DQ直线方程比较难的问题汇总 例题 知识点 有答案.doc

直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角和斜率及其关系
(1)对应关系 ①α≠90°时，k＝tan α. ②α＝90°时，斜率不存在．
(2)单调性：当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)．
(3)经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k＝(x1≠x2)，
　求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．

[变式训练]
1．已知过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m2－m，2m)的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值．

直线方程及其应用
直线方程的五种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不表示垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
两点式
＝
不表示垂直于坐
标轴的直线
截距式
＋＝1
不表示过原点和
垂直于坐标轴的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)

求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线．
若不做特殊说明，求出的直线方程要化成一般式．
　一条直线被两条直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方程．

[变式训练]2已知直线l经过点P(－5，－4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．

两条直线的位置关系
两条直线的位置关系见下表：
直线方程位置关系　　　　
l1：y＝k1x＋b1
l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
(A1B1≠0，A2B2≠0)
l1与l2组成的方程组
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1或B1C2≠B2C1
无解
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1或B1C2＝B2C1
无数多个解
相交
k1≠k2
A1B2≠A2B1
有唯一解
垂直
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
有唯一解
　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值．（1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直．
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等．

[变式训练]
3．已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
(1)求过点A，且和直线l平行的直线方程；(2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程．

距离问题
　　三种距离：
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.
(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离为 d＝.
注：①求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线间的距离时，先把平行线方程中x，y的对应项系数转化为相等的形式，再利用距离公式求解，也可转化成点到直线的距离求解．②当直线垂直于坐标轴时画图求解即可，不必用公式．

　两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．

[变式训练]
4． 在直线x＋3y＝0上找一点，使它到原点和直线x＋3y－2＝0的距离相等．

、

分类讨论思想
　　分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决．在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决．
在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题．
　过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程．

[变式训练]5．直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．

1．(2014·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是(　　)
A．[，2]　　　　B．[，2] C．[，4] D．[2，4]
2．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)
A．(0，1)　　　B. C. D.
3．(2013·辽宁高考)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)
A．b＝a3 B．b＝a3＋ C．(b－a3)＝0 D．|b－a3|＋＝0
4．(2013·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
【答案】　(2，4)

例1.【思路点拨】　分斜率存在和不存在两种情况讨论．
【规范解答】　当m＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°.
当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝，
①当m＞1时，k＝＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是：0°＜α＜90°.
②当m＜1时，k＝＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是：90°＜α＜180°.
变1【解】　∵＝tan 45°＝1，∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或－2.但当m＝－1时，A、B重合，舍去．∴m＝－2.
【思路点拨】　一是设出过原点的直线方程，解出交点，利用中点坐标公式；二是利用点的对称性求解．
【规范解答】　法一：当直线的斜率存在时，设l的方程为y＝kx，且l与已知两直线的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
，由此解得 ∵O是P1P2的中点，∴x1＋x2＝0，
即－＝0，解得k＝－.
当斜率不存在时，直线l是y轴，它和两已知直线的交点分别是(0，－6)和，显然不满足中点是原点的条件，∴所求的方程为y＝－x.
法二：设过原点的直线l交已知两直线于P1、P2，且O为P1P2的中点，
∴P1与P2关于原点对称，
若设P1(x0，y0)，则P2(－x0，－y0)．
∴①＋②得x0＋6y0＝0.∴点P1(x0，y0)，P2(－x0，－y0)都满足方程x＋6y＝0.∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点，
∴所求直线l的方程即为x＋6y＝0.
例2【解】　由已知得l与两坐标轴不垂直．
∵直线l经过点P(－5，－4)，∴可设直线l的方程为y－(－4)＝k[x－(－5)]，即y＋4＝k(x＋5)．则直线l在x轴上的截距为－5，在y轴上的截距为5k－4.根据题意得··|5k－4|＝5，即(5k－4)2＝10|k|.
当k＞0时，原方程可化为(5k－4)2＝10k，解得k1＝，k2＝；
当k＜0时，原方程可化为(5k－4)2＝－10k，此方程无实数解．
故直线l的方程为y＋4＝(x＋5)，或y＋4＝(x＋5)．
即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0.
变2【思路点拨】　对于(1)，由题意列出关于a，b的方程组求解，对于(2)先得出a与b的关系，再由原点到l1、l2的距离相等求解．
【规范解答】　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0
即a2－a－b＝0① 又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，＝1－a，b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0.∵原点到l1与l2的距离相等， ∴4＝，a＝2或a＝.因此或.

