血液库存管理模型及应用.docx

论文题目：血液库存管理模型及应用

论文作者1：李京南
论文作者2：

摘要：本文首先根据ARC的宗旨（以尽可能低的成本供应最高质量的血液制品），建立了多周期随机存储模型，利用迭代法求出最佳再订购点和最佳订购量，并对当前库存管理的做法进行了评估.然后根据材料建立ARC库存管理和控制改革模型，对ARC如何降低运营成本和提高服务水平提出了合理性建议——建立血库间的循环。最后我们把ARC的血液制品分为常规血型的血液制品和罕见血型的血液制品分别讨论，利用经济学中的需求价格关系得出定价策略对常规血型血制品而言，在一定程度上能有效控制库存水平的结论，然后以成本最小化为目标，令边际利润与边际成本相等，确定了最优的价格；对罕见血型的血液制品而言，定价策略则不能有效控制其库存量。

关键词：血液、多周期随机存储、库存管理、循环

教师评语：

论文合
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论文
作者1

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作者2

论文得分

备 注

一 问题的提出：

库存系统的研究目的是通过建立库存系统模型来确定库存策略(即何时订货和订货量) ，从而达到满足服务水平和控制库存费用的目标。 变质是库存系统中常见的现象，变质对库存策略的影响不容忽视。
血液是一种特殊的易变质物品。各地区血液中心都力图做到“自给自足”，血液库存系统具有如下特征：第一，由于血液对保障患者的生命健康至关重要，因而该系统管理的目标是在保障服务水平的前提下尽可能地降低库存费用，而不是单纯地使库存费用最小化。 第二，血液的需求不仅是随机的，而且季节性波动很大。 此外血液需求的构成比较复杂：不但包括日常有计划的手术用血，还有突发事件导致的紧急用血。 第三，订货量(血库意愿采血量) 和到货量(实际入库量) 一般并不一致，后者主要取决于献血员的主观意愿，因而到货量是随机且不可控的。
1.试根据ARC的宗旨建立数学模型并评估当前库存管理的做法。
2.试建立相应的数学模型并对ARC的库存管理和控制改革提些建议以降低成本或提高服务水平。
3.定价策略是否是控制库存水平的适当方法? 若是， 应如何确定价格?

二 模型的建立与求解：
问题1：
模型的假设：
1. 血液库存系统是一个多物品的库存系统，为简化问题只考虑常用的红血球这一血制品。
2. 为保护献血者的积极性，很少拒绝献血行为。因此，每次采集量应是随机变量，但为简化模型，假设每次采集量是一个定值。
3. 假设每一采集周期中的采集提前期为定值。
4. 假设年需求量与年采集量大致相等，即认为供给平衡。
5. 假设血液的需求符合正态分布。
6. 血液制品对人的生命健康关系重大，但通常缺货仅会造成患者的抱怨和治疗成本的增加，所以可将血液制品看作是可缺货的，且采用随机存储模型中的缺货预约模型。
参数的设定：
1. 每单位红血球的缺货成本 C1
2. 每单位红血球的过期成本 C2
3. 年需求量r（≈年采集量）
4. 每周期采集量Q
5. 再订购点Q0
6. 采集提前期L
7. L内的需求量x，其概率密度函数为f(x)
8. 每一周期内缺货量B(Q0)
9. 每一周期内的过期量为y，其概率密度函数为g(y)
10. 单位时间的库存量V
模型一的建立与求解：
多周期随机存储模型
1.1
根据ARC宗旨“以尽可能低的成本供应最高质量的血液制品”建立模型：

1. 每一周期内缺货量B(Q0)=Q0∞(X-Q0)fxdx，缺货成本为C1B(Q0)
2. 每一周期内过期成本为C2 y。
3. 我们用V来衡量血液制品的质量。V越大，血制品的周转速度越慢，血制品的质量越低；V越小，血制品的周转速度越快，血制品的质量越高。
在每一周期末，血库的库存量为Q0 –x；周期初，血库的库存量为Q+Q0 –x。故一周期内每天的库存量可近似表示为
V=１２(Q+ Q0－x＋ Q0－x)=Q２+ Q0 –x。
4. 故目标函数为
U=λ1rQ[C1B(Q0)+ C2 y] +λ2 (Q２+ Q0 –x) 0<λ1，λ2 <1 ，分别表示成本和质量的权重 (1)

