《线性代数》第7章习题解答new3-1.doc

《线性代数》第七章习题解答

习题七（P274－276）
1． 设，以下哪些函数定义了的一个内积？
（1）， 否
（2） ， 是
（3） ， 否
（4） ， 否
2.以下哪些函数定义了上的一个内积.
（1） （）
（2） （）
（3） （√）
（4） （）
（5） （√）
3． 设是正定矩阵，在中对任两个向量，，定义，证明：在这个定义下构成欧氏空间，并写出这个空间的柯西——施瓦兹不等式.
证明：（1）
（2）
（3）设：
（4）由的正定性知，当且仅当时，，即，从而在定义下构成欧氏空间。又.柯西——施瓦兹不等式为
4． 在中，求之间的夹角（内积按对应分量乘积之和）.
（1）
（2）
解：（1）
（2），从而

5． 在中求一单位向量与正交.
解：设所求向量为，应有：
解之得：，
又 ，得：，

6． 把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和）：,
,。
解：，取：
，，
取，
，即为所求 。
7． 次数不超过3的所有实系数多项式，根据
构成一欧氏空间，试求它的一个标准正交基（由基出发作正交化）。
解：为欧氏空间的一个基，现将其标准正交化.，（此处 ），取：
，，；取， ，；，
；即为所求.
8． 求齐次线性方程组：的解空间（作为的子空间）的一组标准正交基。
解：解方程组，得解空间的一组基，
, , 。
将其标准正交化：，
取，
；
取，
；
即为所求.
9． 设是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：,,也是一组标准正交基。
证明：，为单位向量，又：
，类似有：
，两两正交. 从而为三维欧氏空间中一组标准正交基.
10． 设是欧氏空间的向量，且可以由线性表示，证明若与每一个正交，则.
证明：由可以由线性表示得知，存在一组数使
又与正交，，从而。
11． 在欧氏空间V中，，如果任意有，证明：。
证明：对任意，即，由10知，从而.
12． 设是由生成子空间，则向量垂直充要条件为垂直.
证明：必要性显然，只需证充分性.
对任意，可由线性表示，即存在，使：
.
，
，从而.
13．设是一维欧氏空间，是中一固定向量。证明：
（1）是的子空间；（2）的维数等于.
证明：
（1）对任意，，对任意常数，，从而为的子空间。
（2） 由定理4知可扩充为的一组正交基，易知：。对任意，可由线性表示。即存在使，又，知，即：
，故即可由线性表示。为的一组基。
14．一组数据如下：
在最小二乘意义下，求最佳拟合直线方程.
解：设所求直线方程为，将值代入得：
， ， , ,,最佳拟合直线方程为.
15．求下列方程的最小二乘解（保留三位有效数字）。

解：，，，最小二乘解：
。
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