例3【解】　(1)因为所求直线与l：3x＋4y－20＝0平行，所以设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0.又因为所求直线过点A(2，2)，所以3×2＋4×2＋m＝0，
所以m＝－14，所以所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)因为所求直线与直线l：3x＋4y－20＝0垂直，
所以设所求直线方程为4x－3y＋n＝0.又因为所求直线过点A(2，2)，
所以4×2－3×2＋n＝0，所以n＝－2，所以所求直线方程为4x－3y－2＝0.
【规范解答】　(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3，
当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，
所以0＜d≤3，即所求的d的变化范围是(0，3].
(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，
所以k＝－＝－＝－3， 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
变3【解】　在直线x＋3y＝0上任取一点(3t，－t)，
它到直线x＋3y－2＝0的距离为＝，设直线x＋3y＝0上的点P(x0，y0)
，则 解得或∴所求坐标为或.
例5【思路点拨】　分两条直线的斜率存在与不存在两种情形求解．
【规范解答】　(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，适合题意；
(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.
由题意＝1，即k＝1.
∴直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
变5【解】　(1)当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y＝kx，由点到直线的距离公式可得＝3，解得k＝－6±.
故所求直线的方程为y＝x.
(2)当直线不经过坐标原点时，设所求方程为＋＝1，
即x＋y－a＝0. 由题意可得＝3. 解得a＝1，或a＝13.
故所求直线的方程为x＋y－1＝0，或x＋y－13＝0.
综上可知，所求直线的方程为y＝x，或x＋y－1＝0，或x＋y－13＝0.

高考体验【解析】　由动直线x＋my＝0知定点A的坐标为(0，0)，由动直线mx－y－m＋3＝0知定点B的坐标为(1，3)，且两直线互相垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动．故当点P与点A或点B重合时，|PA|＋|PB|取得最小值，(|PA|＋|PB|)min＝|AB|＝.当点P与点A或点B不重合时，在Rt△PAB中，有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.
因为|PA|2＋|PB|2≥2|PA||PB|，所以2(|PA|2＋|PB|2)≥(|PA|＋|PB|)2，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，所以|PA|＋|PB|≤＝×＝2，所以≤|PA|＋|PB|≤2，所以|PA|＋|PB|的取值范围是[，2]．
【答案】　B
【解析】　根据题意画出图形，根据面积相等得出a，b的关系式，然后求出b的取值范围．
由题意画出图形，如图(1)．
由图可知，直线BC的方程为x＋y＝1.
由解得M.
可求N(0，b)，D.
∵直线y＝ax＋b将△ABC分割为面积相等的两部分，
∴S△BDM＝S△ABC.
又S△BOC＝S△ABC，∴S△CMN＝S△ODN，
即×|－|×b＝(1－b)×.
整理得＝.
∴＝，∴－1＝ ，∴＝ ＋1，

即b＝，可以看出，当a增大时，b也增大．
当a→＋∞时，b→，即b＜.
当a→0时，直线y＝ax＋b接近于y＝b.
当y＝b时，如图(2)，＝＝＝.
∴1－b＝，∴b＝1－.∴b＞1－.
由上分析可知1－＜
【解析】　根据直角三角形的直角的位置求解．
若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；
若∠A＝，则b＝a3≠0.
若∠B＝，根据斜率关系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0.
以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．
【答案】　C
【解析】　设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．
又kAC＝＝2，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①
又kBD＝＝－1，∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，
即x＋y－6＝0.②由①②得∴
∴M(2，4)．