1.2
对上述模型进行求解：
令 ∂U ∂Q＝－ λ1Q2r[C1B(Q0)+ C2 y]+λ22=0
＝＞ Q=2 λ1λ2r[C1B(Q0)+ C2 y] (2)
令 ∂U ∂Q0＝C1λ1rQdBQ0dQ0+λ2＝C1λ1rQQ0∞fxdx+λ2＝0
＝＞ Q0∞fxdx＝λ2 QC1λ1r (3)
据已知数据，利用迭代法，求解Q和Q0，迭代法求解的一般步骤如下：
1. 先设B(Q0)=0，求出初始值Q1=2 λ1λ2r C2 y ；
2. 应用Q1，用公式（3）求Q0的初始值Q01 ；
3. 应用Q01，求出：
B(Q01)=Q01∞(X-Q01)fxdx ；
4. 将Q01代入（2）式求出Q2 ；
5. 应用Q2按上述步骤求出Q02 ；
6. 如此迭代，直到Qi和Q0i（i为正整数）的值不再发生变化为止，所得的最终值就是最佳再订购点Q0*和最佳订购量Q*。

1.3
对当前库存管理做法的评估：
俄亥俄州克利夫兰的美国红十字协会地区性血液中心采用自上而下的规划法管理库存，年计划——月计划——周计划——日计划，将每一天需要做的事情都细化，分工很明确，但由于血液是一种易变质的产品并且对血液的需求随季节性波动很大，此外，血液需求的构成比较复杂，不但包括日常有计划的手术用血，还有突发事件导致的紧急用血，所以在月计划中要考虑季节性的影响。由于各地区都力图“自给自足”，从而在某种程度上大大增加了血液过期及缺货的成本，若各个血库之间能够相互协作，进行必要的血液制品“循环”， 这样新鲜的加工后的血液被送到医院血库，晚一些还可能再被退回，根据地区战略再进行分拨。这样，医院血库所面对的供给不确定性就可以降低，运作的计划和资源的利用都将得到很大程度的改善。另外，血液库存系统是一种需求拉动型的系统，因此，不设定一个固定的订货点，而是根据预期需求的变化决定是否订货，将可能更好地满足需求同时减少过期损失。

问题2：
模型的假设：
1.假设存在两个规模相当、运营模式大体相同的血库A和B，且两个血库发生缺货以及血液过期的概率相等。
2.假设血库A（B）发生缺货事件而血库B(A)血液有剩余时，B(A)的剩余量恰好等于A(B)的缺货量。
参数的设定：
1. 每单位红血球的缺货成本 C1
2. 每单位红血球的过期成本 C2
3. 每单位红血球的运输成本 C3
4. 单一血库的缺货概率为a，0<a<1
5. 单一血库中剩余红血球过期的概率为b
6. 两个血库不存在血液交流时，每一血库的总成本为P1
7. 两个血库存在血液交流时，每一血库的平均成本为P2
8. 每一个血库一年的库存总量为Q
模型二的建立与求解：
ARC库存管理和控制改革模型
血液库存管理的一般方法是：每一个血液中心都力图“自给自足”，在一般情况下不与其它血库进行交流，因此我们考虑建立独立血库库存管理模型和多个血库之间有血液交流的库存管理模型，通过对比这两种模型的运营成本和服务水平，进而提出对库存管理和控制改革的合理建议。
2.1
建立模型如下：
1． 两个血库不存在血液交流时，对每一血库：
（1）一年的缺货量的期望值为 Qa，缺货成本为 Qa C1
（2）一年的过期量的期望值为 Qb(1-a)，过期成本为 Qb(1-a) C2
（3）一年的总成本 P1= QaC1+ Qb(1-a)C2 = Q[aC1+ b(1-a) C2]

2． 两个血库之间存在血液交流时：
（1）两个血库一年的缺货量的期望值为 2Qa2，缺货成本2Qa2C1
（2）两个血库一年的过期量的期望值为2Qb(1-a)2，过期成本2Qb(1-a)2C2
（3）血库A（B）发生缺货事件而血库B(A)血液有剩余时，B（A）向A（B）运输血液量为
2Qa(1-a)，运输成本为2Qa(1-a) C3， 总运输成本为4Qa(1-a) C3
（4）每一血库一年的总成本为P2 = １ ２[2Qa2C1+ 2Qb(1-a)2C2+4Qa(1-a)C3]
= Qa2C1+ Qb(1-a)2C2+ 2Qa(1-a)C3
= Q[a2C1+ b(1-a)2C2+ 2a(1-a)C3]

