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东大交院高数历年试卷 ——研学部制作

东南大学交通学院
高等数学历年试卷

——东南大学交通学院研学部整理

第一部分 历年试卷
2003级高等数学（A）（上）期中试卷
一、单项选择题（每小题4分，共12分）

1., （）
（A）；（B）；
（C）；（D）。
2.方程（）
（A） 一个实根；（B）二个实根；（C）三个实根；（D）五个实根。
3.已知函数
则（）
（A） 不可导；（B）可导且；（C）取得极大值；（D）取得极小值。
二、填空题（每小题4分，共24分）
1. 时，.
2.设函数，则 处间断，其类型是 .
3.函数余项的三阶公式为 。
4.设函数，则 .
5.已知，则 .
6.设，其中， 。
三、（每小题7分，共28分）

1.求极限. 2.求极限
3.已知，求. 4.设.
四、（8分）求证，.
五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是，问2秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？
六、（8分）试就a的不同取值，讨论方程的实根的个数。
七、（6分）设函数，，，证明：至少存在一点，使。
八、（8分）在椭圆上求一点，使得它与另外两点，构成的三角形。
2004级高等数学（A）（上）期中试卷
一. 填空题(每小题4分,共20分)
1.设时, 与是等价无穷小,则 .
2.设在处连续,则 .
3.设则 .
4.函数在区间 内单调减少.
5.函数在处的带Lagrange余项的一阶Taylor公式为
二. 选择题(每小题4分,共16分)
1.设则是的 [ ]
(A) 连续点 (B) 第一类(非可去)间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点
2.设且在处连续,,则 [ ]
(A) = (B) = - (C) (D) 不存在
3.函数在内的零点个数为 [ ]
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
4.设曲线则该曲线 [ ]
(A)有渐近线 (B) 仅有水平渐近
(C) 仅有垂直渐近线 (D) 既有水平渐近线, 又有垂直渐近线
三. 计算题(每小题7分,共3 5分)
1. 2.
3. 设是由方程确定的隐函数,求.
4. 设, 求.
5. 设函数且存在,试确定常数
四.(8分) 证明不等式: 当时, .
五.(8分) 求曲线的切线,使切线与直线及直线所围成的图形的面积最大.
六.(7分) 设,证明数列收敛,并求.
七.(6分) 设在上连续,在内可导,且证明:，使得
.
2005级高等数学（A）（上）期中试卷
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1． ；
2．当时,与是等价无穷小,则 ;
3．设，则 ；
4．函数在处带有余项的二阶公式为 ；
5．已知函数可导，则 ， 。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
6．设函数，则 [ ]
（A）都是的第一类间断点（B）都是的第二类间断点（C）是的第一类间断点，是的第二类间断点
（D）是的第二类间断点，是的第一类间断点
7．设函数由参数方程确定，则曲线在处的切线与轴交点的横坐标是 [ ]
（A） （B） （C） （D）8．以下四个命题中，正确的是 [ ]
（A）若在内连续，则在内有界
（B）若在内连续，则在内有界
（C）若在内有界，则在内有界
（D）若在内有界，则在内有界
9．当取下列哪个数值时，函数恰有两个不同的零点[ ]
（A） （B） （C） （D）
三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）
10． 11。
12． 13。设求
14．设函数由方程所确定，求。
四．（本题共4道题，满分29分）
15．（本题满分6分）如果以每秒的匀速给一个气球充气，假设气球内气压保持常值，且形状始终为球形，问当气球的半径为时，半径增加的速率是多少？
16．（本题满分7分）证明不等式：
17．（本题满分8分）在抛物线上求一点，，使弦的长度最短，并求最短长度，其中是过点的法线与抛物线的另一个交点。
18．（本题满分8分）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且
，证明：
（1） 至少存在一点，使得；
(2) 至少存在互异的两点，使得

