第四章三 角 函 数.doc

第四章 三 角 函 数

学案1 任意角的三角函数

1.了解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.
2.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.

三角函数的概念是三角函数的基础，也是高考对于基础知识和基本技能考查的重要内容之一，试题经常出现且多为选择题、填空题.难度一般不大，主要考查角的范围判定、角的范围的表示、三角函数值的符号、求三角函数值.

1.角的概念和弧度制
（1）角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 .旋转开始时的射线叫做角α的 ；旋转终止时的射线叫做角α的 ；射线的端点叫做角α的 .
（2）在直角坐标系内讨论角
①角的顶点在原点，始边 ，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角（或说这个角属于第几象限）.
②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫 .
（3）写出与α角终边相同的角的集合：

（4)弧度角的定义为 .
（5）弧度与角度的换算
360°= 弧度；180°= 弧度;
1弧度=≈ ＝ .
（6）弧长公式、扇形面积公式
ｌ= ;
S扇形＝lr= .
2.任意角的三角函数
（1）任意角的三角函数定义
设α是一个任意大小的角，角α的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r= >0)，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是
sinα= ,cosα= ,tanα= ,cotα= ,secα= ,cscα= ;
正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数.
（2）sinα,cosα,tanα的定义域分别为 , , ;值域分别为 ， ， .
（3）sinα,cosα,tanα在各个象限内的符号分别为(用“+”或“-”号填空)α在第一象限时， ， ， ；α在第二象限时， ， ， ；α在第三象限时， ， ， ；α在第四象限时， ， ， .

考点1 终边相同的角
［例1］写出终边在函数y=x的图象上的角的集合S.
函数y=x的图象是一条直线(一、三象限的角平分线），而角的终边是一条射线，故应分别求出，再求其并集.
在0°到360°范围内，终边在函数y=x的图象上的角有两个，即45°和225°，因此，所有与45°角终边相同的角构成集合：
S1={β|β=45°+k·360°，k∈Z}
={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}.
而所有与225°角终边相同的角构成集合：
S2={β|β=225°+k·360°,k∈Z}
={β|β=45°+(2k+1)·180°，k∈Z}.
于是，终边在函数y=x图象上的角的集合：
S=S1∪S2
={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°，k∈Z}
={β|β=45°+n·180°，n∈Z}.

终边在某条直线上角的集合写法：首先在0°~360°范围内找两个角分别在其两条射线上，再由终边相同的角的集合写法得到两个集合，最后取并集.

集合A={α|α=(4n+1)·180°+45°,n∈Z}和集合B={β|β=(2n+1)·180°+45°,n∈Z}，则（ ）
A.A=B B.A B
C.AB D.A∩B=
考点2 象限角
［例2］已知α为第一象限角，试确定是第几象限角.
分析一：用不等式法确定的范围，然后判断象限.分析二：用单位圆法.
解法一：因为α为第一象限角，所以2kπ<α<2kπ+，则kπ<<kπ+.
当k=2n时，2nπ<<2nπ+,所以为第一象限角；当k=2n+1时，2nπ+π<<2nπ+，所以为第三象限角.以上各式均有k∈Z,n∈Z.所以为第一、三象限角.
解法二：将单位圆平均分为2×4=8份，如图所示，按一、二、三、四且是逆时针顺序得到阴影部分所示的象限，就是所在象限，即在一、三象限.

单位圆法简单易操作，要牢记.而不等式法则是这类问题常用的方法，讨论象限时，应将k分类讨论.解这类问题时，要注意象限角的定义和象限角的表示.

若sinθcosθ>0，试确定θ所在的象限.

考点3 任意角的三角函数定义
［例3］已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x,求sinα+cotα的值.
先根据任意角三角函数的定义求x，再求sinα+cotα的值.
∵P(x,- )(x≠0),
∴P到原点距离r=，又cosα=x,
∴cosα=.
∵x≠0,∴x=±,∴r=2.
当x=时，P点坐标为(,-).
由三角函数定义，有sinα=-,
因此cotα==-,
∴sinα+cotα=--=-;
当x=-时，同样可求得sinα+cotα=.

