不可压缩Oldroyd-B系统的粘性消失极限.pdf

五邑大学学报（自然科学版）JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY （Natural Science Edition）第 37 卷 第 4 期 2023 年 11 月 Vol.37 No.4 Nov.2023 文章编号：1006-7302（2023）04-0001-06 不可压缩 Oldroyd-B 系统的粘性消失极限 郭冬仪，黄金锐（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）摘要：本文研究了带有阻尼项的一般不可压缩 Oldroyd-B 系统的三维 Cauchy 问题，并给出了粘性消失极限（单侧粘性）强解的收敛速度.关键词：Oldroyd-B 系统；不可压缩；强解；粘性消失极限；收敛速度 中图分类号：O175.1 文献标志码：A Convergence Rates of Strong Solutions for a General Incompressible Oldroyd-B System with Vanishing Viscosity GUO Dong-yi,HUANG Jin-rui(School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)AbstractAbstract:In this manuscript,the three dimensional Cauchy problem for a general incompressible Oldroyd-B system with damping mechanism is studied,and the convergence rates of strong solutions with vanishing viscosity are established.Key words:Key words:Oldroyd-B system;Incompressible;Strong solutions;Vanishing viscosity;Convergence rates 1 模型与预备知识 本文研究在三维情形下粘弹性流体一般不可压缩 Oldroyd-B 系统的 Cauchy 问题：,div,(,),div0,ttuuupuuQuuu （1）其中，,33123(,):Tuuuu表示流体的速度场，,3()是应力张量的切向部分和非牛顿流部分，,p是流体的正压力函数，,12Tuuu 是流体的应变张量，,(,)Qu给定的双线性项如下：,(,)()Qubuu，其中T,12uu 表示流体的涡度张量,是速度梯度的反称部分，并且 1,1b.参数,收稿日期：2023-05-31 基金项目：国家自然科学基金面上项目（11971357）；广东省自然科学基金面上项目（2023A151501010213）作者简介：郭冬仪（1998），女，广东揭阳人，在读硕士生，研究方向为偏微分方程的理论及其应用；黄金锐，教授，博士，博士生导师，通信作者，研究方向为 Navier-Stokes 方程、Landau-Lifshitz方程、向列型液晶的数学模型等非线性偏微分方程等.五邑大学学报（自然科学版）2023 年 2 和满足,0,0 .在不丧失一般性的前提下，假设,1.近 年 来，Oldroyd-B 系 统 的 数 学 分 析 引 起 了 人 们 的 广 泛 关 注.Elgindi 和 Rousset1在10,10000(,)(,)HBu 小初值条件下证明了速度方程中0且无流体耗散(0)的二维正则解的全局存在性，其中00curlu.随后，Elgindi 和 Liu2 在3H范数小初值条件下对三维情形整体适定性进行了研究.而对于张量方程中0且没有耗散时的三维情形，即0，Fang-Zhang-Zi3证明了该系 统在 临界 Besov 空 间中 存在唯 一的 整体 解.对于无阻 尼的 情形，即0，Zhu4在3100|(,)Hu小初值条件下构造加权能量不等式证明了三维整体解的存在性.受先前工作的启发，本文计划研究包含单侧粘性消失极限的数学机制：情形 I：0且0；情形 II：0和0.本文的主要困难是耗散项缺失.为了补充耗散，下文引入如下辅助算子.将 Leray 投影算子应用于式（1）的第一个方程和算子div?