一]由题意AB//CD，是异面直线BC1与DC所成的角.
连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得，
又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.
在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，
得
又在中，可得，
在
∴异而直线BC1与DC所成角的大小为
[解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直
角坐标系.
则C1（0，1，2），B（2，4，0）
所成的角为，
则
∴异面直线BC1与DC所成角的大小为
（18（I）证明：∵，
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形．
同理可证：△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，
△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．
所以，PA⊥平面ABC．
又∵，
而，
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB，
∴PB⊥平面CEF．
（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC，
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE．
在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，
EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC，
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角．

二面角B—CE—F的大小为

10