从本题可看出，三角函数的大小与P点的位置无关，其原因是利用了三角形相似这一性质，还应特别注意r>0.

已知角α的终边上点P与A（m,n）（m≠0,n≠0）关于x轴对称.角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称.求的值.

［2011年高考课标全国卷］已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ= （ ）
A.- B.- C. D.

1.学习过程中一定要努力突破单一按角度制思考三角问题的习惯，力求能直接通过弧度来认识任意角.从记熟常用特殊角的弧度数开始,对任意角三角函数的定义的理解可以比照锐角三角函数的定义去进行,重在掌握两者间的某种联系,分清它们之间的根本区别.
2.学习本学案内容需注意的问题：
(1)角度与弧度不能混用.
(2)在写角的集合时，k∈Z不要忘记.

1.根据角的终边所在的象限，定义象限角时，需要注意的是：①并不是所有的角都一定是某象限角，如α=-90°；②任意角β都可以表示成β＝k·360°+α,其中0°≤α<360°,k∈Z，并且α与β的终边相同，由此来确定角β所在的象限.
2.根据定义，有角度与弧度的互换关系：角度化为弧度，只需将角α乘以；弧度化为角度，则只需将α乘以.
3.根据三角函数的定义可知：①一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角α与β=2kπ+α(k∈Z)的同名三角函数值相等；②|x|≤r,|y|≤r，故有|sinα|≤1,|cosα|≤1，这是三角函数中最基本的一组不等关系.
4.在计算或化简三角函数关系式时，常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答这类问题时要三思而行：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些？

1.若sinα＜0且tanα＞0,则α是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.已知α为第三象限的角,则所在的象限是( )
A.第一或第二象限 B.第二或第三象限
C.第一或第三象限 D.第二或第四象限
3.如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是 ( )
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}
4.若点A（x,y）是300°角终边上异于原点的一点，则yx等于 ( )
A. B.- C. D.-
5.若角α的终边经过点P（1，-2），则tan2α的值为 .
6.若点P（m,n)（n≠0)为角600°终边上一点，则mn= .
7.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是 .
8.设θ为第三象限角，试判断的符号.

复习至此，请做课时作业19 任意角的三角函数

学案2 同角三角函数的基本关系式及正、余弦的诱导公式

掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.

高考中本学案主要考查利用公式进行恒等变形，以及学生的基本运算能力，特别突出算理、算法的考查.重点考查基本知识和方法,题目不超过中等难度.

1.同角三角函数之间的三个基本关系式是 ， ， .
2.正弦、余弦的诱导公式：
α
-α
π-α
π+α
2π-α
α+2kπ
(k∈Z)

sinα

cosα

考点1 同角三角函数关系式的应用
［例1］（1）已知sinα=,且α为第二象限角，求tanα；
（2）已知sinα=，求tanα；
（3）已知sinα=m(m≠0,m≠±1)，求tanα.
三个问题的区别有二：一是角α是否给出象限的问题；二是α的正弦值是字母还是数值的问题.
（1）∵sinα=，α为第二象限角，
∴cosα=- =-=-
∴tanα=.
（2）∵sinα=>0,
∴α为第一或第二象限角.
当α为第一象限角时，cosα==,
∴tanα=;
当α为第二象限角时，由（1）知，tanα=-.
（3）∵sinα=m(m≠0,m≠±1),
∴cosα=±=± (当α为一、四象限角时取正号，当α为二、三象限角时取负号).
∴当α为一、四象限角时,tanα=;
当α为二、三象限角时，tanα=-.

已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分成三种情况：
（1）一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上都是已知的，此类情况只有一组解.
（2）一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上没有给出（如本题），解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上，然后分不同的情况求解.
（3）一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，或用一个角的某一个三角函数值来表示这个角的其他三角函数，此类情况需对字母进行讨论或对角α所在的象限进行讨论，并注意对分类标准适当选取，一般有两组解.