2.2
对上述模型的求解如下：

比较P1和 P2的大小：
P1-P2=Q[aC1+ b(1-a)C2] -Q[a2C1+ b(1-a)2C2+ 2a(1-a)C3]
=Q[a(1-a)C1-ba(1-a)C2-2a(1-a)C3]
=Qa(1-a)( C1-bC2-2C3)
讨论：
根据实际情况， C1一般较大，C2一般较小，C3的大小与两血库A和B之间的距离S成正相关，
1) 如果S较大，使得C1-bC2-2C3<0， 则不应该建立两血库间的循环；
2) 如果S较小，使得C1-bC2-2C3>0， 则建立两血库间的循环能降低每一血库的成本；
同时，我们可以把履行率（这里履行率=1-缺货率）作为评价服务水平的指标，当缺货率0<b<1时，显然有b>b2，即通过建立两个血库之间的循环能有效降低缺货率从而提高履行率，进而提高服务水平。
因此，我们推广到：在相互间距离合适的多个血库之间建立血液制品循环可以降低血库运营成本同时有效提高服务水平。
实际上，医院以及红十字会等血库管理部门在实施多血库血液循环时通常遵循以下原则：
① 每一血库至少贮存一定数量的血制品，多余部分才可以出借。
② 当一个以上的血库愿意借血时，按各血库存血量（根据最近的库存一览表）的多少依次征借。
③ 每次调运的数量是有规定的。如果现有血量少于这一规定，那么出借的血库除留下规定水平的最低库存量以外，应尽量把剩余的血量借出去。
④ 根据存放日期来选择即将调出的存血，存放时间最久的先调运（即血制品遵循先进先出的原则）。

下图为对该限额调运方式的研究结果：

从图中可以看出，当相互间存在联系的血库数逐渐增加时，过期失效和缺血的百分率都随之减少。当五个血库组合在一起时，这种限额调运的方式可以减少缺货和过期失效达54%。当血库数大于五时，虽然这种调运的方式可以更大幅度地减少缺货率和过期失效率，但减少的幅度并不明显，而由于血库数的增加使得相互之间运输和管理的费用却较大幅度的增加，因而这种方法对降低成本贡献很小。因此，我们建议ARC地区性血液中心建立五个血库之间的循环。

问题3：
ARC的血液制品可分为两种：常规血型的血制品和罕见血型的血制品。
一． 常规血型的血制品
对于较易采集的常规血制品，当地小型血库也拥有一定的占有量。虽然其服务水平不能得到保证，但受其规模和运营成本的影响，其血液制品的价格通常较ARC低，所以本地小型血库也具有一定的市场份额。据此，可将常规血制品的市场看作完全竞争市场，根据经济学原理，ARC血液制品的市场需求量与ARC血液制品价格的关系大致如下图。
在完全竞争市场下，ARC不能完全占据市场份额。面对当地小型血库价格上的竞争，ARC可以通过定价策略控制其常规血制品的库存：当ARC制品价格较高时，消费者会倾向于购买小型血库的常规血液制品；而当ARC适当降低血液制品价格时，受其较高履行率的影响，其产品需求量会大幅上升。
然而就实际情况而言，通常情况下，受其较大运营成本的影响，ARC不会通过大幅降价与小型血库竞争。

引用经济学中的边际成本MC和边际收益MR的关系从利益最大化原则出发，说明通常情况下ARC对其常规血液制品的定价问题：（以下用TR表示总收益，P表示产品定价，Q表示产品销量，TC表示总成本）
边际收益MR：表示每增加一单位产品所增加的收入
MR=dTRdQ=d(P*Q)dQ=P*dQdQ=p
由问题一可得 TC=rQ[C1B(Q0)+ C2 y]
边际成本MC=∂TC∂Q=－ λ1Q2r[C1B(Q0)+ C2 y]+∂y∂Q*rQ*C2 表示表示每增加生产一单位产品所增加的成本

