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平面向量
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；规定零向量与任何一个向量平行。
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。
例 若，则______
4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，

5、平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，
称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
例 △ABC中，，，，则_________
（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。
例已知，，且，则向量在向量上的投影为______
（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
①；
②当，同向时，＝；当与反向时，＝－
③非零向量，夹角的计算公式：；④。
6、向量的运算：
（1）几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；
②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
例（1）化简：①___；②____；③_____

（2）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____

（2）坐标运算：设，则：
①向量的加减法运算：，。
②实数与向量的积：。
③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
④平面向量数量积：。
例 已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（－1，0）。若x＝，求向量、的夹角；

⑤向量的模：。如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____
⑥两点间的距离：若，则。
7、向量的运算律：
（1）交换律：，，；(2)结合律：，；（3）分配律：，。
例 下列命题中：① ；② ；③
；④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的是______

二、练习
（一）加减运算
（1）在中，，．若点满足，则=（ ）
A． B． C． D．

（2）已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5

（3）已知四边形的三个顶点，，，且，则顶点的坐标为（ ）

图1
A． B． C． D．

（4）、如图1所示，是的边上的中点，则向量
A. B. C. D.

5、在中，，M为BC的中点，则_______。（用表示）

（二）数量积
1、下列各式中正确的是 （ ）
（1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a· (λb), （2）|a·b|= | a |·| b |,
（3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a·c+b·c
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（4） D．以上都不对.
2、在ΔABC中,若,则ΔABC为 （ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定

3、已知| a |=1,| b |= ,且(a－b)和a垂直,则a与b的夹角为 （ ）
A．60° B．30° C．135° D．45°
4、若,则ΔABC为 （ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
5、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ）
A．37 B．13 C． D．
6、己知 | a |= 1,| b |= 2, a与b的夹角为60, c =3a+b, d =λa－b ,若c⊥d,则实数λ的值为（ ）
A． B． C． D．

（三）坐标运算
1、,,c=(2,3) ,则（ ）

2 设向量,,则下列结论中正确的是
(A) (B) (C) (D)与垂直
（四）平行垂直
1 已知且则 若，则

2、已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2

3、设向量，若向量与向量共线，则 ．

4、设 a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线,则 （ ）
① (a·b)·c－(c·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a－b |
③ (b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 ④ (3a+2b) ·(3a－2b)= 9| a | 2－4| b | 2
其中真命题是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④

（五）夹角与模
（1）若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为
A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500

（2） 已知是平面内的单位向量，若向量满足，则的取值范围是 。

课后练习1已知||=6，||=4，则（+2）·（–3）=–72，与的夹角为 ．

2、平面向量与的夹角为， ，则
　（Ａ）　　　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）4　　　　　（Ｄ）12

3、已知且的夹角为，求

4已知| a |=4, | b|=5, |a+b|= ,求：
1 a·b 2 (2a－b)·(a+3b)

5已知：| a |=5, | b |= 4,且a与b的夹角为60°,问当且仅当k为何值时,向量ka－b与 a+2b垂直？

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