已知α为锐角，且 tanα=，求的值.

考点2 同角三角函数关系式的灵活应用
［例2］已知sinθ+cosθ=(0＜θ＜π),求tanθ的值.
考虑tanθ=,从而由已知条件分别求出sinθ和cosθ,再由sinθ,cosθ的值求出tanθ.主要考查同角三角函数的基本关系式的运用.
解法一：将已知等式两边平方，得
sinθcosθ=-,
∴＜θ＜π,
故sinθ-cosθ=
= =.
解方程组
得sinθ=,cosθ=.
∴tanθ==.
解法二:由sinθ+cosθ=,且sinθcosθ=-,并注意到sinθ＞0,cosθ＜0,
设以sinθ,cosθ为根的一元二次方程为
x2-x-=0，解得x1=sinθ=,x2=cosθ=.
故tanθ=s=.

本题的解决必须先充分挖掘题目中的隐含条件，即θ∈,否则，容易产生多解.另外，本题由sinθcosθ联系sinθ+cosθ和sinθ-cosθ，从而构造方程组，求解sinθ,cosθ的方法也值得注意.

已知sin(θ+kπ)=-2cos(θ+kπ),k∈Z,求：
（1）;
（2）sin2θ+cos2θ.

考点3 诱导公式的应用
［例3］化简tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan(63°+α)·tan(139°-β).
灵活运用诱导公式.
tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan(63°+α)·tan(139°-β)
=tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan［90°-(27°-α)］·tan［90°+(49°-β)］
=tan(27°-α)·tan(49°-β)·cot(27°-α)·［-cot(49°-β)］
=tan(27°-α)·cot(27°-α)·tan(49°-β)·［-cot(49°-β)］=-1.

当多个复合角出现时，应先观察各个角之间的内在联系，再利用诱导公式化简求值.

化简下列各式：
（1）
（2）sin690°·sin150°+cos930°·cos(-870°)+tan120°·tan1 050°.

［2011年高考大纲全国卷］已知α∈,sinα=，则tan2α= .

1.由一个角的一个三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围.
2.注意公式的变形应用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算,慎重确定符号.
3.另外几个常用的同角三角关系式：
secθ·cosθ=1，cscθ·sinθ=1，
sec2θ-tan2θ=1，csc2θ-cot2θ=1，
=cotθ.
4.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.

1.运用诱导公式的重点在于函数名称与符号的正确判断和使用，在运用同角关系的平方关系时，关键在于讨论角的范围.
2.进行三角函数式的恒等变形，要善于观察题目特征，灵活选择公式，通过三角变换达到化异为同的目的.
3.掌握三角变换的常见技巧：
（1）1的代换.
（2）sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个式子的值，可求其余二式的值，若已知sinα+cosα=p,sinαcosα=q,则可消去α，求出关系式 1+2q=p2.
（3）关于sinα,cosα的齐次式可化为关于tanα的式子.

1.已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（ ）
A.- B. C.- D.
2.若tanα=2,则的值为 ( )
A.0 B. C.1 D.
3.sin585°的值为 ( )
A.- B. C.- D.
4.已知△ABC中，cotA=-,则cosA= ( )
A. B. C.- D.-
5.若sinθ=-,tanθ＞0,则cosθ= .
6.已知α为第四象限角，且cosα=,求1+tan2α+的值.

复习至此，请做课时作业20同角三角函数的基本关系式及正、余弦的诱导公式

学案3 两角和与差的三角函数

1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

本学案内容是高考复习的重点之一，它是解决三角恒等变形问题的基础，也是研究三角函数图象与性质的基础，其主要题型有：（1）三角函数式的化简与求值；（2）三角函数式的简单证明，另外在研究三角函数图象与性质时，也常利用它对三角函数进行化简，进而研究三角函数的图象与性质，这部分知识的考查难度已较以前有所降低，复习时也应适当控制难度.历年高考中，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力和综合分析能力.