当MR>MC时，每增加一单位产品所增加的收益大于增加这一单位产品的成本，厂商有利可图，必然扩大产量；
当MR<MC时，每增加一单位产品所增加的收益小于增加这一单位产品的成本，厂商会亏损，必然减小产量；
只有在MR=MC时，厂商既不扩大也不缩小而是维持产量，表明该赚的利益都已赚到，即实现了利润的最大化。
所以从利益最大化角度出发，令MR=MC，由上述式子可得P=－ λ1Q2r[C1B(Q0)+ C2 y]+∂y∂Q*rQ*C2
即在一般条件下令常规血制品价格满足上述条件，即可实现利益最大化。
考虑到血液制品易变质的特性，可在以上基本原则下对其定价进行灵活处理：
当常规血制品即将过期时，ARC可通过适当降低价格减小库存，既使得血液制品得到充分利用又满足利益最大化原则（过期就白白浪费了）；相反，当ARC血库常规血制品库存较小时，可适当提高其价格减小市场对其的需求量，从而保证ARC较高的履行率和市场信誉。

二．罕见血型的血液制品
对于比较罕见的血型的血液制品，受其采集难度的影响，其采集成本通常较高，因此当地小型血库通常放弃采集这些罕见血型的血液；而ARC为保证其较高的履行率和市场信誉，更从人道主义角度出发，必须对这些血型的血液具有一定的占有量。这样，ARC对这些罕见血液制品的市场具有一定程度的垄断地位，其产品定价与市场需求的关系曲线如图：
由图可知，在垄断条件下，ARC罕见血型血制品的市场需求量不随ARC定价的变动而变动，这是因为，血液制品关系人的生命健康，其本身就具有较低的需求弹性（即需求随价格变动很小，一般指生活必需品），加上血型罕见的因素的影响，替代品（指由其他血库供应的血液制品）很难找到，因此一定程度上讲，ARC对这些罕见血型的血制品具有完全定价权。所以，定价策略并不能有效控制ARC罕见血制品的库存量。
但是，考虑到ARC并非商业性血库，不是单纯地追求利益最大化，而是以“救死扶伤”为目标，在实际运营中，ARC对这些罕见血液血制品的定价不能也不会过高。
（注：左图中的水平直线并不是说明市场需求量固定不变，事实上它是完全随机的；直线只是表明需求量不随价格变动而变动）

三 模型的改进：
（一） 模型一的改进：

每一周期内的过期量y与每周期采集量Q和再订购点Q0是有关系的，但模型一中未考虑它们之间的关系，未给出y与Q和Q0的关系式，这样使得在对目标函数求偏导数时少了y对Q和y对Q0的偏导数这两项，使得结果不够准确，因此我们这里考虑求出y与Q和Q0的关系式，再对模型进行求解。
每一周期内过期量y与每周期采集量Q和再订购点Q0有关，为计算简便（对于实际问题，应该根据已知数据拟合出y与Q和y与Q0的关系），我们假设y与Q呈线性关系，即y= k0+k1Q ;y与Q0呈线性关系y= k0+k2Q0。综合以上分析，y= k0+k1Q+k2Q0 (k0 ，k1， k2 均为实数) ，故过期成本为C2（k0+k1Q+k2Q0）。
故设目标函数为
U=λ1rQ[C1B(Q0)+ C2（k0+k1Q+k2Q0）] +λ2 (Q２+ Q0 –x) 0<λ1，λ2 <1
该函数的最小值即最优解。
对上述模型进行求解：
令 ∂U ∂Q＝－ λ1Q2r[C1B(Q0)+ C2（k0+k1Q+k2Q0)]+ λ1Q2r C2k1+λ22=0
＝＞ Q =2 λ1λ2r[C1B(Q0)+ C2 (k0+k2Q0)] (2)
令 ∂U ∂Q0＝λ1rQ（C1dBQ0dQ0+C2k2）+λ2＝λ1rQ（-C1Q0∞fxdx+C2k2）+λ2＝0
＝＞ Q0∞fxdx＝λ2 Q+rλ1C2k2C1λ1r (3)
据已知数据，利用迭代法，求解Q和Q0，迭代法求解的一般步骤如下：
1. 先设B(Q0)=0，此时可以求出Q0，继而求得初始值Q1=2 λ1λ2r C2 (k0+k2Q0) ；
2. 应用Q1，用公式（3）求Q0的初始值Q01 ；
3. 应用Q01，求出：
B(Q01)=Q01∞(X-Q01)fxdx ；
4. 将Q01代入（2）式求出Q2 ；
5. 应用Q2按上述步骤求出Q02 ；
6. 如此迭代，直到Qi和Q0i（i为正整数）的值不再发生变化为止，所得的最终值就是最佳再订购点Q0*和最佳订购量Q*。

