自动控制原理课程设计第5题.doc

清华大学《自动控制原理》课程设计说明书

课程设计任务书

学生姓名： 陈智 专业班级： 自动化0801班
指导教师： 张立炎 工作单位： 自动化学院
题 目: 用MATLAB进行控制系统的滞后校正设计。
初始条件：已知一单位反馈系统的开环传递函数是

要求系统的静态速度误差系数，。
要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
1、 用MATLAB作出满足初始条件的K值的系统伯德图，计算系统的幅值裕量和相位裕量。
2、 系统前向通路中插入一相位滞后校正，确定校正网络的传递函数。
3、用MATLAB画出未校正和已校正系统的根轨迹。
4、课程设计说明书中要求写清楚计算分析的过程，列出MATLAB程序和MATLAB输出。说明书的格式按照教务处标准书写。
时间安排：
任务
时间（天）
审题、查阅相关资料
1
分析、计算
1.5
编写程序
1
撰写报告
1
论文答辩
0.5

指导教师签名： 年 月 日

系主任（或责任教师）签名： 年 月 日
目录

1 滞后校正系统的设计系统滞后校正设计方案 1
1.1 设计原理 1
1.2 设计步骤 2
2 设计串联滞后校正 3
2.1 校正前参数确定 3
3 系统前向通路中插入一相位滞后校正 4
3.1 确定校正网络的传递函数 4
3.2 应用MATLAB进行验证 6
3.3 波特图的理论绘制 7
3.4 用MATLAB进行设计 8
4 画出未校正和已校正系统的根轨迹 10
4.1 用MATLAB画出未校正系统和已校正系统的根轨迹 10
4.2 根轨迹的理论作图步骤 11
5 设计总结 12
6 收获与体会 13
参考文献 15

1 滞后校正系统的设计系统滞后校正设计方案
1.1设计原理
所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。系统校正的常用方法是附加校正装置。按校正装置在系统中的位置不同，系统校正分为串联校正、反馈校正和复合校正。按校正装置的特性不同，又可分为超前校正、滞后校正和滞后-超前校正、PID校正。
这里我们主要讨论串联校正。一般来说，串联校正设计比反馈校正设计简单，也比较容易对信号进行各种必要的形式变化。在直流控制系统中，由于传递直流电压信号，适于采用串联校正;在交流载波控制系统中，如果采用串联校正，一般应接在解调器和滤波器之后，否则由于参数变化和载频漂移，校正装置的工作稳定性很差。
串联超前校正是利用超前网络或PD控制器进行串联校正的基本原理，是利用超前网络或PD控制器的相角超前特性实现的，使开环系统截止频率增大，从而闭环系统带宽也增大，使响应速度加快。
在有些情况下采用串联超前校正是无效的，它受以下两个因素的限制：
1）闭环带宽要求。若待校正系统不稳定，为了得到规定的相角裕度，需要超前网络提高很大的相角超前量。这样，超前网络的a值必须选得很大，从而造成已校正系统带宽过大，使得通过系统的高频噪声电平很高，很可能使系统失控。
2) 在截止频率附近相角迅速减小的待校正系统，一般不宜采用串联超前校正。因为随着截止频率的睁大，待校正系统相角迅速减小，使已校正系统的相角裕度改善不大，很难得到足够的相角超调量。
串联滞后校正是利用滞后网络或PID控制器进行串联校正的基本原理，利用其具有负相移和负幅值的特斜率的特点，幅值的压缩使得有可能调大开环增益，从而提高稳定精度，也能提高系统的稳定裕度。
在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下，可以考虑采用串联滞后校正。此外，如果待校正系统已具备满意的动态性能，仅稳态性能不能满足指标要求，也可以采用串联滞后校正以提高系统的稳态精度，同时保持其动态性能仍然满足性能指标要求。
滞后校正装置的传递函数为:
（1-1）
它提供一个负实轴上的零点和一个负实轴上的极点。零、极点之间的距离由值决定。
由于<1，极点位于零点右边，对于s平面上的一个动点，零点产生的向量角小于极点产生的向量角，因此，滞后校正装置总的向量角为负，故称为滞后校正。
1.2 设计步骤
所研究的系统为最小相位单位反馈系统，则采用频域法设计串联无源滞后网络的步骤如下：
1） 根据稳态速度误差的要求，确定开环增益K；
2） 利用已确定的的开环增益K，在校正前系统的对数频率特性波特图上，找出相角为（）=的频率作为校正后系统的截止频率，其中，为要求的相角裕度，为补偿滞后校正在上产生的相位滞后，一般取；
3） 在未校正系统的波特图上取(或由20lg求取)的分贝值，根据下述关系式确定滞后网络参数(<1)和T：
20lg=（） （1-2）
= （1-3）
式（1-2）中，在处，设计滞后校正的幅值与原系统的幅值反向相等才能相互抵消，使校正后系统的截止频率为。
4） 验算已校正系统的相角裕度和幅值裕度h。
2 设计串联滞后校正
2.1校正前参数确定
1.已知一单位反馈系统的开环传递函数是：