1.两角和与差的三角函数公式
sin(α±β)= ；
cos(α±β)= ；
tan(α±β)= .
2.二倍角公式
sin2α= ;
cos2α= = = ;
tan2α= .
3.半角公式
sin= ;
cos= ;
tan= = = .

考点1 和差公式的应用
［例1］(1)设α∈,若sinα=，求cos;
(2)求下列各式的值：
①tan15°+cot15°;
②cos-sin.
运用和角、差角公式进行计算.
(1)∵α∈,sinα=,
∴cosα=,
cos=2cosαcos-sinαsin
=.
(2)①解法一：tan15°+cot15°=
===4.
解法二：tan15°+cot15°=tan(45°-30°)
+= +
=+=+=+=4.
解法三：tan15°+cot15°=tan+
=+==4.
②cos-sin
=2
=2
=2sin=.

化简过程要注意公式的正用和逆用.

化简：（1）tan70°+tan50°-3tan50°tan70°;
（2）

考点2 辅助角公式的应用
［例2］不查表，计算-+64sin220°.
利用公式消去非特殊角.
原式＝+64sin220°
=+64sin220°
=+64sin220°
=32cos40°+64×=32.

对于形如asinα±bcosα的三角函数式的化简求值，往往需要通过提取公因式构造辅助角（主要为，，），然后逆用两角和与差的正、余弦公式化简，尤其是当系数中含有3时，一般都可运用辅助角公式.

已知函数f（x）=2cos2x+sin2x，x∈R.
（1）求f（x）的最大值及相应的x的取值集合；
（2）求f（x）的单调递增区间.

考点3 二倍角公式的应用
［例3］化简：（1）cos36°·cos72°;
（2）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°;
（3）cosα·cos·cos·cos·…·cos.
利用二倍角公式达到化简目的.
（1）cos36°·cos72°
=
== =.
（2）原式＝cos20°·cos40°·cos80°
=
==
=.
（3）原式分子、分母同乘以因式 ，然后逐次使用倍角公式解得
原式＝.

解的过程中反复地使用二倍角公式sin2α=2sinαcosα.要注意到凡是角是二倍角关系的余弦函数的连乘积问题时，可采用类似的方法解之.

化简：

［2011年高考浙江卷］若0＜α＜,-＜β＜0,cos=,cos=,则cos = （ ）
A. B.- C. D.-

1.要注意公式间的内在联系及特点，做题过程中，要善于观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用、逆用和变形应用，也应注意公式成立的条件.例如tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanαtanβ),1+cos2α=2cos2α,sin2α=等.
2.注意拆角、拼角技巧.例如2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=,=等.同时注意倍角的相对性.例如α是的倍角，3α是的倍角等.
3.求值常用方法：利用所学公式进行变换，使其出现特殊角或出现正负抵消或约分的情况.
4.已知某些函数值，求其他某些三角函数值，一般应先化简所求式子（或变化已知式），弄清所求量再求解，主要方法有：①消去法；②方程法；③比例性质法.
5.重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论，结合该函数的单调性.
6.辅助角公式
形如asinx+bcosx（a,b不同时为零）的式子引入辅助角变形为Asin（x+φ）的形式.这里A＝，sinφ=，cosφ=，φ由a和b确定.

1.给角求值问题，若所给角都是非特殊角，从表面来看是很难的,但仔细观察其非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题时,我们利用通过观察得到的关系,结合公式得解.
2.给值求值,要注意根据已知条件,判断式子的符号.

1.设sinα=( <α<π),tan(π-β)=,则tan(α-2β)= （ ）
A.- B.- C. D.
2.已知tan(α-β)= ,tanβ=-,且α,β∈(0,π)，则2α-β= （ ）
A. B.-, ,
C.- D. ,
3.已知角α在第一象限，且cosα=,则等于 （ ）
A. B. C. D.-
4.已知向量a=,1,b=（4，4cosα-）,若a⊥b,则sin等于 （ ）
A.- B.- C. D.
5.若=3,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)=.
6.若sin =, 则cos2θ= .
7.已知cos=,x∈.
(1)求sinx的值；
(2)求sin的值.