为使模型结果更为精确，在求y与Q和Q0的关系式时，考虑Q和Q0之间的交互作用会对y有影响，我们简单的用Q和Q0的乘积来表示它们之间的交互作用，y= k0+k1Q+k2Q0+k3QQ0 (k0 ，k1， k2 ，k3均为实数)。
故得目标函数为
U=λ1rQ[C1B(Q0)+ C2（k0+k1Q+k2Q0+k3QQ0）] +λ2 (Q２+ Q0 –x) 0<λ1，λ2 <1
该函数的最小值即最优解。
同上，求得
Q =2 λ1λ2rC1BQ0+ C2 k0+k2Q0
Q0∞fxdx＝λ2 Q+rλ1C2(k2+k3Q)C1λ1r
据已知数据，利用迭代法，求解Q和Q0。

（二） 模型二的改进：
1．模型假设2中的剩余量恰巧等于缺货量的假设过于理想，实际情况比此复杂得多。
2．模型中未考虑因多血库建立联系引起的时间延迟及由此引发的血制品过期事件。

可以通过计算机进行仿真模拟，流程图如下根据该系统运行的特征，确定模型中的主要事件为入库事件和出库事件(分为一般到货事件和紧急到货事件)两种。图1 为仿真流程图。
①出库事件
血液出库是由于各大医院的用血需求引起的，系统首先根据血液需求量的分布规律，生成随机需求量Qd 。然后判断当前库存量I 能否满足需求。如不能满足则说明发生缺血现象，记录缺血量Qq=Qd-I ，更新库存水平至I=0，并转入入库事件处理模块。若能满足需要，则更新库存水平至I=I-Qd，并进一步判断库存量是否低于采血点ROP；若低于则进入订货事件处理模块；如高于则退出事件处理模块，本时刻的事件处理完毕。
②入库事件
入库事件即血液采集事件，根据血液订购的条件和途径将订货分为两种类型：一般订货和紧急订货。首先将当前库存水平和安全库存量ss 比较，若高于则进行一般到货事件处理；若低于则进行紧急到货事件处理。前者是库存水平低于采血点高于安全库存点时，通过采血车等常规途径采集，采集量一般较小，一般到货事件根据一般到货量的分布规律随机产生到货数量Q1，并更新库存水平至I=I+Q1，后者是在库存水平低于安全库存量时的集中紧急采血，采集量一般较大至I=I+M。
根据ARC以前任一年运行的历史数据统计资料，通过对出库事件和入库事件的模拟，可以更精确地确定出供给率、安全库存、采血点与履行率之间的关系。我们据此可以得出在满足ARC要求的97%的平均履行率的条件下最低的安全库存和采血点（从而实现满足较高履行率前提下降低运营成本的改革目标）

四 小结：
血液库存管理模型是一种特殊的多周期随机存储模型。一方面，血液制品对人生命健康至关重要，因此缺货成本相当高昂；另一方面，血液制品又极易变质，同时考虑到其重要性，又应尽量减少过期浪费。血液库存管理正是在缺货与过期之间找到最佳平衡点。
本文先通过建立随机存储模型，求得最佳订货量和再订购点，再运用计算机仿真对其加以改进。然后通过对比，得出一定条件下，建立血库间的循环能有效降低运营成本和提高服务水平。最后，运用经济学的相关知识对ARC产品的定价策略进行了讨论。
然而，血液库存管理本身就是一项极为复杂的工作，血液的需求量、供应量都是随机分布并且随季节波动的，因此血液的出入库在一定程度上是不可控制的，所以实际操作中，经常根据以往的需求、供给数据，通过计算机仿真模拟可以制定更为精确的运营策略，将不可控制因素降低。

参考文献
【1】高宝俊，张莉等，需求季节性变动的血液库存系统仿真研究，2004-11-29
【2】张京卫，吕昕，库存仿真技术在血液库存管理中的应用研究，2007-07-08
【3】美国科学院，系统分析和运筹学，中国社会科学出版社，1979
【4】汤代焱，管理运筹学，湖南大学出版社，1997
【5】姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，高等教育出版社，1987