计算方法拉格朗日插值.doc

2012~ 2013学年第 2学期 计算方法 教案 计1101/02，1181 开课时间：2012-02
第二章 插值法
知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，误差，龙格现象，分段插值。
1.背景
实践活动中，表现事务变化的信息往往只是一些离散点值，例如 每个6小时记录一次温度，以此反映一天的气温变化状况，如下表图
时间/时
温度。C
0
24.3
6
23.8
12
31.5
18
31.0
24
25
34
32
30
28
26
24
22
20
时间（时）
温度（。C）
0
6
12
18
—
—
—
—
10时的气温是多少？

能从已知这些离散点值信息知道10时的气温是多少吗？如果能通过这些离散点值找到气温变化的规律，也就是说能找到一个反映气温变化规律的“原”函数，就可以知道10时的气温是多少。但我们能采集到的信息只有这些离散点值，时常给不出反映气温变化规律“原”函数的解析表达式，怎么办？通常可以用近似的办法解决这个问题，办法是构造一个通过所有离散点值的“近似”函数，用这个“近似”函数逼近“原”函数。如图
34
32
30
28
26
24
22
20
时间（时）
温度（。C）
—
—
—
—
10时的气温是多少？
“近似”函数
“原”函数
0
6
12
18

构造这个“近似”函数的方法称为插值方法。

2.概念
实际问题中，能采集到的信息只是一些离散点值{xi,f(xi)}(i=0,1,2,…n)，时常给不出一个函数f（x）的解析表达式，因之，转而考虑选择一个简单的函数j（x）近似替代（原来）f（x）。
定义：设f（x）为定义在区间[a，b]上的函数，x0,x1,…,xn为[a，b]上的互异点，yi=f（xi）。若存在一个简单函数j（x），满足
（插值条件）j（xi）=f（xi），i=0，1，…，n。
则称 j（x）为f（x）插值函数，f（x）为被插函数,点x0,x1,…,xn为插值节点,点{xi,f(xi)},i=0,1,2,…n为插值点。
若用j（x）≈f（x），则计算f（x）就转换为计算 j（x）。
插值需要解决：插值函数是否存在唯一；插值函数如何构造；插值函数与被插函数的误差估计和收敛性。
对插值函数的类型有多种不同的选择，代数多项式pn(x)常被选作插值函数 j（x）。
P23(2.18)和(2.19)指出，存在唯一的满足插值条件的n次插值多项式pn(x)。但是需要计算范德蒙行列式，构造插值多项式工作量过大，简单表达式不易得到，实际中不采用这类方法。
pn(x)≈¦(x)
被插函数： ¦(x)
j(x)=pn(x)：插值函数
M0
M1
Mn

拉格朗日（Lagrange）、牛顿（Newton）等分别给出了不同的解决方法。
3．拉格朗日插值
插值法是一种古老的数学方法，拉格朗日（Lagrange）插值的基本思想是把插值多项式pn(x)的构造问题转化为对n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
(1)线性插值
①构造插值函数
已知函数y=f(x)的两个插值点(x0,y0)，(x1,y1)，构造多项式y=p1(x)，使p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为

B
A
x1
y=f(x)
y=p1(x)
x0
y1
y0

则p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1≈f(x)，满足：
l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，p1(x0)=y0，p1(x1)=y1。
插值完毕！
这种插值方法称作为拉格朗日插值，l0(x)，l1(x)称为点x0、x1的线性插值基函数，插值函数p1(x)是这两个插值基函数的线性组合，相应的多项式称拉格朗日线性插值多项式，记作L1（x），即L1（x）≈f(x)。
②误差
设L1（x）为插值点(x0,y0)，(x1,y1)的插值函数,f(x0)=y0,f(x1)=y1,f(x)一阶连续可导,二阶导数存在.则对任意给定的x∈[a,b],存在一点ξ∈[a,b],使

引进辅助函数,利用洛尔定理即证，见P17定理2.1。
(2)二次插值
①构造插值函数
给定三个点{xi,f(xi)},i=0,1,2,其中xi互不相同，构造函数f（x）的二次插值多项式L2（x），满足：L 2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2。
通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。仿线性插值，用插值基函数构造插值多项式。

x0
x1
x2
y2=f(x2)
L2(x)
f(x)
y1=f(x1)
y0=f(x0)

令
L2（x）=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2
待定函数li(x)应是二次函数，满足约束条件
li(xi)=1，li(xj)=0（i≠j），i，j=0，1，2。
此设l0(x)=A(x-x1)(x-x2)，l1(x)=B(x-x0)(x-x2)，l2(x)=C(x-x0)(x-x1)。根据约束条件确定系数

由此得

②误差

证明见P22定理2.2。
(3)一般情况
两个插值点可求出一次插值多项式L1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式L2(x)。当插值点增加到n+1个时，利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式Ln(x)。详细说明见P22-24，（2.20），（2.21）至（2.24）。
(4) 例子
设sin11°=0.190809，sin12°=0.207912，sin13°=0.224951，计算sin11°30ˊ。
解：（1）线性插值计算

插值：L1(11.5)=0.199361≈sin11°30ˊ
误差

（2）二次插值计算

L2(11.5)=0.199369.
(5)关于Langrange插值的几点说明
Ln(x)仅与已知数据(xi,yi),(i =0,1,…,n)有关，与f(x)的原来形式无关，但余式与f(x)密切相关。
若f(x)本身是一个不超过n次多项式，则Rn(x)=0,即Ln(x)≡f(x).
内插（x位于x0,x1,…,xn之间）误差较小，外插有可能误差变大，慎用!
插值点的增减,基函数要重新计算,很不方便!插值节点过多其精度不一定很好；limLn(x)=f(x)(x∈[a,b])一般不成立.
5
《计算方法引论》、徐翠薇，高等教育出版社 2008年4月第三版 第二章 插值法 2h