复习至此，请做课时作业21两角和与差的三角函数

学案4 三角函数的图象

理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω,φ的物理意义.

三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，高考对这部分内容的考查主要是三角函数的图象的变换和解析式的确定以及通过图象的描绘、观察、讨论函数的有关性质，题型设计以选择题、解答题的形式出现，属较容易的题.

1.y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象如图所示：

注：正弦函数、余弦函数图象的对称轴在最值点处.
2.“五点法”作y=Asin(ωx+φ),ω>0的图象
令x′=ωx+φ，转化为y=A·sinx′，作图象用“五点法”，通过列表、描点后作出图象.
3.图象变换

① y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+φ)
y=sinx y=Asin(ωx+φ)
② y=sinωx→y=sin(ωx+φ)
路径①：先平移|φ|个单位，再将各点横坐标缩短(ω>1时)或伸长(0<ω<1时)到原来的倍（纵坐标不变），再将各点纵坐标伸长（A>1时）或缩短(0<A<1时)到原来的A倍.
路径②：先伸缩后平移，注意平移量为
(ωx→ωx+φ=ω+).
两路径中的平移均贯彻φ>0左移，φ<0右移，即“+”向左，“-”向右.
4.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，x∈［0,+∞)在物理中的应用.
A—振幅T= —周期f== —频率ωx+φ—相位φ—初相.
5.图象的对称性
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象具有轴对称和中心对称性质.具体如下：
（1）函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=xk（其中ωxk+φ=kπ+,k∈Z）成轴对称图形.
（2）函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xj,0)（其中ωxj+φ=kπ,k∈Z）成中心对称图形.

考点1 三角函数的图象
［例1］已知函数y=2sin.
（1）求它的振幅、周期、初相；
（2）用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（3）说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经怎样的变换而得到.
熟悉三角函数图象的特征，掌握五点法作图及图象变换.
（1）y=2sin的振幅A=2，周期T==π,初相φ=.
（2）列出下表，并描点画出图象如图.
2x+
0

2π
x
-

y=sin
0
2
0
-2
0

（3）把y=sinx图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，然后把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin的图象.

作出正弦型函数图象以“五点法”最为方便，但必须清楚它的图象与正弦函数图象间的关系，即弄清楚正弦型函数的图象是怎样由正弦函数的图象经过几种变换得到的.要注意，虽然变换的顺序可以改变，但是在不同的变换顺序下，平移的单位可能不同.上题（3）也可做如下变换：将y=sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin2x的图象，然后把y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=sin=sin的图象，然后把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得y=2sin的图象.

设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间；
(3)在图中画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象.

考点2 三角函数图象的应用
［例2］已知函数y=sin2x+acos2x=sin(2x+φ)(其中tanφ=a)，在下列条件下分别求出实数a的值.
（1）函数的图象关于原点对称；
（2）函数的图象关于直线x=-对称.
以其函数的图象特征为突破口求解.
（1）由函数图象特征知，图象必过原点，
∴0=0+a,∴a=0.
（2）∵对称轴必经过函数的一个最值点，
∴ymax=
=
又ymax=,

∴=|a-1|,
即a2+1=(a2-2a+1),∴a=-1.

对于y=Asin(ωx+φ)而言，其对称中心的横坐标满足ωx+φ=kπ(k∈Z)，即对称中心为,0(k∈Z)，对称轴满足ωx+φ=kπ+(k∈Z),即对称轴方程为x= (k∈Z).