要求系统的静态速度误差系数，。
由已知的单位反馈系统的开环传递,有如下计算：

故有，
2. 接下来用MATLAB求出系统校正前的幅值域度和相角裕度，并画出波特图：
在MATLAB中输入：
G=tf(100,[0.02 0.3 1 0]); [kg,r]=margin(G)
margin(G)
MATLAB得出的结果如下：
Transfer function:
100
----------------------
0.02 s^3 + 0.3 s^2 + s
Warning: The closed-loop system is unstable.
kg = 0.1500
r =　　-40.4367

运算得出的波特图：

图 2-1 校正前系统的波特图
由图可以看出幅值裕度h(h=20lgkg)和相角裕度γ小于零，且γ负值较大，因此该系统不稳定，需要串联一个滞后校正环节进行校正，使系统趋于稳定。
3 系统前向通路中插入一相位滞后校正
3.1确定校正网络的传递函数
在系统前向通路中插入一相位滞后校正，确定校正网络的传递函数如下，
由= -(180°--ε)，式中ε一般取5°～10°，而为题目要求的系统校正后的相角裕度，所以为
=-90°-arctan-arctan

图3-1 校正前波特图上求取
则可以在上面得出的波特图中找到，=2.74rad/sec。
根据式（1-9）和式（1-10）确定滞后网络参数和T：
20lg==20lg
=0.1
得出==0.032, T=112.66；
在知道了和T后则可以确定校正环节的传递函数： 即为 ：
则校正后的传递函数为：

=

3.2应用MATLAB进行验证
>> G=tf(100*[3.61 1], conv([0.02,0.3,1,0],[112.66,1]))
[kg,r]=margin(G)
margin(G)
得到的MATLAB结果是：
Transfer function:
361 s + 100
-----------------------------------
2.253 s^4 + 33.82 s^3 + 113 s^2 + s
kg = 4.3042
r = 40.5160
系统校正后的波特图：