2006级高等数学（A）（上）期中试卷
一. 填空题（前四题每题4分，第5题8分，满分24分）
1．函数的全部间断点分别是 ，它们的类型依次分别为 ；
2．已知，则，；
3．设，其中为可微函数，则微分；
4．设，若在处可导，则，；
5．举出符合各题要求的一例，并将其填写在横线上：
（1）在处不连续，但当时，极限存在的函数有
（2）在处连续，但在时不可导的函数有
（3）在处导数为，但不为极值点的连续函数有
（4）属于“”或“”未定型，且存在有限极限，但极限不能用洛必达法则求得
的有
二.单项选择题（每题4分，满分12分）
1．设是单调增函数，是单调减函数，且复合函数，
都有意义，则下列函数组中全为单调减函数的是 [ ]
(A) (B)
(C) (D)
2．当时，若是比更高阶的无穷小，则 [ ]
(A) (B) (C) (D)
3．下面四个论述中正确的是 [ ]
(A)若，且数列单调递减，则数列收敛，且其极限 (B)若，且数列收敛，则其极限
(C)若，则
(D)若，则存在正整数，当时，都有。
三.计算题（每题7分，满分35分）
1． 2.
3．设，求 .
4. 设，求.
5. 设是由方程所确定的隐函数，求曲线在点
处的切线方程.
四.（8分）设，证明数列收敛并求极限.
五.（8分）证明：当时, 有
.
六. (7分) 设函数在区间上连续，在内可导，，试证：存在一点，使得
七．(6分) 设 (其中为正整数)，
（1）证明：在内有唯一的零点，即存在唯一的，使；
（2）计算极限.

2007级高等数学（A）（上）期中试卷
一.填空题（每小题4分，满分24分）
1．当时，与是等价无穷小，则，；
2．已知，则，；
3．函数带余项的阶公式是
4．；
5．当某质点沿曲线运动到点处时, 该质点的坐标和坐标关于时间的变化率相等，点的坐标为
6．函数的单调增加区间为 ，极大值为 .
二.单项选择题（每题4分，满分12分）
7．设对, 有, , 则 [ ]
(A) 存在且等于零 (B) 存在且不等于零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在
8．极限 [ ]
(A) (B ) (C) (D)
9．函数的不可导点的个数为 [ ]
(A) (B) (C) (D)
三.计算题（每小题8分，满分32分）
10． 11. 设，求.
12．设，求.
13.试确定常数、的值，使得曲线和在点处相切，并求切线方程.
四(14).（8分）讨论的连续性，并指出间断点的类型（应说明理由）.
五(15).（8分）设函数在上定义，,并对任意实数和,恒有, 证明在上处处可导,并求.
六(16). (8分) 设, , 且，证明：当时，.
七(17)．(8分) 设在闭区间上具有一阶连续导数，在开区间内二阶可导，且，， 试证：至少存在一点 使得.

2008级高等数学（A）（上）期中试卷
一.填空题（每个空格4分，本题满分32分）
1． ；
2．当时，与是等价无穷小，则 ， ；
3．设，则______________；
4．设是由方程所确定的隐函数，则 ；
5．在处带有余项的二阶公式为_____ ______；
6．已知曲线和在点处相切，则 ， .
二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）
7．设,其中常数、、、互不相等,且
, 则的值等于 [ ]
(A) (B) (C) (D)
8．若极限存在，则下列极限一定存在的是 [ ]
(A) （为实常数） (B )
(C) (D)
9． 已知存在,则 [ ]
(A) (B) (C) (D)
三.计算题（本题满分27分）
10．（7分） 11. （6分）
12．（7分）设，求.
13. （7分）设，其中函数具有二阶连续导数，求.
四(14).（7分）已知函数可导，试求常数和的值.
五(15).（7分）试求函数的间断点，并指出间断点的类型（需说明理由）.
六(16). (9分)设，证明：.
七(17)．(6分) 设函数在区间上二阶可导，且，证明：对于任意的，都存在，使得 .