把函数y=sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于x=对称，则φ的最小值为
（ ）
A.π B.π

C. π D.以上都不对
考点3 由三角函数图象求解析式
［例3］如图所示，它是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),|φ|<π的部分图象，由图中条件，写出该函数的解析式.
利用图象特征确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式时，要用到下述几个结论：一是振幅A=(ymax-ymin)，即振幅表示振动量振动时离开平衡位置的距离.二是相邻两个最值点对应的横坐标之差，是一个单调区间的长度，为，由此可得出ω的值.而φ的值较难求，需结合所给条件选择恰当方法.
由图知A=5，由=-π=得T=3π,
∴ω=.此时y=5sin.
下面介绍怎样求初相φ.
解法一：（单调性法）
∵点(π,0)在递减的那段曲线上，
∴+φ∈ (k∈Z).
由sin=0得=2kπ+π,
∴φ=2kπ+(k∈Z).
∵|φ|<π,∴φ=.
解法二：（最值点法）
将最高点坐标代入y=5sin，得
5sin=5,
∴=2kπ+,
∴φ=2kπ+ (k∈Z).
又|φ|<π,∴φ=.
解法三：（起始点法）
函数y=Asin(ωx+φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由ωx+φ=0解得的.故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角φ.由图象易得x0=-.
∴φ=-ωx0=-=.
解法四：（平移法）
由图象知，将y=5sinx的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象.故所求函数解析式为
y=5sin=5sin.

比较以上四种方法不难发现，利用特殊点确定φ值时，关键是看这一点是对应于“五点法”作图中的哪一点.如利用（π,0）确定φ值时，它对应于“五点”中的第三点；利用确定φ值时，则对应于“五点”中的第二点.只有抓住图象的本质，才能快速求出φ值.

如图为电流强度I=Asin(ω t+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象（其中t表示时间，单位:s）.
（1）试根据图象写出I=Asin(ω t+φ)的解析式；
（2）为了使I=Asin(ω t+φ)中t在任意一段 s的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值-|A|，那么正整数ω的最小值是多少？

1.［2011年高考全国卷］设函数f(x)=cosωx(ω＞0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 （ ）
A. B.3 C.6 D.9
2.［2010年高考课标全国卷］如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为 ( )

1.在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少.
2.由图象确定函数解析式：
由函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定A，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，要善于抓住特殊量和特殊点.
3.对称问题：
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为（x,±A）的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期（或两个相邻平衡点间的距离）.

1.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx+φ=0,,π,,2π，即可得到绘图所需的五个点的坐标，其中x的取值依次成等差数列，公差为.同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx+φ的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.
2.图象变换
（1）平移变换：
①沿x轴平移，按“左加右减”法则；
②沿y轴平移，按“上加下减”法则.
（2）伸缩变换：
①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）为原来的倍（纵坐标y不变）；
②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍（横坐标x不变）.
（3）在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.
3.由f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一段图象，求此函数的表达式.在这类问题中，A比较容易求，困难的是求ω和φ，而一般由图象可知周期T，由T求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x0，令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π)即可求出φ.有时还可利用一些已知点（最高点和最低点）坐标确定φ和ω.若对A，ω符号或对φ范围有所需求，可用诱导公式变换，使其符合要求.

1.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
2.已知函数f(x)=sinω (x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
3.在同一平面直角坐标系中，函数y=cos (x∈［0,2π］）的图象和直线y=的交点个数是（）
A.0 B.1 C.2 D.4
4.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ= .

.设定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为 .
6.函数f(x)=2sin的图象为C,如下结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x=对称;
②图象C关于点对称;
③函数f(x)在区间内是增函数;
④由y=2sin2x的图象向右平移个单位可以得到图象C.
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求f(x)的值域.

复习至此，请做课时作业22 三角函数的图象

学案5 三角函数的性质

了解三角函数的定义域、值域；了解周期函数与最小正周期的意义，会求经过简单的恒等变形可化为y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)及y=Atan(ωx+φ)的三角函数的周期.了解三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题.

三角函数的性质（定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性）是历年考查的重点，常以选择题和填空题的形式来考查，题目小而活，难度保持稳定，并略有降低，也以解答题形式来考查三角变换和三角函数的性质.结合三角函数线和图象理解掌握基本三角函数的性质是解决问题的前提.

1.y=sinx的定义域为 ,值域为 ，最小正周期为 .
2.y=cosx的定义域为 ,值域为