图3-2 系统校正后的波特图
由上面得出的数据可以看出，在串联了一个滞后校正环节后，系统稳定，满足，增益裕度不小于10分贝。
3.3 波特图的理论绘制
波特图由两幅图组成。一幅是对数幅频特性，横坐标是频率ω，但是是以对数分度，纵坐标是幅频特性的分贝值即20lg，表明了幅频特性与频率的关系。另一幅是对数相频特性图，横坐标的值是频率ω，也是对数分度，纵坐标为相角线性分度，表明了相频与频率的关系。
1.根据校正前的开怀传递函数化为：，
1) 由波特图标准型知，开环传递系数Ｋ=100，转折频率；
2) 绘制对数坐标，并将各个转折频率标注在坐标轴上；
3) 确定低频段：因为存在积分环节，所以对数幅频特性的低频段是-20dB/dec的斜线，且对于ν型系统的对数幅频特性的低频段特性：
（K/^ν）即K=^ν10^(/20)
则过点（100,0），即可确定低频段。
4) 将低频段延伸到第一个转折频率处，因为是惯性环节的转折频率，所以，开环对数幅频特性的渐近线下降20dB/dec，即-40dB/dec ；再延伸到第二个转折频率处，因为也是惯性环节，所以再下降20dB/dec，即-60dB/dec。
5) 绘制相频特性：绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加，一般在各个转折频率处进行叠加。
6) 修正对数幅频特性。
2.根据校正后的开环传递函数，化为
，则与1.同理：
1) 确定开环传递系数Ｋ=100，转折频率 ，；
2) 绘制对数坐标，并将各个转折频率标注在坐标轴上；
3) 确定低频段：因为存在积分环节，所以对数幅频特性的低频段是-20dB/dec的斜线，同过点（100,0），即可确定低频段；
4) 将低频段延伸到第一个转折频率处，开环对数幅频特性的渐近线下降20dB/dec；再延伸到第二个转折频率处，因为是一阶微分，所以上升20dB/dec；再依次延伸到第三、四个转折频率分别下降20dB/dec；
5) 绘制相频特性：绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加，一般在各个转折频率处进行叠加；
6) 修正对数幅频特性。
3.4用MATLAB进行设计
MATLAB中建立M文件，程序如下：
no=100;
do=[0.02 0.3 1 0];
syso=tf(no,do);
bode(syso);
[gmo,pmo,wgo,wpo]=margin(syso)
[kg,r]=margin(syso)
%需加滞后校正环节Gc（s）=（bTs+1）／（Ts+1）计算已校正系统截止频率wc’
gama=40;
gama0=-(180-gama-6);
[mu,pu,w]=bode(syso)
wc=spline(pu,w,(gama0)) %根据己知的pu，w，用样条函数插值出xi处的值
%计算b
na=polyval(no,j*wc);% 计算多项式的值
da=polyval(do,j*wc);
g=na/da;
g1=abs(g);
h=20*log10(g1);%计算幅值裕度
b=10^(-h/20) ;
%计算校正环节
T=10/(wc*b);
sysc=tf([b*T,1],[T,1]) ;
sys=syso*sysc
hold on
bode(sys)
[gm,pm,wg,wp]=margin(sys)
[kg,r]=margin(sys)
计算结果为
wc = 2.7368
Transfer function:
365.4 s + 100
-------------------------------------
2.259 s^4 + 33.91 s^3 + 113.3 s^2 + s

gm = 4.2685
pm = 40.3491
wg = 6.7842
wp = 2.7471
校正前和校正后的波特图：

图3-3 校正前后波特图对比

——未校正前波特图（上面一条）
——校正后波特图（下面一条）

4 画出未校正和已校正系统的根轨迹
4.1 用MATLAB画出未校正系统和已校正系统的根轨迹
MATLAB画出：
系统校正前的根轨迹为
MATLAB程序为：
num0=[0 100]; %设置传递函数的分子
den0=[0.02 0.3 1 0]; %设置传递函数的分母
num1=[365.4 100];
den1=[2.259 33.91 113.3 1 0];
subplot(2,1,1);rlocus(num1,den1);title('校正后根轨迹图')
subplot(2,1,2);rlocus(num0,den0);title('校正前根轨迹图')
%应用rlocus函数绘制根轨迹

校正前后根轨迹如图4.1所示

图4-1 校正前后根轨迹图对比
4.2 根轨迹的理论作图步骤
1.对校正前开环传递函数：
1) 分母系数n=3,则根轨迹有3条分支。存在3个极点，分别为：0，-5，-10；
2) 求渐近线与实轴交点为,即为；与实轴正方向夹角为： （l=0,1,2,3……），即为；
3)分离点：,则有，解得=（其中=舍去）
4) 出射角：，∴=﹣π,0,π;
5) 与虚轴交点：将代入特征根方程：D(s)=0.02s^3+0.3s^2+s+k=0或有劳斯判据求取： s^3 0.02 1
s^2 0.3 k
s^1 1-k/15 0
s^0 k
则,此时对应的k=15，即与虚轴交点为。
2.对校正后的开环传递函数：
1) 同，根轨迹有4条分支；有零点；
2) 渐近线与实轴交点为：(-4.9,0j);与实轴正方向夹角：；
3) 分离点:令A(s)= ；B(s)=100(3.61s+1)
由,解得d= -0.262(舍), -2.13, -10.2（舍）；
4) 出射角：；入射角；
5) 与虚轴交点：将代入特征根方程D(s)= 2.259 s^4 + 33.91 s^3 + 113.3 s^2 + s+k（3.65s+1）=0或有劳斯判据求取，得,对应的k近似为423.7。
5 设计总结
设计在系统前向通路中插入一相位滞后校正装置，关键点在于求取校正后系统的截止频率，由以下滞后校正波特图，可知为使满足式子
20lg==20lg,和校正后＝180°＋＋ε（其中，式中ε一般取5°～10°）应满足题目对的要求。满足以上两式和=0.1，求得以及参数、，从而确定校正环节的传递函数。