应用于式（1）的第二个方程，得到,.divdivdivdivdivdiv(,)2ttuuuuuQuu （2）然后，将11()应用于式（2）的第二个方程，表示为,1,div （3）将式（2）的线性部分和非线性部分组合重写如下,1,2,.2ttuuu （4）其中非线性项表示如下,1,1,12,divdiv(,).uuuQu （5）形式上，用0,0,0,0,(,)up表示当0时,(,)up的极限，则,0,0,0,0,1111(,)(,),uupp 同时，用,0,0,0,0(,)up表示当0时,(,)up的极限，且有,0,0,0,02222(,)(,).uupp 并且,(,)iiii满足：,0,0.,0,112,0,0,0,212,0,0,12div,(,),tiiiiiiiiitiiiiiiiiiiiiiuuuuuuQQuu （6）和,0,0,0,112,01,0,0,2121,0,012,2divdiv(,)tiiiiiiiitiiiiiiiiiiiiuuuuuuQQuu ,.i （7）其中1,2i，ij是 Dirac 函数，对ij有1ij而对于ij有0ij，且,i满足不可压缩条件.第 37 卷 第 4 期 3 郭冬仪等：不可压缩 Oldroyd-B 系统的粘性消失极限 2 主要结果 本文首先介绍文献5中适定性结果.引理 15 假设,331300(,)()()uHL，存在足够小的正常数0，使得3333,000()()HHu，则系统（1）存在唯一强解,3333(,)(0,);()()uCHH，且对于任意0t，满足时间衰减率：2237,3,42411(,)()(1),0,1,2,(,1.)()()kkLLutCtkutCt （8）对于情况 I（或情况 II），0取决于（或）和其他一些已知常数，但与（或）和t无关，而常数1C 可能取决于31,00(,)HLu和（或），但与（或）和t无关.下面介绍本文的主要结果.定理 1 对于情形 I，若2,2112,(0)HC，则关于粘性系数的收敛速度有：221,2,2,211130()()()dtHHHtsssC，（9）23,2,21130()()dtHHtssC，（10）同时，对于情形 II，若2,2222,(0)HC，则关于粘性系数的收敛速度有：22,2,22230()()dtHHtssC，（11）222,2,2,222230()()()d tHHHtsssC，（12）其中常数3C 仅取决于1C 和2C.证明 首先给出系统能量的先验估计：将(0,1,2)kk应用于式（6），然后将式（6）的第一个方程乘,ki和将式（6）的第二个方程乘,ki，通过分部积分和对指数k求和可得 22222,2,2,2,2,21 d2 diiiiiHHHHHt 220,100,kkkkiiiikkuu 20,0,120,kkiiiikuu 22,0,200,?,kkkkiiiikk 220,0,1200,(,),kkkkiiiiiikkuuQ 280,0,1201,.kkkiiiikkQuu?（13）其中利用了分部积分和如下的由,i的对称性产生的抵消结构：,div.kkkkiiii （14）接下来开始逐项地估计k.首先，根据不可压缩条件、对流结构和引理 1 可得 36 20,0,0,0,12120,kkkiiiiiiikuuuu 五邑大学学报（自然科学版）2023 年 4 20,0,0,0,12120,kkkiiiiiiikuuuu 126320,0,20,0,1212iiiiiiiiLHHLLHuuuu 126320,0,20,0,1212iiiiiiiiLHHLLHuuuu 225,2,241()(1),iiHHCt （15）在本文中，用“”表示“C”，其中常数C是由 Young 不等式和 Sobolev 不等式产生的常数.利用 Hlder 不等式、交换子的估计和引理 1，可以得到 258 222,iiiLHLHHuu 222,iiiLHLHH 2220,0,0,0,1212iiiiiiiLHLHHuuuu 225,2,241()(1).iiHHCt （16）进一步，通过使用分部积分、Hlder 不等式以及 Young 不等式，可以得到 2222,24,20,2,0 2112121.4iiiiiiHHHHCu （17）最后，注意到,1,12,77,17,21(,),(,),(,.)kkiikkiiiikQQQ （18）利用 Hlder 不等式和 Sobolev 不等式1LHff，可得 22225,2,247,11(1).iiiiLLLHHCt （19）将7,2分两种情形进行讨论，对于情形 I：7,2 632222,2,2,3,11111LLLLLLLL 2225,21,2,2211111(1),4HHHCt （20）对于情形 II：225,2112,227,22121(1)4.HHCt （21）综上，将以上估计与式（13）相结合，得出对于情形 I：22222,2,2,2,2,2111111 d112 d22HHHHHt 22250,21,2,24111(1),HHHCuCt （22）对于情形 II：22222,2,2,2,2,2222221 d112 d22HHHHHt 2225,0 2112,2,24122(1).HHHCCt （23）以上为系统能量的先验估计，以下为对耗散的补充.