2009级高等数学（A）（上）期中试卷

第二部分 参考答案
2003级高等数学（A）（上）期中试卷
一、单项选择题（每小题4分，共12分）

1.B 2.A 3.D
二、填空题（每小题4分，共24分）
1. 2.,第一类（跳跃）间断点
3.
4. 5. 6.
三、（每小题7分，共28分）

1. 2.
3. 4.设.
四、（8分）求证，. (用函数的单调性来证明)
五、（6分）是一个相关变化率的问题，。
六、（8分）
时，有两个相异的实根；时，有一个实根；时，没有实根。
七、（6分）设，对在区间上用罗尔定理即可得证。
八、（8分）所求点为。
2004级高等数学（A）（上）期中试卷
四. 填空题(每小题4分,共20分)
1. 2. 3.
4. 5.
五. 选择题(每小题4分,共16分) 1.C 2.D 3.C 4.D
六. 计算题(每小题7分,共3 5分)
1. 2.
3. 4. .
5. （注意：分段点的导数一定要用导数的定义来求）
四.(8分) 用函数的单调性来证明。
五.(8分)所求的切点为，切线方程为。
六.(7分) 用单调有界原理来证明数列极限的存在性，然后求得.
七.(6分) 提示：对以及用Cauchy中值定理，然后再对在上用拉格朗日中值定理。
2005级高等数学（A）（上）期中试卷
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1． 2． 3．
4． 5．。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
6.C 7.C 8.C 9.B
三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）
10． 11。 12．
13。 14．。
四．（本题共4道题，满分29分）
15．（本题满分6分）（相关变化率问题）半径增加的速率是。
16．（本题满分7分）用单调性来证。（提示：设，则，考虑的符号即可）。
17．（本题满分8分）所求点为，弦的最短长度为。
18．（本题满分8分）提示：（1）令，用罗尔定理即可得证。
(2) 利用(1)的结论，对在区间分别用拉格朗日中值定理即可得证。
2006级高等数学（A）（上）期中试卷
一. 填空题（前四题每题4分，第5题8分，满分24分）
1．；第一类（跳跃）间断点，第二类（无穷）间断点
2． 3． 4．
5．（1） （2） （3）（4）
二.单项选择题（每题4分，满分12分） 1．C 2．B 3．D。
三.计算题（每题7分，满分35分）
1． 2. 3．，
4. 5.
四.（8分）用单调有界原理，数列单调递增，有上界，故收敛，且.
五.（8分）用单调性证明。
六. (7分) 提示：对用罗尔定理。
七．(6分) （1）令，，，
，故，使得，
在区间上连续，在内至少存在一个零点。
，记，
，，即，在内严格单调递减，在内至多存在一个零点。在内存在唯一零点，即在内存在唯一零点，记为。
（2）由于，而严格单调递减，故
，所以 ，得，
。

2007级高等数学（A）（上）期中试卷
一.填空题（每小题4分，满分24分）
1． 2． 3．
4． 5． 6．，
二.单项选择题（每题4分，满分12分） 7．D 8．B 9．C
三.计算题（每小题8分，满分32分）
10． 11.
12．.
13.,切线方程为.
四(14).（8分），在上连续，间断点为第一类的跳跃间断点。
五(15).（8分）用导数的定义证明，.
解 在等式中令，得，则，于是在上处处可导，且
六(16). (8分)
证 设，则，令，得唯一的驻点，且，是唯一的极小值点，因而是最小值点。故，不等式得证。
七(17)．(8分)
证 若，由定理知， ，使得；若
，不妨设，且.由于，由定理知， ，使得，再由于，且
，由介值定理知， ，使得，再由定理知， ，使得.

2008级高等数学（A）（上）期中试卷
一.填空题（每个空格4分，本题满分32分）
1． 2． 3． 4．
5．
6．
二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分） 7．D 8．B 9． C
三.计算题（本题满分27分）
10．（7分） 11. （6分）
12．（7分），
13. （7分）
四(14).（7分）（注意：分段点的导数要用导数的定义来求）.
五(15).（7分），故为第一类的跳跃间断点；
为第二类间断点。
六(16). (9分) 利用得单调性证明右边不等式；
利用得单调性证明左边不等式。
七(17)．(6分) 令，利用罗尔定理证明。
2009级高等数学（A）（上）期中试卷
一.填空题（每个空格4分，本题满分24分）
1． 2． 3． 4．
5． 6． 3
二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分） 7．D 8．B 9． C
三.计算题（本题满分36分）
10． 11. 12．，
13.
四(14).（8分）为第一类的跳跃间断点；为第二类的无穷间断点。
五(15).（8分）略。
六(16). (6分) 略。

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书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。