图5-1 滞后校正波特图 图5-2 滞后校正无源装置

在前向通道中串联滞后校正系统前后对比：
1.由校正前后波特图对比（图3-3），可知校正前：kg0=0.1500，γ0=-40.4367；校正后：kg=4.3042,γ=40.5160，从而由此知在前向通道中串联滞后校正装置后，幅值裕度h=20lgkg和相位裕度γ的值，得到校正前系统h0<0,γ0<0，则开环传递函数为的原系统不是稳定的；而校正后系统h>0,γ<0，则开环传递函数为的校正后系统是稳定的。
2. 由校正前后根轨迹图对比（图4-1），可知校正后与校正前相比，根轨迹图上多了一个零点和一个极点，此外，通过对系统特征方程进行劳斯判据，判断系统的稳定性，从而求得开环增益K值的范围，校正前K值的范围为,而校正后K值的范围近似为,通过K值范围的扩大从而可知添加校正装置后提高了系统稳定性能。

6收获与体会
通过这次对控制系统的滞后校正设计的分析，让我对串联滞后校正环节有了更清晰的认识，同时也学会了公式编辑器的基本使用方法，加深了对课本知识的进一步理解。
在这次课程设计的过程中，真正地做到把理论运用于实际。通过查找资料以及复习课本，在设计中的问题得到了解决，在寻找答案的过程中，我加深了对平时上课时学到的知识的理解，也体会到将理论结合实际设计、分析的成就感，还使自己看到平时学习的漏洞，因为有一些看似不起眼的小知识点有时也是需要考虑的重点。
同时，这次课程设计让自己对Matlab软件的应用更加熟练，用它对控制系统进行频域分析，大大简化了计算和绘图步骤，计算机辅助设计已经成为现在设计各种系统的主要方法和手段，因此熟练掌握各种绘图软件显得尤为重要。在今后的学习中，需要发挥积极主动的精神，把所学知识与实践结合起来，努力掌握Matlab等相关软件的使用方法。
在这次课程设计过程，也让我深深地体会团队精神的重要性。从课程设计的入手到最后分析，对于一个人来说可能是个不小的挑战，注意到每个细节更是不易，遇到问题和班上的同学一起讨论，使各种难题得到了解决。
通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，仅有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正为社会服务，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。在设计过程中遇到的问题是很多的，但我想难免会遇到这样或那样的问题，同时在设计的过程中发现了自己的不足之处，对以前所学过的知识理解得不够深刻，掌握得不够牢固……通过这次课程设计之后，一定把以前所学过的知识重新温故。
参考文献
[1] 王万良.自动控制原理.高等教育出版社.2008年
[2] 胡寿松.自动控制原理.科学出版社.2000年
[3] 胡寿松.自动控制原理同步辅导及习题全解.中国矿业大学出版社.2006年
[4] 薛定宇.控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言及应用. 清华大学出版社.1996年
[5] 潘丰.自动控制原理.中国林业出版社.2006年
[6] 曹戈. MATLAB教材及实训.机械工业出版社.2008年
[7] 楼顺天.基于MATLAB的系统分析与设计.西安电子科技大学出版社.1999年
[8] 张志涌.精通MATLAB6.5.上海交通大学出版社.2002年
[9] 龚剑.MATLAB入门与提高.清华大学出版社.2003年
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