第十章 组合变形.doc

第十章 组合变形

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10.1 组合变形的概念

在工程实际中，受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形。若与各种基本变形形式相应的应力应变是同量级而不能忽略，则构件的变形称为组合变形。在线弹性、小变形条件下，可利用叠加原理对组合变形杆件进行强度计算。

A ：组合变形强度计算的求解思路

B：组合变形强度计算的步骤
1..外力分析 2.内力分析 3.应力分析 4. 强度分析

10.2 斜弯曲

一、受力特点
杆件上的外力不是作用在其纵向对称截面内

二、变形特点
杆变形后杆挠曲线不在纵向对称截面内 

三、外力分析

a外力沿对称轴的分解

b当 F y 单独作用时 
为一 xy 纵向对称平面弯曲(Z为中性轴) 

c当 F z 单独作用时
为一在 xz 纵向对平面弯曲(y为中性轴)
 结论：由叠加原理，斜弯曲实质为两个纵向对称平面弯曲的组合。
四、内力分析

现考察距自由端为 x 的横截面上内力
F y 单独作用，弯曲发生在xy平面，以 z轴为中性轴
Fz 单独作用，弯曲发生在xz平面，以y轴为中性轴

同理可得：

作该梁的弯矩图:

危险截面在固定端
因剪力引起的剪应力较小，故一般不考虑。
五、应力分析
现计算x 横截面上任意一点 ( z, y) 处的正应力
1 、M y 引起的弯曲正应力 
2 、M z 引起的弯曲正应力 

3 由叠加原理知：总应力等于上述两者的代数和

下面分析 x 横截面上的危险应力点：

六、强度条件

由梁的危险截面在固定端截面
且梁的危险应力点为固定端截面左上角点或右下角点
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态，故其
强度条件:
可求三类问题：a、强度校核 b、设计截面 c、求许可载荷 
若材料许用拉、压应力不等时，应分别建立其抗拉、抗压强度条件

七、中性轴位置与挠度的计算

a中性轴位置 

中性轴特征：σ = 0
令y 0，z 0代表中性轴上任一点的坐标

斜弯曲中性轴：是一条通过截面形心的斜直线。一
般情况下，中性轴不与外力垂直.

b挠度计算 
中性轴的位置：
一般中性轴与载荷作用线不相垂直。
变形与挠度：

挠曲线平面与中性轴仍然互相垂直。
例：图示矩形截面梁，截面宽度b＝90mm，高度h＝180mm。梁在两个互相垂直的平面内分别受有水平力F 1 和铅垂力F 2 。已知F 1 ＝800N， F 2 ＝1650N，L ＝1m，试求梁内的最大弯曲正应力并指出其作用点的位置。

 解:a外力分析 
F z = F 1;  F y = F 2
 b内力分析 
a :  F 1 单独作用时

b : F 2 单独作用时

由图知梁上固定端截面为危险截面 
c应力分析
最大拉应力点为右上角点
最大压应力为左下角点
由叠加原理有:

a :  F 1 单独作用时

b : F 2 单独作用时

例：一般生产车间所用的吊车大梁,两端由钢轨支撑,可以简化为简支梁,如图示. 图中l＝4m。大梁由32a热轧普通工字钢制成，许用应力［σ］＝160MPa。
起吊的重物重量F＝80kN，且作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角 α＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。

解:a外力分析
b内力分析 
a :F y 单独作用时
b :F z 单独作用时

c应力分析 
危险截面C上最大压应力点在右上角点;最大拉应力在左下角点
由叠加原理有: 

查表： 
d强度校核 

强度不满足要求。
e讨论 α=0 σmax =115.6 MPa
72.3 ％
吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊，不允许在大梁的侧面斜方向起吊。

10.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形

一、受力特点
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力，还有横向力

F 1 产生平面弯曲变形
F 2 产生轴向拉伸变形
二、变形特点
杆件将发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲组合变形
三、内力分析 三、内力分析
横截面上内力 
1 、拉 (压) ：轴力 F N
2 、弯曲{弯矩 M Z , 剪力F S 

因为引起的剪应力较小，故一般不考虑。
作内力图如右
跨中截面是杆的危险截面
四、应力分析
任意横截面上任一点  ( z, y) 处的正应力计算公式为
1 、拉伸正应力
2、弯曲正应力 
3、由叠加原理，则该点处总正应力

4、计算危险点的应力
拉伸正应力
最大弯曲正应力 

杆危险截面下边缘各点处的拉应力最大，上边缘各点处的压应力最大。

五、强度条件
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态，故其
强度条件

当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉、 抗压强度条件。

例：如图示一矩形截面折杆，已知F＝50kN，尺寸如图所示，α＝30°。
（1）求B点横截面上的应力；
（2）求B点α＝30°截面上的正应力；
（3）求B点的主应力σ1、 σ2、σ3 。

例：图示简支刚架由两根无缝钢管制成。已知钢管的外径为 140mm，壁厚10mm 。试求危险截面上的最大拉应力和最大压应力。

10.4 偏心拉伸（压缩）

一、单向偏心拉伸（压缩） 
外力特征：与轴线平行且必过一截面对称轴。

二、双向偏心拉伸（压缩） 
外力特征：与轴线平行且不过任一截面对称轴。

三、截面核心

当外力作用在截面核心的边界上时，与此相应的中性轴正好好与截面的周边相切。截面核心的边界就由此关系确定。
截面核心：当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时，就可保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或压应力，此区域就称为截面核心。

圆形截面的截面核心

矩形截面的截面核心

例：矩形截面柱如图所示，F 1 的作用线与杆轴线重合，F 2 作用在 y 轴上。已知:F 1 = F 2 =80kN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的 m—m 截面只出现压应力，求 F 2 的偏心距 e。

例：图示矩形截面杆受轴向拉力F = 12 kN，材料的许用应力[σ]=100MPa。求切口的容许深度 x (不计应力集中的影响)。已知 b =5 mm ，h = 40 mm 。

10.5 弯曲与扭转的组合变形
研究对象 圆截面杆
受力特点 杆件同时承受转矩和横向力作用
变形特点 发生扭转和弯曲两种基本变形

一、 外力分析
设一直径为 d 的等直圆杆 AB , B 端具有与 AB 成直角的刚臂。研究AB杆的内力。
将力 F 向 AB 杆右端截面的 形心B简化得
横向力  F （引起平面弯曲）
力偶矩  M = Fa  （引起扭转） 
AB 杆为弯、扭组合变形 

二、 内力分析
画内力图确定危险截面

三、应力分析
危险截面上的危险点为C 1 和 C 2 点最大扭转切应力 t 发生在截面周边上的各点处。 危险截面上的最大弯曲正应力 ζ发生在C 1 、C 2 处 
对于许用拉、压应力相等的塑性料制成的杆，这点的危险程度相同的。 可取任意点C 1 来研究。
C 1点单元体应力状态如图 

四、强度分析

说 明

例：传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩m=1kN∙m，皮带轮直径D=300mm，皮带轮紧边拉力为F 1 ，松边拉力为F 2 。且F 1 =2F 2，L=200mm，轴的许用应力 [s]=160MPa。试用第三强度理论设计轴的直径

例：图示钢制实心圆轴，齿轮 C 的节圆直径 D 1 = 60 mm，其上作用有铅直切向力4kN，水平径向力 0.56 kN；齿轮 D 的节圆直径 D2 = 160 mm，其上作用有铅直切向力1.5 kN，水平径向力 1.5 kN。材料的许用应力[σ]=100MPa，试按第四强度理论确定该的直径 d 。