由式（7）可得 第 37 卷 第 4 期 5 郭冬仪等：不可压缩 Oldroyd-B 系统的粘性消失极限 222221,2,2111,2kkkktiiiiLLkkk ,1 0,1220,1,1,111,kkkkiiikkkkiiiikkuu ,1,0,0122,0,0,1,121,kkiiiiikkiiiiikuuuuuu 2221,0,1,1,2111,kkkkkkiiiiiikkk 22,0,0,121div,kkiiiiikuu 282,0,0,1211div(,),.kkiiiiinknQQuuJ （24）通过使用 Hlder 不等式和交换子估计，得到 225,2,2413|(1)iiHHJCt，（25）225,2,24781|(1).iiHHJJCt （26）进一步，利用 Hlder 不等式，得到 146|JJJ 11111111,21 220,2,212,2111,2122,0 2,212,2222,1;24,2.88HHHHHHHHCuCiCCi （27）从 Cauchy 不等式和 Young 不等式中得出 1111,2,222,222,225|.iiiiHHHHJJ （28）综上，得到 222221,2,21111111,24kkkktLLkkk 22115,2,21 220,212,241111(1)HHHHCtCuC 1122,222,211,HHCC （29）和 222221,2,22222111,24kkkktLLkkk 22115,2,2122,0 212,241222(1)HHHHCtCC 1122,222,222.HHCC （30）最后，得到扰动方程的总能量：222,2,2,21111d()d22HHHtt 2222,2,211111124kkLLkk 22250,21,2,241111(1)HHHCuCt 11111 220,212,222,222,2111111,HHHHCuCC （31）五邑大学学报（自然科学版）2023 年 6 和 222,2,2,22222d()d22HHHtt 2222,2,211221124kkLLkk 2225,0 2112,2,241122(1)HHHCCt 1122,0 21HC 11112,222,222,212122.HHHCC （32）其中2222,2,21,2111(),=(,)2kkiiiiiiiHHHktO.选择合适的1，当1i 时，1仅取决于,和；当2i 时，1仅取决于,和，有 22222,2,2,2,21111111()d4428dkHHHLktt 22250,21,2,24111(1),HHHCuCt （33）和 222,2,2,22222()d44d2HHHtt 2225,0 21,2,24122(1).HHHCCt （34）根据 Gronwall 不等式和引理 1，可以得到 22,2,211100()()d()d44ttHHtssss 11,2,211100()d()d28ttHHssss 210,21130exp(0)()dtHCussC.?（35）类似地，221,2,2,222223000()()d()d()d.442tttHHHtssssssC （36）定理 1 证毕.参考文献 1 ELGINDI T M,ROUSSET F.Global regularity for some Oldroyd-B type models J.Comm Pure Appl Math,2015,68(11):2005-2021.2 ELGINDI T M,LIU J L.Global wellposedness to the generalized Oldroyd type models in R3 J.J Differential Equations,2015,259(5):1958-1966.3 ZI R Z,FANG D Y,ZHANG T.Global solution to the incompressible Oldroyd-B model in the critical Lp framework:the case of the non-small coupling parameter J.Arch Ration Mech Anal,2014,213(2):651687.4 ZHU Y.Global small solutions of 3D incompressible Oldroyd-B model without damping mechanism J.J Funct Anal,2018,274(7):2039-2060.5 HUANG J R,WANG Y H,WEN H Y,et al.Optimal time-decay estimates for an Oldroyd-B model with zero viscosity J.J Differential Equations,2022,306:456-491.责任编辑：韦 韬