第三章微积分操作.doc

第三章 微积分操作
第三章 微积分操作

1． 如何求函数或者数列的极限
在Mathematica中，不仅能计算通常的极限（包括极限为正负无穷的情况），还可以计算左右极限，在极限不存在时，Mathematica会给出函数震荡的区间范围（Interval）。
下面是计算极限的三种形式：(当x0取Infinity时就相当于数列的极限)
极限函数
意义
Limit[expr,x->x0]
计算函数expr当x->x0时的极限
Limit[expr,x->x0,Direction->1]
计算左极限：方向从0到1
Limit[expr,x->x0,Direction->-1]
计算右极限: 方向从0到-1
例：

2． 如何求一元函数的导数及高阶导数
在Mathematica中，能方便地计算任何函数表达式的任意阶导数（微商）。计算一元函数的导数及高阶导数的函数的格式如下（函数中允许含其它看作常数的变量）：
求导函数
意义
D[f,x]
计算一阶导数f’(x)
D[f,{x,n}]
计算n阶导数f(n) (x)
例：

3． 如何求多元函数的偏导数及高阶偏导数
我们知道求偏导数的实质就是求导数，所以在Mathematica中求导数和求偏导数的函数是一样的，下面是其具体使用格式：
求偏导函数
意义
D[f,x1,x2,…]
计算多重偏导数
D[f,{x1,n1},{x2,n2},…]
计算多重混合高阶偏导数
Dt[f]
求全微分df
例：

4． 如何计算一元函数的不定积分
在Mathematica中用函数Integrate[f,x]计算不定积分，在输出的结果中省略了任意常数。应该指出的是，在Mathematica中计算导数几乎是所向无敌的，而计算积分则与积分问题本身的难度有关。我们知道，有些函数的原函数是不能用初等函数表示的，例如等。这时Mathematica采用的方法是原样输出或者使用超越函数表示。详细的内容可以参考Mathematica关于积分函数的使用帮助。
例：

5． 如何计算一元函数的定积分
计算一元函数定积分的函数也是Integrate，在无法求出精确解时可以使用数值积分函数NIntegrate，此外Mathematica还可以计算广义积分，在积分发散时会给出提示。计算定积分的一般形式如下：
定积分函数
意义
Integrate[f(x),{x,a,b}]
计算定积分
Nintegrate[f(x),{x,a,b}]
用数值计算方法计算定积分
例：

6． 如何计算二重积分和三重积分
实际上，在Mathematica中计算任何积分都是同一函数Integrate。下面是计算二重积分和三重积分的使用格式：
定积分函数
意义
Integrate[f(x,y),{x,a,b},{y,c,d}]
计算二重积分
Nintegrate[f(x,y),{x,a,b},{y,c,d}]
用数值计算方法计算二重积分
Integrate[f(x,y,z),{x,x0,x1},{y,y1,y2},{z,z1,z2}]
计算三重积分
Nintegrate[f(x,y,z),{x,x0,x1},{y,y1,y2},{z,z1,z2}]
用数值计算方法计算三重积分
注意：
重积分的计算顺序是从右到左，这与我们在《高等数学》中计算累次积分的顺序是一致的。这就要求我们在计算之前，需要把具体问题的二重积分或三次积分表达式转换成累次积分，然后再使用Mathematica计算。
例：

7． 如何把函数展开成幂级数
Mathematica允许对幂级数进行多种运算，包括把函数在任意点展开成任意阶幂级数、幂级数的四则运算、幂级数的复合和反演等。下面是其操作方法：
幂级数函数
意义
Series[f(x),{x,x0,n}]
把f(x)在x=x0展开直到x的n次幂
Series[f(x,y),{x,x0,n1},{y,y0,n2}]
把二元函数f(x,y)展开
Normal[幂级数]
去掉幂级数中的误差项O[x]n,得到一多项式
幂级数1/.x->幂级数2
两个级数复合
InverseSeries[幂级数，t]
用变量t反演幂级数（即求反函数的幂级数）
例：

8． 如何求解常微分方程和常微分方程组
在Mathematica中使用函数Dsolve可以解常微分方程和常微分方程组。在没有给定方程的初值条件的情况下，解中含有待定的系数C[1],C[2]等，当然你也可以把初值条件包含在方程内。下面是其使用格式，可以看出，DSOlve和前面解方程用的函数Solve的使用格式是基本一样的。
常微分方程求解函数
意义
Dsolve[微分方程或初值条件,y[x],x]
解y(x)的微分方程，x为变量
Dsolve[{微分方程组或初值条件},{x[t],y[t]},t]
解微分方程组，t为变量
例：

注：在Mathematica中也使用y’[x]表示一阶导数，y’’[x]表示二阶导数，y’’’’’[x]表示五阶导数等等，你也可以使用求导函数D来表示五阶导数：即D[y[x],{x,5}]。

习题
１．计算下列极限；
（１）
（２）
（３）
２．求下列函数的导数；
（１）y=axlnx
（２）y=(sinx)cosx
３．求高阶导数；
（１）y=arctanx，求y(20)
（２），求y(10)(0)
４．计算不定积分；　　　　　
（１） （２）
５．计算定积分和重积分；
（１）
（２）
（３）
（４）
６．把函数在x=0处展开到５阶；
７．求解下列微分方程和微分方程组；
（１）
（２）
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